Chap13 : Nombres complexes

# Chap13 : Nombres complexes ## Ecriture algébrique; opérations sur les nombres complexes Leçon 45: Nombre complexe conjugué ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer une notion fondamentale en algèbre des nombres complexes : le conjugué d'un nombre complexe. Le conjugué est un outil puissant qui simplifie de nombreuses opérations, notamment la division de nombres complexes et le calcul de modules. Il est indispensable pour manipuler efficacement ces nombres. ### Concepts Clés #### Définition du conjugué d'un nombre complexe * Soit un nombre complexe \(z = a + ib\), où \(a\) est la partie réelle et \(b\) est la partie imaginaire (avec \(a, b \in \mathbb{R}\) et \(i^2 = -1\)). * Le conjugué de \(z\), noté \(\bar{z}\) (lu "z barre"), est défini par \(\bar{z} = a - ib\). * En d'autres termes, pour trouver le conjugué, on change le signe de la partie imaginaire. #### Interprétation Géométrique * Dans le plan complexe (plan d'Argand-Gauss), un nombre complexe \(z\) est représenté par un point \(M(a, b)\). * Son conjugué \(\bar{z}\) est représenté par le point \(M'(a, -b)\). * Le point \(M'\) est le symétrique du point \(M\) par rapport à l'axe des réels (l'axe des abscisses). #### Propriétés du conjugué Le conjugué respecte plusieurs propriétés importantes concernant les opérations : * **Conjuguer deux fois :** Le conjugué du conjugué d'un nombre complexe est le nombre complexe lui-même. \[ \overline{(\bar{z})} = z \] * **Somme :** Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués. \[ \overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2} \] * **Produit :** Le conjugué d'un produit est le produit des conjugués. \[ \overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \bar{z_2} \] * **Puissance :** Le conjugué d'une puissance entière est la puissance du conjugué. \[ \overline{z^n} = (\bar{z})^n \] * **Quotient :** Le conjugué d'un quotient est le quotient des conjugués (pour \(z_2 \neq 0\)). \[ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}} \] * **Réel et imaginaire pur :** * Un nombre complexe \(z\) est réel si et seulement si \(z = \bar{z}\). * Un nombre complexe \(z\) est imaginaire pur si et seulement si \(z = -\bar{z}\). * **Lien avec la partie réelle et imaginaire :** \[ \text{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2} \] \[ \text{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i} \] #### Produit d'un nombre complexe par son conjugué C'est une propriété cruciale : le produit d'un nombre complexe par son conjugué est toujours un nombre réel positif ou nul. Il est égal au carré de son module. * Si \(z = a + ib\), alors : \[ z \bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 - i^2 b^2 = a^2 + b^2 \] * On reconnaît \(a^2 + b^2\) comme le carré du module de \(z\), noté \(|z|^2\). * Ainsi, \[ |z|^2 = z \bar{z} \] #### Application à la division de nombres complexes * Pour diviser un nombre complexe \(z_1\) par un nombre complexe \(z_2\) (où \(z_2 \neq 0\)), on utilise le conjugué du dénominateur. * L'astuce consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Cela a pour effet de rendre le dénominateur réel, simplifiant ainsi l'expression sous la forme algébrique \(a + ib\). * \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \bar{z_2}}{z_2 \bar{z_2}} = \frac{z_1 \bar{z_2}}{|z_2|^2} \] ### Vocabulaire * **Nombre complexe (complex number):** Un nombre de la forme \(a + ib\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels et \(i^2 = -1\). * **Conjugué (conjugate):** Pour un nombre complexe \(z = a + ib\), son conjugué \(\bar{z}\) est \(a - ib\). * **Partie réelle (real part):** Le réel \(a\) dans \(z = a + ib\), notée \(\text{Re}(z)\). * **Partie imaginaire (imaginary part):** Le réel \(b\) dans \(z = a + ib\), notée \(\text{Im}(z)\). (Attention, la partie imaginaire est \(b\), et non \(ib\)). * **Module (modulus):** La longueur du vecteur représentant le nombre complexe dans le plan complexe, notée \(|z|\). Si \(z = a + ib\), alors \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de conjugués * Si \(z_1 = 2 + 3i\), alors \(\bar{z_1} = 2 - 3i\). * Si \(z_2 = 5 - i\), alors \(\bar{z_2} = 5 + i\). * Si \(z_3 = -4i\), alors \(\bar{z_3} = 4i\). * Si \(z_4 = 7\), alors \(\bar{z_4} = 7\). #### Exemple 2 : Somme et produit avec conjugués Soit \(z_1 = 1 + i\) et \(z_2 = 3 - 2i\). * **Vérification de la propriété de la somme :** * \(z_1 + z_2 = (1+3) + (1-2)i = 4 - i\). Donc \(\overline{z_1 + z_2} = 4 + i\). * \(\bar{z_1} = 1 - i\), \(\bar{z_2} = 3 + 2i\). * \(\bar{z_1} + \bar{z_2} = (1+3) + (-1+2)i = 4 + i\). * On a bien \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}\). * **Vérification de la propriété du produit :** * \(z_1 z_2 = (1 + i)(3 - 2i) = 3 - 2i + 3i - 2i^2 = 3 + i + 2 = 5 + i\). * Donc \(\overline{z_1 z_2} = 5 - i\). * \(\bar{z_1} \bar{z_2} = (1 - i)(3 + 2i) = 3 + 2i - 3i - 2i^2 = 3 - i + 2 = 5 - i\). * On a bien \(\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \bar{z_2}\). #### Exemple 3 : Division de nombres complexes Écrire sous forme algébrique \(Z = \frac{2 + i}{1 - 2i}\). * On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est \(\overline{1 - 2i} = 1 + 2i\). * \[ Z = \frac{2 + i}{1 - 2i} \times \frac{1 + 2i}{1 + 2i} \] * Numérateur : \((2 + i)(1 + 2i) = 2 + 4i + i + 2i^2 = 2 + 5i - 2 = 5i\). * Dénominateur : \((1 - 2i)(1 + 2i) = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5\). * Donc \[ Z = \frac{5i}{5} = i \] #### Exemple 4 : Calcul du module Si \(z = 3 + 4i\), calculer \(|z|^2\) en utilisant le conjugué. * \(\bar{z} = 3 - 4i\). * \(|z|^2 = z \bar{z} = (3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). * On retrouve \(|z| = \sqrt{25} = 5\). ### Exercices 1. Déterminez le conjugué de chacun des nombres complexes suivants : * a) \(z_1 = 5 - 7i\) * b) \(z_2 = -2 + 3i\) * c) \(z_3 = 6i\) * d) \(z_4 = -8\) * e) \(z_5 = (1+i)^2\) 2. Soit \(z_1 = 2 + i\) et \(z_2 = 3 - 4i\). Calculez et exprimez sous forme algébrique : * a) \(\bar{z_1} + \bar{z_2}\) * b) \(\overline{z_1 z_2}\) * c) \(\frac{z_1}{z_2}\) 3. Mettez sous forme algébrique les nombres complexes suivants : * a) \(A = \frac{1}{2 + i}\) * b) \(B = \frac{3 - i}{2 + 3i}\) 4. Soit \(z = x + iy\), où \(x, y \in \mathbb{R}\). Démontrez que \(z\) est réel si et seulement si \(z = \bar{z}\). ### Devoir Maison 1. Soit \(z = 3 - 2i\). Calculez \(z + \bar{z}\) et \(z - \bar{z}\). Que remarquez-vous sur les résultats ? Expliquez en termes de partie réelle et imaginaire. 2. Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants : * a) \(Z_1 = \frac{1 + i}{1 - i}\) * b) \(Z_2 = \frac{5}{2 + 3i}\) * c) \(Z_3 = \frac{(2+i)^2}{1-i}\) 3. Résolvez l'équation suivante pour \(z \in \mathbb{C}\) : \[ 2z + i\bar{z} = 3 \] (Indice : Posez \(z = x + iy\) et substituez dans l'équation pour obtenir un système de deux équations réelles). 4. Vrai ou Faux ? Justifiez votre réponse. * a) Le conjugué de \(i\) est \(-i\). * b) Si \(z\) est un imaginaire pur, alors \(z + \bar{z} = 0\). * c) Pour tout nombre complexe \(z\), \(|z|^2 = z^2\). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons découvert le concept du conjugué d'un nombre complexe \(z = a + ib\), qui est \(\bar{z} = a - ib\). Nous avons vu que géométriquement, le conjugué est le symétrique de \(z\) par rapport à l'axe des réels. Les propriétés du conjugué simplifient grandement les opérations, notamment : * Le produit \(z \bar{z}\) est toujours un réel positif ou nul égal à \(a^2 + b^2\), ce qui correspond à \(|z|^2\). * Le conjugué est essentiel pour la division des nombres complexes, car il permet de rendre le dénominateur réel en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Ces outils sont fondamentaux pour manipuler les nombres complexes en algèbre et en géométrie.