Dérivation (suite)

# Dérivation (suite) ## Dérivabilité à gauche et à droite en un réel Leçon 30 : Fonction dérivable sur un intervalle - Fonction dérivée d'une fonction sur un intervalle ### Introduction Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension de la dérivation en explorant les concepts de dérivabilité à gauche et à droite en un point. Cela nous permettra de comprendre quand une fonction est globalement dérivable sur un intervalle et comment déterminer sa fonction dérivée. La maîtrise de ces notions est essentielle pour l'étude des variations de fonctions et la résolution de problèmes en sciences et en ingénierie. ### Concepts Clés #### Dérivabilité à gauche et à droite en un réel Pour qu'une fonction \(f\) soit dérivable en un point \(a\), le taux de variation \( \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \) doit tendre vers une limite finie lorsque \(h\) tend vers 0. Nous allons maintenant distinguer le cas où \(h\) s'approche de 0 par valeurs positives (à droite) ou négatives (à gauche). * **Nombre dérivé à droite :** On dit que \(f\) est dérivable à droite en \(a\) si la limite suivante existe et est finie : \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'_d(a) \] où \(f'_d(a)\) est appelé le nombre dérivé à droite de \(f\) en \(a\). * **Nombre dérivé à gauche :** On dit que \(f\) est dérivable à gauche en \(a\) si la limite suivante existe et est finie : \[ \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'_g(a) \] où \(f'_g(a)\) est appelé le nombre dérivé à gauche de \(f\) en \(a\). * **Condition de dérivabilité :** Une fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en \(a\) et que les nombres dérivés à gauche et à droite sont égaux : \[ f'_g(a) = f'_d(a) \] Dans ce cas, le nombre dérivé \(f'(a)\) est égal à cette valeur commune. #### Interprétation Graphique * Si \(f\) est dérivable à droite en \(a\), la courbe de \(f\) admet une **demi-tangente à droite** au point \((a, f(a))\) dont le coefficient directeur est \(f'_d(a)\). * Si \(f\) est dérivable à gauche en \(a\), la courbe de \(f\) admet une **demi-tangente à gauche** au point \((a, f(a))\) dont le coefficient directeur est \(f'_g(a)\). * Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors les deux demi-tangentes sont confondues et la courbe admet une **tangente unique** au point \((a, f(a))\) dont le coefficient directeur est \(f'(a)\). * Si \(f'_g(a) \neq f'_d(a)\), la courbe présente un **point anguleux** au point \((a, f(a))\), c'est-à-dire qu'elle n'admet pas de tangente unique en ce point. La fonction n'est pas dérivable en \(a\). #### Fonction dérivable sur un intervalle * **Définition :** Une fonction \(f\) est dite **dérivable sur un intervalle ouvert \(I = ]a, b[\)** si elle est dérivable en tout point \(x \in I\). * **Définition :** Une fonction \(f\) est dite **dérivable sur un intervalle fermé \(I = [a, b][\)** si elle est dérivable sur \(]a, b[\), dérivable à droite en \(a\) et dérivable à gauche en \(b\). #### Fonction dérivée d'une fonction sur un intervalle * **Définition :** Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). La **fonction dérivée** de \(f\), notée \(f'\), est la fonction qui à chaque \(x \in I\) associe le nombre dérivé \(f'(x)\). On la note également \( \frac{df}{dx} \) ou \( \frac{d}{dx}(f(x)) \). #### Dérivées des fonctions usuelles Voici un tableau récapitulatif des fonctions dérivées des fonctions usuelles : | Fonction \(f(x)\) | Intervalle de dérivabilité | Fonction dérivée \(f'(x)\) | | :------------------- | :------------------------- | :-------------------------- | | \(c\) (constante) | \( \mathbb{R} \) | \(0\) | | \(ax+b\) | \( \mathbb{R} \) | \(a\) | | \(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z}^*\)) | \( \mathbb{R} \) si \(n \ge 1\), \( \mathbb{R}^* \) si \(n \le -1\) | \(nx^{n-1}\) | | \(x\) | \( \mathbb{R} \) | \(1\) | | \(x^2\) | \( \mathbb{R} \) | \(2x\) | | \(x^3\) | \( \mathbb{R} \) | \(3x^2\) | | \( \frac{1}{x} \) | \( \mathbb{R}^* \) | \( -\frac{1}{x^2} \) | | \( \sqrt{x} \) | \( ]0, +\infty[ \) | \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) | #### Opérations sur les fonctions dérivées Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) et \(k\) un nombre réel. * **Somme :** La fonction \(u+v\) est dérivable sur \(I\) et \((u+v)' = u' + v'\). * **Produit par un scalaire :** La fonction \(ku\) est dérivable sur \(I\) et \((ku)' = ku'\). * **Produit :** La fonction \(uv\) est dérivable sur \(I\) et \((uv)' = u'v + uv'\). * **Inverse :** Si \(v(x) \neq 0\) pour tout \(x \in I\), alors \( \frac{1}{v} \) est dérivable sur \(I\) et \( \left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \). * **Quotient :** Si \(v(x) \neq 0\) pour tout \(x \in I\), alors \( \frac{u}{v} \) est dérivable sur \(I\) et \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). ### Vocabulaire * **Dérivabilité à gauche/droite :** Condition pour qu'une fonction ait une limite finie de son taux de variation lorsque \(h\) tend vers 0 par valeurs négatives/positives. * **Nombre dérivé à gauche/droite :** La valeur de cette limite finie. * **Demi-tangente :** Segment de droite qui représente la direction de la courbe en un point lorsque l'on approche de ce point par la gauche ou par la droite. * **Point anguleux :** Point sur une courbe où les demi-tangentes à gauche et à droite existent mais ont des pentes différentes, ce qui indique que la fonction n'est pas dérivable en ce point. * **Fonction dérivable sur un intervalle :** Une fonction qui est dérivable en chaque point de cet intervalle. * **Fonction dérivée :** La fonction qui associe à chaque point de l'intervalle le nombre dérivé de la fonction originale en ce point. ### Exemples #### Exemple 1 : Dérivabilité en un point pour une fonction définie par morceaux Considérons la fonction \(f\) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-1 & \text{si } x > 1 \end{cases} \] Étudions la dérivabilité de \(f\) en \(x=1\). 1. **Continuité en \(x=1\) :** * \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1 \) * \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x-1) = 2(1)-1 = 1 \) * \( f(1) = 1^2 = 1 \) Puisque les limites sont égales à \(f(1)\), \(f\) est continue en \(x=1\). 2. **Dérivabilité à gauche en \(x=1\) :** \[ \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} \] \[ = \lim_{h \to 0^-} \frac{1+2h+h^2-1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2+h) = 2 \] Donc, \(f'_g(1) = 2\). 3. **Dérivabilité à droite en \(x=1\) :** \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2(1+h)-1) - (2(1)-1)}{h} \] \[ = \lim_{h \to 0^+} \frac{2+2h-1-1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 2 = 2 \] Donc, \(f'_d(1) = 2\). Comme \(f'_g(1) = f'_d(1) = 2\), la fonction \(f\) est dérivable en \(x=1\) et \(f'(1)=2\). #### Exemple 2 : Calcul de fonctions dérivées 1. Soit \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\). En utilisant la règle de la somme et du produit par un scalaire : \(f'(x) = 3(4x^3) - 2(2x) + 5(1) - 0 = 12x^3 - 4x + 5\). 2. Soit \(g(x) = (2x+3)(x^2-1)\). On pose \(u(x) = 2x+3\) et \(v(x) = x^2-1\). Alors \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = 2x\). En utilisant la règle du produit \((uv)' = u'v + uv'\) : \(g'(x) = 2(x^2-1) + (2x+3)(2x) = 2x^2 - 2 + 4x^2 + 6x = 6x^2 + 6x - 2\). 3. Soit \(h(x) = \frac{3x+1}{x-2}\) pour \(x \neq 2\). On pose \(u(x) = 3x+1\) et \(v(x) = x-2\). Alors \(u'(x) = 3\) et \(v'(x) = 1\). En utilisant la règle du quotient \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) : \[ h'(x) = \frac{3(x-2) - (3x+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{3x-6-3x-1}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2} \] ### Exercices 1. **Dérivabilité en un point :** Soit la fonction \(g\) définie par : \[ g(x) = \begin{cases} x^3 & \text{si } x \le 0 \\ 2x & \text{si } x > 0 \end{cases} \] Étudiez la dérivabilité de \(g\) en \(x=0\). Justifiez votre réponse. 2. **Calcul de fonctions dérivées :** Calculez les fonctions dérivées des fonctions suivantes : a. \(f(x) = -5x^3 + 4x^2 - 10x + \sqrt{2}\) b. \(g(x) = (x^2+x)(3x-2)\) c. \(h(x) = \frac{x-5}{2x+3}\) d. \(k(x) = x^2\sqrt{x}\) 3. **Recherche d'intervalle de dérivabilité :** Pour quelles valeurs de \(x\) la fonction \(f(x) = \sqrt{4-x}\) est-elle dérivable ? Donnez son expression dérivée sur cet intervalle. ### Devoir à la maison 1. **Analyse de dérivabilité :** Soit \(f(x) = |x-2|\). La fonction \(f\) est-elle dérivable en \(x=2\) ? Interprétez graphiquement votre résultat. 2. **Calcul de dérivées complexes :** Dérivez les fonctions suivantes : a. \(f(x) = (x^3-4x+1)(5-x^2)\) b. \(g(x) = \frac{e^x}{x+1}\) (si la fonction exponentielle a été vue, sinon prendre \(g(x) = \frac{x^2+1}{x-3}\)) c. \(h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\) 3. **Application de la tangente :** Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de la fonction \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1\) au point d'abscisse \(x=1\). ### Résumé * Une fonction \(f\) est dérivable en un point \(a\) si et seulement si les nombres dérivés à gauche et à droite en \(a\) existent et sont égaux : \(f'_g(a) = f'_d(a)\). * Graphiquement, cela signifie que la courbe admet une tangente unique en ce point. Si \(f'_g(a) \neq f'_d(a)\), la courbe présente un point anguleux. * Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en chaque point de cet intervalle (avec des considérations spécifiques pour les bornes fermées). * La fonction dérivée \(f'\) associe à chaque \(x\) l'image \(f'(x)\), qui est le nombre dérivé de \(f\) en \(x\). * Il est essentiel de connaître les formules de dérivation des fonctions usuelles et les règles de calcul des dérivées (somme, produit par un scalaire, produit, quotient) pour pouvoir dériver des fonctions plus complexes. ## Opérations sur les fonctions dérivées - Fonction dérivée de la composée d'une fonction affine par une fonction donnée Leçon 32: Fonction dérivée et sens de variation d'une fonction sur un intervalle donné ### Introduction Bienvenue à cette 32ème leçon sur la dérivation ! Dans les cours précédents, nous avons découvert le concept de dérivée et son importance. Aujourd'hui, nous allons approfondir nos connaissances en explorant les règles de dérivation pour les opérations entre fonctions. Nous nous concentrerons particulièrement sur la dérivation des fonctions composées de type \( f(ax+b) \) et nous verrons comment la fonction dérivée est un outil puissant pour déterminer le sens de variation d'une fonction sur un intervalle donné. ### Concepts Clés #### 1. Rappel sur les opérations de dérivation Avant d'aborder de nouvelles règles, rappelons les principales règles de dérivation pour les fonctions \( u \) et \( v \) dérivables sur un intervalle \( I \) et une constante \( k \) : * **Somme de fonctions :** La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. \[ (u+v)' = u' + v' \] * **Produit d'une fonction par une constante :** \[ (ku)' = k u' \] * **Produit de fonctions :** Attention, la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées ! \[ (uv)' = u'v + uv' \] * **Inverse d'une fonction :** Pour \( v(x) \neq 0 \) sur \( I \). \[ \left( \frac{1}{v} \right)' = -\frac{v'}{v^2} \] * **Quotient de fonctions :** Pour \( v(x) \neq 0 \) sur \( I \). \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] **Tableau récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles :** | Fonction \( f(x) \) | Fonction dérivée \( f'(x) \) | | :------------------- | :----------------------------- | | \( k \) (constante) | \( 0 \) | | \( x \) | \( 1 \) | | \( x^n \) (\( n \in \mathbb{N}^* \)) | \( n x^{n-1} \) | | \( \frac{1}{x} \) | \( -\frac{1}{x^2} \) | | \( \sqrt{x} \) | \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) | #### 2. Dérivée de la composée d'une fonction affine par une fonction donnée Considérons une fonction \( f \) dérivable sur un intervalle \( J \) et une fonction affine \( g(x) = ax+b \) où \( a \) et \( b \) sont des réels. Nous voulons dériver la fonction \( h(x) = f(ax+b) \). **Règle :** Si \( h(x) = f(ax+b) \), alors la fonction dérivée \( h'(x) \) est donnée par : \[ h'(x) = a f'(ax+b) \] **Explication :** Cette règle est fondamentale. Elle signifie que pour dériver une fonction composée de ce type, il faut dériver la fonction 'extérieure' (\( f \)) en laissant son contenu (\( ax+b \)) intact, puis multiplier le tout par la dérivée de la fonction 'intérieure' (\( ax+b \)), qui est simplement \( a \). #### 3. Fonction dérivée et sens de variation d'une fonction sur un intervalle donné Le signe de la fonction dérivée \( f' \) nous donne des informations précieuses sur le sens de variation de la fonction \( f \). **Théorème fondamental :** Soit \( f \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \). * Si pour tout \( x \in I \), \( f'(x) > 0 \), alors \( f \) est **strictement croissante** sur \( I \). * Si pour tout \( x \in I \), \( f'(x) < 0 \), alors \( f \) est **strictement décroissante** sur \( I \). * Si pour tout \( x \in I \), \( f'(x) = 0 \), alors \( f \) est **constante** sur \( I \). **Extrema locaux :** Si \( f \) est dérivable sur un intervalle ouvert \( I \) et admet un extremum local (maximum ou minimum) en \( x_0 \in I \), alors \( f'(x_0) = 0 \). **Méthode pour étudier le sens de variation d'une fonction :** 1. **Calculer la dérivée** \( f'(x) \) de la fonction \( f(x) \). 2. **Étudier le signe** de \( f'(x) \) sur le domaine de définition de \( f \). 3. **En déduire le sens de variation** de \( f(x) \) en utilisant le théorème. 4. **Construire un tableau de variation** qui récapitule toutes ces informations. ### Vocabulaire * **Fonction dérivée :** La fonction qui associe à chaque point la pente de la tangente à la courbe de la fonction originale en ce point. * **Dérivabilité :** La propriété d'une fonction d'avoir une dérivée en un point ou sur un intervalle. * **Fonction composée :** Une fonction formée en appliquant une fonction à la fonction d'une autre fonction, par exemple \( f(g(x)) \). * **Fonction affine :** Une fonction de la forme \( f(x) = ax+b \), où \( a \) et \( b \) sont des constantes. * **Sens de variation :** Indique si une fonction est croissante, décroissante ou constante sur un intervalle. * **Extremum local :** Un point où la fonction atteint un maximum ou un minimum dans un intervalle restreint autour de ce point. ### Exemples #### Exemple 1 : Dérivation de fonctions composées Dériver les fonctions suivantes : a) \( h(x) = (3x-2)^2 \) *Méthode 1 : En développant* \( h(x) = (3x)^2 - 2(3x)(2) + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4 \) \( h'(x) = 2(9x) - 12 = 18x - 12 \) *Méthode 2 : En utilisant la règle \( (f(ax+b))' = a f'(ax+b) \)* Posons \( f(u) = u^2 \) et \( u = 3x-2 \). Alors \( f'(u) = 2u \). Ici, \( a=3 \). Donc, \( h'(x) = 3 \times f'(3x-2) = 3 \times 2(3x-2) = 6(3x-2) = 18x - 12 \). Les deux méthodes donnent le même résultat. La seconde est plus rapide pour des puissances élevées. b) \( g(x) = \frac{1}{2x+1} \) C'est de la forme \( \frac{1}{u} \) avec \( u = 2x+1 \). Sa dérivée est \( -rac{u'}{u^2} \). Ici, \( u'(x) = 2 \). Donc, \( g'(x) = -\frac{2}{(2x+1)^2} \). Alternativement, en utilisant la règle \( (f(ax+b))' = a f'(ax+b) \) avec \( f(u) = rac{1}{u} \) et \( a=2 \). \( f'(u) = -rac{1}{u^2} \). \( g'(x) = 2 \times \left( -\frac{1}{(2x+1)^2} \right) = -\frac{2}{(2x+1)^2} \). c) \( k(x) = \sqrt{5x+1} \) pour \( x > -\frac{1}{5} \) C'est de la forme \( \sqrt{u} \) avec \( u = 5x+1 \). Sa dérivée est \( \frac{u'}{2\sqrt{u}} \). Ici, \( u'(x) = 5 \). Donc, \( k'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x+1}} \). #### Exemple 2 : Étude de variations Étudier le sens de variation de la fonction \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) sur \( \mathbb{R} \). 1. **Calcul de la dérivée :** \( f'(x) = 3x^2 - 3 \) 2. **Étude du signe de \( f'(x) \) :** On cherche les racines de \( f'(x) = 0 \) : \( 3x^2 - 3 = 0 \) \( 3(x^2 - 1) = 0 \) \( 3(x-1)(x+1) = 0 \) Les racines sont \( x_1 = -1 \) et \( x_2 = 1 \). Comme \( f'(x) \) est un trinôme du second degré avec un coefficient dominant positif (\( 3 > 0 \)), \( f'(x) \) est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines. 3. **Construction du tableau de variation :** | \( x \) | \( -\infty \) | \( -1 \) | \( 1 \) | \( +\infty \) | | :------ | :------------ | :------- | :------ | :------------ | | \( f'(x) \) | \( + \) | \( 0 \) | \( - \) | \( 0 \) | \( + \) | | Variation de \( f(x) \) | \( \nearrow \) | \( 4 \) | \( \searrow \) | \( 0 \) | \( \nearrow \) | *Calcul des valeurs aux extrema :* \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \) \( f(1) = (1)^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \) 4. **Conclusion :** La fonction \( f \) est strictement croissante sur \( ]-\infty; -1] \) et sur \( [1; +\infty[ \). La fonction \( f \) est strictement décroissante sur \( [-1; 1] \). La fonction \( f \) admet un maximum local en \( x=-1 \) valant \( 4 \). La fonction \( f \) admet un minimum local en \( x=1 \) valant \( 0 \). ### Exercices 1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : a) \( f(x) = (4x+3)^2 \) b) \( g(x) = (2x-5)^3 \) c) \( h(x) = \frac{1}{3x-4} \) (pour \( x \neq \frac{4}{3} \)) d) \( k(x) = \sqrt{7x-2} \) (pour \( x > \frac{2}{7} \)) e) \( m(x) = (x^2+1)(3x-2) \) 2. Étudier le sens de variation de la fonction \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) sur \( \mathbb{R} \). 3. Soit la fonction \( g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) sur \( \mathbb{R} \). a) Calculer \( g'(x) \). b) Étudier le signe de \( g'(x) \). c) Dresser le tableau de variation de \( g \). ### Devoir 1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : a) \( f(x) = (x^2-3x+1)^2 \) b) \( g(x) = \frac{2x+1}{x-3} \) (pour \( x \neq 3 \)) c) \( h(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} \) (pour \( x > -\frac{3}{2} \)) 2. On considère la fonction \( f(x) = \frac{x^2+3}{x-1} \) définie sur \( ]-\infty; 1[ \cup ]1; +\infty[ \). a) Calculer la dérivée \( f'(x) \). b) Étudier le signe de \( f'(x) \). c) Dresser le tableau de variation de \( f \). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons consolidé nos connaissances sur les opérations de dérivation, notamment pour la somme, le produit et le quotient de fonctions. Nous avons introduit une règle cruciale pour les fonctions composées de la forme \( f(ax+b) \), dont la dérivée est \( a f'(ax+b) \). Surtout, nous avons établi le lien fondamental entre le signe de la fonction dérivée \( f'(x) \) et le sens de variation de la fonction \( f(x) \) elle-même : un signe positif implique une fonction croissante, un signe négatif une fonction décroissante et un signe nul une fonction constante. Cette relation nous permet de construire des tableaux de variation précis, outils essentiels pour l'étude des fonctions en mathématiques. ## Opérations sur les fonctions dérivées - Fonction dérivée de la composée d'une fonction affine par une fonction donnée ### Introduction Bienvenue à cette nouvelle leçon sur la dérivation ! Nous avons déjà exploré comment dériver des fonctions de base et comment manipuler les sommes, produits et quotients de fonctions. Aujourd'hui, nous allons aborder une technique très utile pour dériver des fonctions un peu plus complexes : la dérivation des fonctions composées, plus précisément celles qui sont le résultat de la composition d'une fonction affine par une fonction déjà connue. Comprendre cette règle vous permettra de dériver un éventail beaucoup plus large de fonctions. ### Concepts Clés #### Rappel : Dérivation des fonctions usuelles et opérations de base Avant de plonger dans les fonctions composées, rappelons les bases : * **Dérivées des fonctions usuelles** : * Si \(f(x) = k\) (constante), alors \(f'(x) = 0\). * Si \(f(x) = x\), alors \(f'(x) = 1\). * Si \(f(x) = x^n\) (avec \(n \in \mathbb{N}^*\)), alors \(f'(x) = nx^{n-1}\). * Si \(f(x) = \frac{1}{x}\), alors \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\). * Si \(f(x) = \sqrt{x}\), alors \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) (pour \(x > 0\)). * Si \(f(x) = \sin(x)\), alors \(f'(x) = \cos(x)\). * Si \(f(x) = \cos(x)\), alors \(f'(x) = -\sin(x)\). * **Opérations sur les dérivées** (avec \(u\) et \(v\) des fonctions dérivables et \(k\) une constante) : * Dérivée d'une somme : \((u+v)' = u' + v'\) * Dérivée d'un produit par une constante : \((ku)' = ku'\) * Dérivée d'un produit : \((uv)' = u'v + uv'\) * Dérivée d'un quotient : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) (avec \(v \neq 0\)) #### Fonction dérivée de la composée d'une fonction affine par une fonction donnée Considérons une fonction \(g(x)\) qui peut s'écrire sous la forme \(f(ax+b)\), où : * \(f\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). * \(a\) et \(b\) sont des nombres réels, avec \(a \neq 0\). * \(ax+b\) est une fonction affine. Le théorème concernant la dérivation d'une telle fonction est le suivant : **Théorème** : Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels avec \(a \neq 0\). Alors la fonction \(g\) définie par \(g(x) = f(ax+b)\) est dérivable sur tout intervalle où \(ax+b \in I\), et sa fonction dérivée est donnée par : \[ g'(x) = a \cdot f'(ax+b) \] En d'autres termes, pour dériver une fonction de la forme \(f(ax+b)\) : 1. **Identifiez** la fonction "extérieure" \(f\) et la fonction "intérieure" \(ax+b\). 2. **Dérivez** la fonction "extérieure" \(f\) en évaluant \(f'\) au point \(ax+b\). 3. **Multipliez** ce résultat par le coefficient \(a\) de la fonction affine (la dérivée de \(ax+b\)). **Exemples d'application de la règle :** * Si \(f(x) = x^n\), alors \(f'(x) = nx^{n-1}\). Pour \(g(x) = (ax+b)^n\), alors \[ g'(x) = a \cdot n(ax+b)^{n-1} \] * Si \(f(x) = \sqrt{x}\), alors \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\, (x>0)\). Pour \(g(x) = \sqrt{ax+b}\), alors \[ g'(x) = a \cdot \frac{1}{2\sqrt{ax+b}} = \frac{a}{2\sqrt{ax+b}} \] (pour \(ax+b>0\)) * Si \(f(x) = \frac{1}{x}\), alors \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\). Pour \(g(x) = \frac{1}{ax+b}\), alors \[ g'(x) = a \cdot \left(-\frac{1}{(ax+b)^2}\right) = -\frac{a}{(ax+b)^2} \] (pour \(ax+b \neq 0\)) * Si \(f(x) = \sin(x)\), alors \(f'(x) = \cos(x)\). Pour \(g(x) = \sin(ax+b)\), alors \[ g'(x) = a \cdot \cos(ax+b) \] * Si \(f(x) = \cos(x)\), alors \(f'(x) = -\sin(x)\). Pour \(g(x) = \cos(ax+b)\), alors \[ g'(x) = a \cdot (-\sin(ax+b)) = -a\sin(ax+b) \] ### Vocabulaire * **Fonction dérivée** : Fonction qui, à chaque point où la fonction d'origine est dérivable, associe le nombre dérivé de la fonction en ce point. * **Composée de fonctions** : Opération qui consiste à appliquer une fonction au résultat d'une autre fonction. Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions, la fonction composée \(f \circ g\) est définie par \((f \circ g)(x) = f(g(x))\). * **Fonction affine** : Une fonction \(h(x)\) est dite affine si elle peut s'écrire sous la forme \(h(x) = ax+b\), où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles. Sa dérivée est simplement \(a\). * **Nombre dérivé** : Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point donné. Il représente le taux de variation instantané de la fonction en ce point. ### Exemples Appliquons la règle à quelques fonctions concrètes : **Exemple 1 :** Déterminer la dérivée de \(h(x) = (3x+2)^5\). * Ici, nous avons la forme \((ax+b)^n\). * Fonction extérieure \(f(u) = u^5\), donc \(f'(u) = 5u^4\). * Fonction intérieure \(ax+b = 3x+2\), donc \(a=3\). * En appliquant la règle \(g'(x) = a \cdot f'(ax+b)\) : \[ h'(x) = 3 \cdot 5(3x+2)^{5-1} = 15(3x+2)^4 \] **Exemple 2 :** Déterminer la dérivée de \(k(x) = \sqrt{2x-1}\) pour \(2x-1 > 0\). * Ici, nous avons la forme \(\sqrt{ax+b}\). * Fonction extérieure \(f(u) = \sqrt{u}\), donc \(f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}\, (u>0)\). * Fonction intérieure \(ax+b = 2x-1\), donc \(a=2\). * En appliquant la règle : \[ k'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{2x-1}} \] **Exemple 3 :** Déterminer la dérivée de \(m(x) = \frac{1}{4x+7}\) pour \(4x+7 \neq 0\). * Ici, nous avons la forme \(\frac{1}{ax+b}\). * Fonction extérieure \(f(u) = \frac{1}{u}\), donc \(f'(u) = -\frac{1}{u^2}\). * Fonction intérieure \(ax+b = 4x+7\), donc \(a=4\). * En appliquant la règle : \[ m'(x) = 4 \cdot \left(-\frac{1}{(4x+7)^2}\right) = -\frac{4}{(4x+7)^2} \] **Exemple 4 :** Déterminer la dérivée de \(p(x) = \sin(-x+3)\). * Ici, nous avons la forme \(\sin(ax+b)\). * Fonction extérieure \(f(u) = \sin(u)\), donc \(f'(u) = \cos(u)\). * Fonction intérieure \(ax+b = -x+3\), donc \(a=-1\). * En appliquant la règle : \[ p'(x) = (-1) \cdot \cos(-x+3) = -\cos(-x+3) \] ### Exercices Déterminez la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1. \(f(x) = (5x-1)^3\) 2. \(g(x) = \sqrt{7x+4}\) (pour \(7x+4 > 0\)) 3. \(h(x) = \frac{1}{-2x+5}\) (pour \(-2x+5 \neq 0\)) 4. \(k(x) = \cos(3x-\frac{\pi}{4})\) ### Devoir à la maison Entraînez-vous à la maison en calculant les dérivées des fonctions suivantes. N'oubliez pas de préciser les conditions d'existence de la dérivée si nécessaire. 1. \(f(x) = (\frac{x}{2} - 3)^4\) 2. \(g(x) = \sqrt{-5x+10}\) 3. \(h(x) = \frac{1}{(2x+1)^2}\) (Suggestion : réécrivez \(h(x)\) comme \((2x+1)^{-2}\)) 4. \(p(x) = 4\sin(2x) - \cos(\frac{x}{3})\) ### Résumé Au cours de cette leçon, nous avons exploré une règle fondamentale de la dérivation : la dérivée d'une fonction composée d'une fonction affine par une fonction donnée. La formule clé à retenir est que si \(g(x) = f(ax+b)\), alors sa dérivée est \(g'(x) = a \cdot f'(ax+b)\). Cette règle est extrêmement puissante et vous permet de dériver rapidement des fonctions qui, à première vue, pourraient sembler complexes. Il est crucial d'identifier correctement le coefficient \(a\) de la fonction affine et la dérivée \(f'\) de la fonction "extérieure" \(f\) évaluée au terme \(ax+b\). ## Fonction dérivée et sens de variation d'une fonction sur un intervalle donné ### Introduction Dans cette leçon, nous allons approfondir notre compréhension de la dérivation. Après avoir découvert le nombre dérivé et la tangente à une courbe en un point, nous allons généraliser cette notion à l'ensemble d'un intervalle pour définir la **fonction dérivée**. Plus important encore, nous allons explorer le lien fondamental entre le signe de cette fonction dérivée et le **sens de variation** d'une fonction, un outil puissant pour analyser le comportement des fonctions. ### Concepts Clés #### Rappel : Nombre dérivé et tangente Nous avons vu que le nombre dérivé \( f'(a) \) d'une fonction \( f \) en un point \( a \) est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe représentative de \( f \) au point d'abscisse \( a \). L'équation de la tangente \( T_a \) au point \( (a, f(a)) \) est donnée par : \[ y = f'(a)(x-a) + f(a) \] #### Fonction dérivée ##### Définition Soit une fonction \( f \) définie sur un intervalle \( I \). Si pour tout \( x \) de \( I \), \( f \) est dérivable en \( x \), alors la fonction qui associe à chaque \( x \) de \( I \) son nombre dérivé \( f'(x) \) est appelée la **fonction dérivée** de \( f \) sur \( I \). On la note \( f' \). ##### Dérivées des fonctions usuelles Voici les dérivées des fonctions de référence à connaître : * **Fonction constante** : Si \( f(x) = c \) (où \( c \) est une constante), alors \( f'(x) = 0 \). * **Fonction linéaire** : Si \( f(x) = ax + b \), alors \( f'(x) = a \). * **Fonction puissance** : Si \( f(x) = x^n \) (où \( n \) est un entier naturel non nul), alors \( f'(x) = nx^{n-1} \). * Exemples : \( (x^2)' = 2x \), \( (x^3)' = 3x^2 \). * **Fonction inverse** : Si \( f(x) = \frac{1}{x} \) (pour \( x \neq 0 \)), alors \( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \). * **Fonction racine carrée** : Si \( f(x) = \sqrt{x} \) (pour \( x > 0 \)), alors \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \). ##### Règles de calcul des dérivées Soient \( u \) et \( v \) deux fonctions dérivables sur un intervalle \( I \), et \( k \) une constante réelle : * **Dérivée d'une somme** : \( (u+v)' = u' + v' \). * **Dérivée du produit par une constante** : \( (ku)' = ku' \). #### Lien entre fonction dérivée et sens de variation Le signe de la fonction dérivée \( f'(x) \) nous renseigne directement sur le sens de variation de la fonction \( f(x) \) sur un intervalle donné. Soit \( f \) une fonction dérivable sur un intervalle \( I \) : * Si pour tout \( x \in I \), \( f'(x) > 0 \), alors \( f \) est **strictement croissante** sur \( I \). * Si pour tout \( x \in I \), \( f'(x) < 0 \), alors \( f \) est **strictement décroissante** sur \( I \). * Si pour tout \( x \in I \), \( f'(x) = 0 \), alors \( f \) est **constante** sur \( I \). ##### Extrema locaux Si la fonction dérivée \( f'(x) \) s'annule en changeant de signe en un point \( x_0 \) (c'est-à-dire \( f'(x_0) = 0 \)), alors la fonction \( f \) admet un **extremum local** (minimum ou maximum) en \( x_0 \). * Si \( f' \) passe du positif au négatif en \( x_0 \), alors \( f \) a un maximum local en \( x_0 \). * Si \( f' \) passe du négatif au positif en \( x_0 \), alors \( f \) a un minimum local en \( x_0 \). #### Tableau de variation Le tableau de variation est un outil graphique qui résume le sens de variation d'une fonction et ses extrema. Pour le construire : 1. Calculer la fonction dérivée \( f'(x) \). 2. Étudier le signe de \( f'(x) \) sur l'intervalle d'étude de la fonction. 3. Identifier les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f'(x) = 0 \). 4. Reporter ces informations dans un tableau avec trois lignes : * La première ligne pour les valeurs de \( x \). * La deuxième ligne pour le signe de \( f'(x) \). * La troisième ligne pour le sens de variation de \( f(x) \) (flèches montantes pour croissante, descendantes pour décroissante) et les valeurs des extrema. ### Vocabulaire * **Fonction dérivée** : Fonction qui donne le nombre dérivé en chaque point où la fonction est dérivable. * **Dérivabilité** : Propriété d'une fonction d'admettre un nombre dérivé en un point ou sur un intervalle. * **Intervalle de croissance** : Intervalle sur lequel une fonction est croissante. * **Intervalle de décroissance** : Intervalle sur lequel une fonction est décroissante. * **Extremum local** : Valeur maximale ou minimale que la fonction atteint dans un voisinage donné d'un point. * **Tableau de variation** : Tableau qui résume le sens de variation d'une fonction. ### Exemples #### Exemple 1 : Étude de la variation d'une fonction polynomiale Soit la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) définie sur \( \mathbb{R} \). 1. **Calcul de la fonction dérivée** : \( f'(x) = (x^2)' - (4x)' + (3)' = 2x - 4 + 0 = 2x - 4 \). 2. **Étude du signe de \( f'(x) \)** : \( f'(x) = 0 \iff 2x - 4 = 0 \iff 2x = 4 \iff x = 2 \). * Si \( x < 2 \), \( 2x - 4 < 0 \), donc \( f'(x) < 0 \). * Si \( x > 2 \), \( 2x - 4 > 0 \), donc \( f'(x) > 0 \). 3. **Construction du tableau de variation** : | \( x \) | \( -\infty \) | \( 2 \) | \( +\infty \) | | :------------------- | :----------: | :----: | :----------: | | Signe de \( f'(x) \) | - | 0 | + | | Variation de \( f \) | décroît | \( -1 \) | croît | * En \( x = 2 \), \( f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \). Conclusion : La fonction \( f \) est strictement décroissante sur \( ]-\infty; 2] \) et strictement croissante sur \( [2; +\infty[ \). Elle admet un minimum local (et global) en \( x = 2 \), qui vaut \( f(2) = -1 \). ### Exercices 1. **Calculer les fonctions dérivées** des fonctions suivantes : a. \( f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1 \) b. \( g(x) = \frac{1}{x} + 3x \) c. \( h(x) = -2\sqrt{x} + 6 \) 2. **Étudier le sens de variation** et construire le tableau de variation de la fonction \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) sur \( \mathbb{R} \). 3. **Déterminer les éventuels extrema locaux** de la fonction \( g(x) = x^3 - 3x^2 \) sur \( \mathbb{R} \). ### Devoirs 1. Soit la fonction \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 4 \) définie sur \( \mathbb{R} \). a. Calculer \( f'(x) \). b. Étudier le signe de \( f'(x) \). c. En déduire le tableau de variation de \( f \) et ses extrema locaux. d. Donner l'équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( x = 0 \). 2. Une entreprise produit \( x \) objets par jour. Le coût total de production en euros est donné par la fonction \( C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000 \) pour \( x \in [0; 500] \). a. Calculer la fonction coût marginal \( C'(x) \). b. Étudier le sens de variation de la fonction \( C(x) \). c. Interpréter le résultat pour l'entreprise. ### Résumé * La **fonction dérivée** \( f' \) associe à chaque point \( x \) son nombre dérivé \( f'(x) \). * Les **règles de dérivation** permettent de calculer rapidement les fonctions dérivées des fonctions usuelles et des combinaisons de fonctions. * Le **signe de la fonction dérivée** \( f'(x) \) détermine le sens de variation de la fonction \( f(x) \) : * \( f'(x) > 0 \Rightarrow f \) est croissante. * \( f'(x) < 0 \Rightarrow f \) est décroissante. * \( f'(x) = 0 \) et changement de signe \( \Rightarrow \) extremum local. * Le **tableau de variation** est un outil essentiel pour synthétiser l'étude du comportement d'une fonction. ## Approximation affine d'une fonction autour d'un réel Leçon 34: Tangente à la courbe en un de ses points dérivée ### Introduction Dans la leçon précédente, nous avons découvert le concept de nombre dérivé comme mesure du taux de variation instantané d'une fonction. Aujourd'hui, nous allons approfondir cette idée en explorant deux applications fondamentales du nombre dérivé : comment il nous permet de définir la tangente à la courbe d'une fonction en un point, et comment cette tangente peut être utilisée pour "approximer" le comportement de la fonction localement. C'est ce qu'on appelle l'approximation affine. ### Concepts Clés #### 1. Rappel: Nombre dérivé et coefficient directeur de la tangente Le nombre dérivé d'une fonction `\(f\)` en un point `\(a\)`, noté `\(f'(a)\)`, représente la pente (ou le coefficient directeur) de la droite tangente à la courbe représentative de `\(f\)` au point d'abscisse `\(a\)`. C'est une limite : \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \] Ce nombre `\(f'(a)\)` est crucial car il nous donne l'inclinaison exacte de la courbe à ce point. #### 2. Équation de la tangente à la courbe La tangente est une droite. Pour définir une droite, nous avons besoin d'un point et de sa pente. Nous avons : * Un point sur la tangente : `\(A(a, f(a))\)`. * La pente de la tangente : `\(m = f'(a)\)`. L'équation générale d'une droite de pente `\(m\)` passant par un point `\((x_A, y_A))\)` est `\(y - y_A = m(x - x_A))\)`. En remplaçant par nos valeurs, l'équation de la tangente `\(T_a\)` à la courbe de `\(f\)` au point d'abscisse `\(a\)` est : \[ y = f'(a)(x - a) + f(a) \] Cette formule est fondamentale et vous devez la maîtriser. #### 3. Approximation affine d'une fonction Lorsque l'on zoome très près d'un point sur la courbe d'une fonction dérivable, la courbe ressemble de plus en plus à sa droite tangente en ce point. Cela signifie que la tangente offre une très bonne approximation de la fonction dans un petit voisinage autour du point de tangence. On appelle cela l'approximation affine (ou linéarisation locale) : pour des valeurs de `\(x\)` très proches de `\(a\)`, on a : \[ f(x) \approx f'(a)(x - a) + f(a) \] On peut aussi l'écrire pour un petit déplacement `\(h\)` (où `\(x = a+h\)`): \[ f(a+h) \approx f(a) + h f'(a) \] Ceci est extrêmement utile pour estimer des valeurs de fonctions complexes sans calculatrice, ou pour comprendre le comportement local d'une fonction. ### Vocabulaire * **Nombre dérivé (`\(f'(a)\)`):** Pente de la tangente à la courbe de `\(f\)` au point d'abscisse `\(a\)`. Il représente le taux de variation instantané. * **Tangente:** Droite qui "touche" la courbe d'une fonction en un seul point (localement) et a la même pente que la courbe en ce point. * **Coefficient directeur:** Synonyme de pente, il indique l'inclinaison d'une droite. * **Approximation affine:** Utilisation de l'équation de la tangente pour estimer les valeurs d'une fonction autour d'un point donné. * **Linéarisation locale:** Autre terme pour l'approximation affine, mettant en évidence que l'on approxime une fonction par une droite (une fonction linéaire/affine) localement. ### Exemples #### Exemple 1: Déterminer l'équation d'une tangente Soit la fonction `\(f(x) = x^2\)`. Déterminons l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse `\(a=1\)`. 1. **Calculer `\(f(a))\)`:** `\(f(1) = 1^2 = 1\)`. Le point de tangence est `\((1, 1))\)`. 2. **Calculer `\(f'(x))\)`:** La dérivée de `\(f(x) = x^2\)` est `\(f'(x) = 2x\)`. 3. **Calculer `\(f'(a))\)`:** `\(f'(1) = 2 \times 1 = 2\)`. C'est la pente de la tangente. 4. **Appliquer la formule:** `\(y = f'(a)(x - a) + f(a)\)` `\(y = 2(x - 1) + 1\)` `\(y = 2x - 2 + 1\)` `\(y = 2x - 1\)` L'équation de la tangente est `\(y = 2x - 1\)`. #### Exemple 2: Utiliser l'approximation affine Estimons la valeur de `\(\sqrt{4.1}\)` en utilisant l'approximation affine de `\(f(x) = \sqrt{x}\)` autour de `\(a=4\)`. 1. **Identifier `\(a\)` et `\(h\)`:** Nous voulons `\(f(4.1)\)`. On choisit `\(a=4\)` (car c'est un carré parfait proche de 4.1) et `\(h = 0.1\)`. 2. **Calculer `\(f(a))\)`:** `\(f(4) = \sqrt{4} = 2\)`. 3. **Calculer `\(f'(x))\)`:** La dérivée de `\(f(x) = \sqrt{x}\)` est `\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)`. 4. **Calculer `\(f'(a))\)`:** `\(f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{4} = 0.25\)`. 5. **Appliquer l'approximation:** `\(f(a+h) \approx f(a) + h f'(a)\)` `\(f(4+0.1) \approx f(4) + 0.1 \times f'(4)\)` `\(\sqrt{4.1} \approx 2 + 0.1 \times 0.25\)` `\(\sqrt{4.1} \approx 2 + 0.025\)` `\(\sqrt{4.1} \approx 2.025\)` La calculatrice donne `\(\sqrt{4.1} \approx 2.024845...\)`. Notre approximation est très bonne ! ### Exercices 1. Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de la fonction `\(f(x) = x^3 - 2x + 1\)` au point d'abscisse `\(a=0\)`. (N'oubliez pas que `\(f'(x) = 3x^2 - 2\)`). 2. Donnez l'équation de la tangente à la courbe de la fonction `\(g(x) = \frac{1}{x}\)` au point d'abscisse `\(a=2\)`. (Rappel: `\(g'(x) = -\frac{1}{x^2}\)`). 3. Utilisez l'approximation affine pour estimer `\((2.03)^2\)`. (Indice: utilisez `\(f(x) = x^2\)` autour de `\(a=2\)`). ### Devoirs 1. Calculez l'équation de la tangente à la courbe de la fonction `\(f(x) = \cos(x)\)` au point d'abscisse `\(a=\frac{\pi}{2}\)`. (Rappel: `\(f'(x) = -\sin(x)\)`). 2. Approximer la valeur de `\(\sin(0.01)\)` en utilisant l'approximation affine. (Indice: utilisez `\(f(x)=\sin(x)\)` autour de `\(a=0\)` et `\(f'(x)=\cos(x)\)`). 3. Une fonction `\(f\)` est telle que `\(f(3)=5\)` et `\(f'(3)=-2\)`. Estimez la valeur de `\(f(3.05)\)`. Expliquez votre démarche. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons consolidé notre compréhension du nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente à la courbe d'une fonction en un point. Nous avons appris la formule clé pour trouver l'équation de cette tangente : `\(y = f'(a)(x - a) + f(a)\)`. Plus important encore, nous avons vu comment cette tangente nous permet de réaliser une approximation affine de la fonction, qui est une technique puissante pour estimer des valeurs de fonctions complexes en se basant sur le fait que localement, une courbe dérivable ressemble à une droite.