Chap14 : Orthogonalité dans l’espace

# Chap14 : Orthogonalité dans l’espace ## Droites orthogonales dans l'espace ### Introduction Bienvenue dans ce chapitre sur l'orthogonalité dans l'espace ! En géométrie plane (2D), vous avez l'habitude de travailler avec des droites perpendiculaires. Dans l'espace (3D), la notion de perpendicularité prend une nouvelle dimension, littéralement. Nous allons introduire le concept d'orthogonalité, qui est une généralisation de la perpendicularité, et voir comment l'utiliser pour décrire la position relative de droites dans un environnement tridimensionnel. ### Concepts Clés #### 1. Rappel : Droites perpendiculaires dans un plan Deux droites sont dites perpendiculaires si elles se coupent et forment un angle droit (90°). #### 2. Définition de droites orthogonales dans l'espace Dans l'espace, deux droites \( d_1 \) et \( d_2 \) sont dites **orthogonales** si l'une d'entre elles est parallèle à une droite \( d_3 \) qui est perpendiculaire à l'autre. Plus simplement : Deux droites \( d_1 \) et \( d_2 \) sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs \( \vec{u_1} \) et \( \vec{u_2} \) sont orthogonaux. **Note importante :** Contrairement à la perpendicularité, deux droites orthogonales dans l'espace **ne se coupent pas nécessairement**. Si elles se coupent, alors elles sont aussi perpendiculaires. La perpendicularité est un cas particulier de l'orthogonalité (quand les droites sont sécantes). #### 3. Critère d'orthogonalité avec le produit scalaire Le moyen le plus efficace de déterminer si deux droites sont orthogonales est d'utiliser leurs vecteurs directeurs et le produit scalaire. Soient deux droites \( d_1 \) et \( d_2 \) de vecteurs directeurs respectifs \( \vec{u_1}(x_1; y_1; z_1) \) et \( \vec{u_2}(x_2; y_2; z_2) \). Les droites \( d_1 \) et \( d_2 \) sont orthogonales **si et seulement si** leurs vecteurs directeurs \( \vec{u_1} \) et \( \vec{u_2} \) sont orthogonaux. Cela se traduit par la condition : \[ \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0 \] En coordonnées, le produit scalaire s'écrit : \[ x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0 \] #### 4. Propriétés de l'orthogonalité * Si une droite \( d_1 \) est orthogonale à une droite \( d_2 \), alors \( d_2 \) est orthogonale à \( d_1 \). * Si \( d_1 \) est orthogonale à \( d_2 \) et si \( d_3 \) est parallèle à \( d_2 \), alors \( d_1 \) est orthogonale à \( d_3 \). ### Vocabulaire * **Orthogonalité :** Caractéristique de deux droites (ou vecteurs) dont les directions forment un angle droit, même si elles ne se rencontrent pas. * **Perpendiculaire :** Qualifie deux droites qui se coupent en formant un angle droit. * **Vecteur directeur :** Un vecteur non nul qui indique la direction d'une droite. * **Produit scalaire :** Une opération mathématique qui prend deux vecteurs et renvoie un scalaire (un nombre). Si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux. * **Espace (3D) :** Environnement tridimensionnel, par opposition au plan (2D). * **Coplanaires :** Se dit de points, de droites ou de vecteurs qui appartiennent à un même plan. ### Exemples #### Exemple 1 : Vérifier l'orthogonalité par le calcul Soient deux droites \( d_1 \) passant par \( A(1; 2; 3) \) et \( B(0; 1; 1) \), et \( d_2 \) passant par \( C(4; 0; -1) \) et \( D(2; 3; -2) \). 1. **Trouver les vecteurs directeurs :** * Pour \( d_1 \) : \( \vec{u_1} = \vec{AB} = (0-1; 1-2; 1-3) = (-1; -1; -2) \) * Pour \( d_2 \) : \( \vec{u_2} = \vec{CD} = (2-4; 3-0; -2-(-1)) = (-2; 3; -1) \) 2. **Calculer le produit scalaire :** \( \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = (-1) \times (-2) + (-1) \times 3 + (-2) \times (-1) \) \( = 2 - 3 + 2 \) \( = 1 \) 3. **Conclusion :** Puisque \( \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 1 \neq 0 \), les droites \( d_1 \) et \( d_2 \) ne sont pas orthogonales. #### Exemple 2 : Orthogonalité dans un cube Considérons un cube \( ABCDEFGH \). * La droite \( (AB) \) et la droite \( (EH) \) sont orthogonales. Le vecteur directeur de \( (AB) \) est \( \vec{AB} \) et celui de \( (EH) \) est \( \vec{EH} \). Puisque \( \vec{EH} \) est parallèle à \( \vec{AD} \) et que \( (AB) \) est perpendiculaire à \( (AD) \) (car \( ABCD \) est un carré), alors \( (AB) \) est orthogonale à \( (EH) \). Elles ne sont pas sécantes. * La droite \( (AB) \) et la droite \( (BC) \) sont perpendiculaires (donc aussi orthogonales). Elles se coupent au point \( B \) et forment un angle droit. * La droite \( (AE) \) et la droite \( (CG) \) sont parallèles. Elles sont toutes les deux orthogonales à \( (AB) \). ### Exercices 1. Soient la droite \( d_1 \) de vecteur directeur \( \vec{u_1}(2; -1; 3) \) et la droite \( d_2 \) de vecteur directeur \( \vec{u_2}(1; 5; 1) \). Les droites \( d_1 \) et \( d_2 \) sont-elles orthogonales ? 2. On considère les points \( P(1; 0; 2) \), \( Q(3; -1; 1) \), \( R(0; 2; 4) \) et \( S(2; 1; 0) \). * Déterminez les vecteurs directeurs des droites \( (PQ) \) et \( (RS) \). * Les droites \( (PQ) \) et \( (RS) \) sont-elles orthogonales ? 3. Soit la droite \( d_A \) passant par \( A(1; 1; 1) \) et de vecteur directeur \( \vec{v_A}(k; 2; -3) \). Soit la droite \( d_B \) passant par \( B(0; 2; 0) \) et de vecteur directeur \( \vec{v_B}(1; -1; 1) \). Déterminez la valeur de \( k \) pour que les droites \( d_A \) et \( d_B \) soient orthogonales. ### Devoir à la maison 1. Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne les points \( A(1; 2; 0) \), \( B(-1; 1; 1) \), \( C(0; 3; -1) \) et \( D(2; 0; 2) \). * Calculez les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{CD} \). * Les droites \( (AB) \) et \( (CD) \) sont-elles orthogonales ? Justifiez votre réponse. 2. Soit un prisme droit à base triangulaire \( ABCDEF \) où \( ABC \) est la base inférieure et \( DEF \) la base supérieure, avec \( AD \), \( BE \) et \( CF \) des arêtes latérales. Expliquez pourquoi la droite \( (AD) \) est orthogonale à toute droite de la base \( ABC \) passant par \( A \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré la notion d'orthogonalité dans l'espace. Nous avons appris que deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, ce qui se vérifie en calculant leur produit scalaire. Si le produit scalaire est nul, les droites sont orthogonales. Il est crucial de se rappeler que l'orthogonalité est une notion plus générale que la perpendicularité : deux droites perpendiculaires sont toujours orthogonales, mais deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires (elles peuvent ne pas se couper). Cette distinction est fondamentale en géométrie dans l'espace et sera la base de nombreux concepts ultérieurs.