Équations, inéquations et systèmes (suite)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - reconnaître une équation du second degré sous sa forme générale $ax^{2}+bx+c=0$ avec $a\neq0$ et identifier ses coefficients ; - mettre une équation du second degré sous forme canonique $a(x-h)^{2}+k=0$ par la méthode de la complétion du carré ; - définir le discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$ et en déduire le nombre et la nature des solutions réelles ; - démontrer la formule des racines $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ ; - résoudre une équation du second degré par factorisation, par la formule générale ou par complétion du carré ; - interpréter géométriquement les racines comme les abscisses d’intersection de la parabole $y=ax^{2}+bx+c$ avec l’axe des $x$ ; - modéliser et résoudre des problèmes concrets (aires, trajectoires, optimisation) menant à une équation du second degré. **Prérequis** : L’élève doit maîtriser - les opérations sur les nombres réels (addition, soustraction, multiplication, division, puissances) ; - la résolution d’équations du premier degré et d’inéquations linéaires ; - le développement et la factorisation de binômes et de trinômes du type $(x\pm p)(x\pm q)$ ; - la notion de valeur absolue et les propriétés de l’ordre sur $\mathbb{R}$ ; - le tracé simple d’une fonction affine et la notion de pente. > **À retenir** : Une équation du second degré est une équation polynomiale de degré exactement deux, dont le coefficient du terme $x^{2}$ est non nul. ## Introduction contextualisée Les équations du second degré apparaissent naturellement dans de nombreux domaines des sciences et de la technologie. En physique, la loi du mouvement uniformément accéléré $s=ut+\frac12at^{2}$ conduit à une équation du second degré lorsqu’on cherche le temps $t$ pour atteindre une certaine distance $s$. En économie, la maximisation du profit ou la minimisation du coût conduisent souvent à résoudre une équation du second degré issue d’une fonction quadratique. En géométrie, la recherche du point d’intersection d’une droite avec une parabole ou d’un cercle avec une droite se réduit également à résoudre une équation du second degré. Au Cameroun, les programmes officiels du MINESEC/IGE insistent sur l’approche par compétences : l’élève ne doit pas seulement savoir appliquer une formule, mais comprendre pourquoi elle fonctionne, être capable de la démontrer, de l’adapter à différents contextes et de vérifier la pertinence des solutions obtenues. Ce chapitre vise donc à construire une connaissance solide et transférable des équations du second degré dans l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$. ## I. Définition d’une équation du second degré et forme générale ### A. Forme générale Une équation du second degré dans l’inconnue $x$ et avec des coefficients réels s’écrit : $$ ax^{2}+bx+c=0\qquad\text{avec }a,b,c\in\mathbb{R},\ a\neq0. $$ Le terme $ax^{2}$ est appelé **terme du second degré**, $bx$ le **terme du premier degré** et $c$ le **terme constant**. La condition $a\neq0$ garantit que le degré du polynôme est effectivement deux ; si $a=0$, l’équation se réduit à une équation du premier degré (ou à une contradiction/identité selon $b$ et $c$). > **À retenir** : Le coefficient directeur $a$ détermine l’ouverture de la parabole associée $y=ax^{2}+bx+c$ : si $a>0$ la parabole est tournée vers le haut, si $a<0$ elle est tournée vers le bas. ### B. Forme canonique (complétion du carré) En regroupant les termes en $x^{2}$ et $x$, on peut réécrire l’équation sous la forme : $$ a\Bigl(x^{2}+\frac{b}{a}x\Bigr)+c=0. $$ On ajoute et soustrait $\bigl(\frac{b}{2a}\bigr)^{2}$ à l’intérieur des parenthèses : $$ a\Bigl[x^{2}+\frac{b}{a}x+\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}-\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}\Bigr]+c=0, $$ ce qui donne $$ a\Bigl[\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}-\Bigl(\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}\Bigr]+c=0. $$ Après distribution de $a$ : $$ a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c=0, $$ et enfin $$ a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}= \frac{b^{2}}{4a}-c. $$ En posant $h=-\dfrac{b}{2a}$ et $k=c-\dfrac{b^{2}}{4a}$, on obtient la **forme canonique** : $$ a(x-h)^{2}+k=0. $$ > **À retenir** : La forme canonique met en évidence le sommet $S(h,k)$ de la parabole $y=a(x-h)^{2}+k$. ### C. Relation entre coefficients et racines (formules de Viète) Si l’équation admet deux racines réelles (éventuellement égales) $x_{1}$ et $x_{2}$, alors le polynôme peut être factorisé comme $$ a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}. $$ En identifiant les coefficients avec $ax^{2}+bx+c$, on obtient : $$ \begin{cases} x_{1}+x_{2}= -\dfrac{b}{a},\\[4pt] x_{1}x_{2}= \dfrac{c}{a}. \end{cases} $$ Ces égalités sont appelées **formules de Viète** pour le trinôme du second degré. > **À retenir** : La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}$ et leur produit vaut $\frac{c}{a}$. #### Démonstration des formules de Viète Partant de $a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}$, on développe le produit : $$ a\bigl(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}\bigr)=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}. $$ Comme les deux polynômes sont identiques pour tout $x$, leurs coefficients correspondants doivent être égaux, d’où les égalités ci‑dessus. #### Exemple 1 (forme générale → canonique) Résoudre $2x^{2}-8x+5=0$ en mettant l’équation sous forme canonique. 1. Identifier $a=2$, $b=-8$, $c=5$. 2. Calculer $h=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{-8}{2\cdot2}= \dfrac{8}{4}=2$. 3. Calculer $k=c-\dfrac{b^{2}}{4a}=5-\dfrac{(-8)^{2}}{4\cdot2}=5-\dfrac{64}{8}=5-8=-3$. 4. Forme canonique : $2(x-2)^{2}-3=0$. 5. Isoler le carré : $2(x-2)^{2}=3$ → $(x-2)^{2}= \dfrac{3}{2}$. 6. Extraire la racine : $x-2=\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ → $x=2\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}$. #### Exemple 2 (factorisation directe) Résoudre $x^{2}-5x+6=0$ par factorisation. On cherche deux nombres dont la somme est $5$ et le produit $6$ : $2$ et $3$. Ainsi $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$. Posons chaque facteur à zéro : $x-2=0$ ou $x-3=0$ → $x=2$ ou $x=3$. ## II. Discriminant et nature des racines dans $\mathbb{R}$ ### A. Définition du discriminant Pour l’équation $ax^{2}+bx+c=0$, on définit le **discriminant** $$ \Delta = b^{2}-4ac. $$ Le discriminant est un réel qui dépend uniquement des coefficients. > **À retenir** : Le signe de $\Delta$ détermine le nombre de solutions réelles de l’équation du second degré. ### B. Signes de $\Delta$ et nombre de solutions réelles - Si $\Delta>0$, l’équation admet **deux racines réelles distinctes**. - Si $\Delta=0$, l’équation admet une **racine réelle double** (racine unique). - Si $\Delta<0$, l’équation n’admet **aucune racine réelle** (les deux racines sont complexes conjuguées). #### Démonstration (cas $\Delta>0$) En supposant $\Delta>0$, on peut écrire $\sqrt{\Delta}$ comme un réel positif. La formule des racines (démontrée plus loin) donne $$ x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. $$ Comme le terme $\pm\sqrt{\Delta}$ produit deux valeurs différentes, on obtient deux racines distinctes. #### Démonstration (cas $\Delta=0$) Si $\Delta=0$, alors $\sqrt{\Delta}=0$ et la formule se réduit à $$ x=\frac{-b}{2a}, $$ une seule valeur, donc une racine double. #### Démonstration (cas $\Delta<0$) Lorsque $\Delta<0$, $\sqrt{\Delta}$ n’est pas un réel ; l’expression $\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ donne deux nombres complexes non réels, conjugués l’un de l’autre. Donc aucune solution dans $\mathbb{R}$. ### C. Relation entre le discriminant et la forme canonique Rappelons la forme canonique obtenue précédemment : $$ a(x-h)^{2}+k=0\quad\text{avec }h=-\frac{b}{2a},\;k=c-\frac{b^{2}}{4a}. $$ On peut réécrire $k$ comme $$ k = -\frac{\Delta}{4a}. $$ En effet, $$ -\frac{\Delta}{4a}= -\frac{b^{2}-4ac}{4a}= -\frac{b^{2}}{4a}+c = c-\frac{b^{2}}{4a}=k. $$ Ainsi l’équation devient $$ a(x-h)^{2}= \frac{\Delta}{4a}. $$ - Si $\Delta>0$, le second membre est positif → on peut prendre la racine carrée et obtenir deux solutions. - Si $\Delta=0$, le second membre est nul → $(x-h)^{2}=0$ → racine double. - Si $\Delta<0$, le second membre est négatif → aucune réelle dont le carré donne un négatif. > **À retenir** : Le sommet de la parabole est $S\bigl(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a}\bigr)$. Comme $k = c-\frac{b^{2}}{4a} = -\frac{\Delta}{4a}$, le signe de $k$ est opposé à celui de $\Delta$ lorsque $a>0$, et identique lorsque $a<0$. #### Exemple 3 (utilisation du discriminant) Déterminer le nombre de solutions réelles de $3x^{2}+6x+2=0$. Calcul du discriminant : $$ \Delta = b^{2}-4ac = 6^{2}-4\cdot3\cdot2 = 36-24 = 12>0. $$ Comme $\Delta>0$, l’équation admet deux racines réelles distinctes. #### Exemple 4 (racine double) Trouver $k$ tel que $x^{2}-4x+k=0$ possède une racine double. Condition : $\Delta=0$. $$ \Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot k = 16-4k =0 \;\Longrightarrow\; 4k=16 \;\Longrightarrow\; k=4. $$ Pour $k=4$, l’équation devient $x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}=0$, racine double $x=2$. ## III. Méthodes de résolution et applications ### A. Factorisation Lorsque le trinôme du second degré se factorise sur $\mathbb{Z}$ (ou sur $\mathbb{Q}$), on écrit $$ ax^{2}+bx+c = a(x-r_{1})(x-r_{2}), $$ où $r_{1},r_{2}$ sont les racines. On résout ensuite en posant chaque facteur à zéro. > **À retenir** : La factorisation est rapide quand on trouve deux entiers dont le produit vaut $ac$ et la somme vaut $b$ (méthode du produit‑somme). #### Exemple 5 (factorisation par produit‑somme) Résoudre $6x^{2}+11x-10=0$. On cherche deux nombres $p$ et $q$ tels que $p\cdot q = a\cdot c = 6\cdot(-10) = -60$ et $p+q = b = 11$. Les nombres $15$ et $-4$ conviennent : $15\cdot(-4)=-60$, $15+(-4)=11$. On réécrit le terme du milieu : $$ 6x^{2}+15x-4x-10=0. $$ Factorisation par groupes : $$ 3x(2x+5)-2(2x+5)=0\;\Longrightarrow\;(3x-2)(2x+5)=0. $$ Donc $3x-2=0$ → $x=\frac{2}{3}$ ou $2x+5=0$ → $x=-\frac{5}{2}$. #### Exemple 6 (factorisation impossible sur $\mathbb{Z}$) Résoudre $2x^{2}+3x+1=0$. Produit $ac=2\cdot1=2$. On cherche deux nombres dont le produit est $2$ et la somme $3$ : $1$ et $2$. Réécriture : $$ 2x^{2}+2x+x+1=0\;\Longrightarrow\;2x(x+1)+1(x+1)=0\;\Longrightarrow\;(2x+1)(x+1)=0. $$ Racines : $x=-\frac12$ et $x=-1$. ### B. Formule générale (dérivée) Nous démontrons maintenant la formule des racines à partir de la forme canonique. Partant de $$ a(x-h)^{2}+k=0\quad\text{avec }h=-\frac{b}{2a},\;k=c-\frac{b^{2}}{4a}, $$ on obtient $$ a(x-h)^{2}= -k = \frac{b^{2}}{4a}-c = \frac{\Delta}{4a}. $$ Divisons par $a$ (non nul) : $$ (x-h)^{2}= \frac{\Delta}{4a^{2}}. $$ Prenons la racine carrée (en rappelant que $\sqrt{u^{2}}=|u|$) : $$ |x-h| = \frac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}. $$ Comme $a$ peut être positif ou négatif, on écrit finalement $$ x-h = \pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}, $$ d’où $$ x = h \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}= -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}. $$ > **À retenir** : La formule générale $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ vaut pour tout $a\neq0$, indépendamment du signe de $\Delta$ (si $\Delta<0$, les racines sont complexes). #### Exemple 7 (application de la formule) Résoudre $5x^{2}-3x-2=0$. Identifions $a=5$, $b=-3$, $c=-2$. $$ \Delta = (-3)^{2}-4\cdot5\cdot(-2)=9+40=49. $$ $$ \sqrt{\Delta}=7. $$ $$ x=\frac{-(-3)\pm7}{2\cdot5}= \frac{3\pm7}{10}. $$ Donc $x_{1}= \frac{3+7}{10}=1$ et $x_{2}= \frac{3-7}{10}= -\frac{4}{10}= -\frac{2}{5}$. #### Exemple 8 (cas $\Delta<0$) Résoudre $x^{2}+4x+8=0$. $$ \Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot8 = 16-32 = -16<0. $$ Comme $\Delta<0$, il n’y a pas de solution réelle. Les racines complexes sont $$ x=\frac{-4\pm\sqrt{-16}}{2}= \frac{-4\pm4i}{2}= -2\pm2i. $$ ### C. Complétion du carré (méthode alternative) Cette méthode consiste à transformer l’équation en une équation du type $(x-p)^{2}=q$ puis à extraire la racine. Elle est particulièrement utile quand on veut mettre en évidence le sommet de la parabole ou résoudre une équation où le coefficient $a$ n’est pas $1$. > **À retenir** : La complétion du carré consiste à ajouter et soustraire $\bigl(\frac{b}{2a}\bigr)^{2}$ pour former un carré parfait. #### Exemple 9 (complétion du carré avec $a\neq1$) Résoudre $3x^{2}+12x+7=0$. 1. Factoriser $a$ des termes en $x^{2}$ et $x$ : $$ 3\bigl(x^{2}+4x\bigr)+7=0. $$ 2. Compléter le carré dans la parenthèse : ajouter et soustraire $(\frac{4}{2})^{2}=4$ : $$ 3\bigl[x^{2}+4x+4-4\bigr]+7=0\;\Longrightarrow\;3\bigl[(x+2)^{2}-4\bigr]+7=0. $$ 3. Distribuer le $3$ : $$ 3(x+2)^{2}-12+7=0\;\Longrightarrow\;3(x+2)^{2}-5=0. $$ 4. Isoler le carré : $$ 3(x+2)^{2}=5\;\Longrightarrow\;(x+2)^{2}= \frac{5}{3}. $$ 5. Extraire la racine : $$ x+2=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}\;\Longrightarrow\;x=-2\pm\sqrt{\frac{5}{3}}. $$ #### Exemple 10 (complétion du carré menant à une racine double) Résoudre $4x^{2}-12x+9=0$. Factoriser $4$ : $$ 4\bigl(x^{2}-3x\bigr)+9=0. $$ Compléter le carré : ajouter et soustraire $(\frac{-3}{2})^{2}= \frac{9}{4}$ : $$ 4\bigl[x^{2}-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\bigr]+9=0\;\Longrightarrow\;4\bigl[(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}\bigr]+9=0. $$ Distribuer le $4$ : $$ 4(x-\frac{3}{2})^{2}-9+9=0\;\Longrightarrow\;4(x-\frac{3}{2})^{2}=0. $$ Donc $(x-\frac{3}{2})^{2}=0$ → $x=\frac{3}{2}$ (racine double). ### D. Interprétation graphique La fonction associée $f(x)=ax^{2}+bx+c$ représente une parabole. - Les racines réelles sont les abscisses d’intersection de la parabole avec l’axe $x$ ($y=0$). - Le sommet $S\bigl(-\frac{b}{2a},\;c-\frac{b^{2}}{4a}\bigr)$ indique le point où la parabole change de direction. - Si $a>0$, la parabole est ouverte vers le haut et le sommet est un minimum ; si $a<0$, elle est ouverte vers le bas et le sommet est un maximum. > **À retenir** : Le nombre de points d’intersection avec l’axe $x$ vaut $0$, $1$ ou $2$ selon que $\Delta<0$, $\Delta=0$ ou $\Delta>0$. #### Exemple 11 (graphique et discriminant) Considérons $f(x)=-2x^{2}+4x+1$. - $a=-2<0$ → ouverture vers le bas. - Sommet : $x_{S}= -\frac{b}{2a}= -\frac{4}{2\cdot(-2)}=1$, $y_{S}= f(1)= -2(1)^{2}+4(1)+1=3$. Donc $S(1,3)$. - Discriminant : $\Delta = 4^{2}-4(-2)(1)=16+8=24>0$ → deux racines réelles. - Résolution : $x=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2(-2)}= \frac{-4\pm2\sqrt{6}}{-4}=1\mp\frac{\sqrt{6}}{2}$. Ainsi les intersections sont aux abscisses $x=1-\frac{\sqrt{6}}{2}\approx-0,225$ et $x=1+\frac{\sqrt{6}}{2}\approx2,225$. ### E. Applications à des problèmes concrets #### 1. Problème d’aire Un jardin rectangulaire a une longueur qui dépasse sa largeur de $3$ m. Son aire est de $70$ m². Trouver les dimensions. Soit $x$ la largeur (en m). Alors la longueur est $x+3$. L’aire : $x(x+3)=70$ → $x^{2}+3x-70=0$. Discriminant : $\Delta = 3^{2}-4\cdot1\cdot(-70)=9+280=289=17^{2}$. Racines : $x=\frac{-3\pm17}{2}$. - $x_{1}= \frac{-3+17}{2}=7$ (largeur positive). - $x_{2}= \frac{-3-17}{2}=-10$ (rejetée, dimension négative). Donc largeur $=7$ m, longueur $=7+3=10$ m. #### 2. Problème de trajectoire (physique) Un projectile est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale verticale $v_{0}=20$ m/s. Sa hauteur $h(t)$ (en m) après $t$ secondes est modélisée par $$ h(t)= -\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t, $$ où $g=9.8$ m/s². Déterminer le temps auquel le projectile atteint à nouveau le sol. On pose $h(t)=0$ : $$ -\frac{1}{2}(9.8)t^{2}+20t=0\;\Longrightarrow\;-4.9t^{2}+20t=0. $$ Factoriser $t$ : $t(-4.9t+20)=0$. Solutions : $t=0$ (instant de lancement) et $t=\frac{20}{4.9}\approx4,08$ s (retour au sol). #### 3. Problème d’optimisation On veut construire une boîte ouverte à partir d’une feuille carrée de côté $20$ cm en découpant des carrés égaux de côté $x$ à chaque coin et en relevant les côtés. Trouver $x$ qui maximise le volume. Après découpe, la base de la boîte a des dimensions $(20-2x)\times(20-2x)$ et la hauteur est $x$. Le volume : $$ V(x)=x(20-2x)^{2}=x(400-80x+4x^{2})=4x^{3}-80x^{2}+400x. $$ Pour maximiser $V$, on cherche le dérivé et on le met à zéro (niveau Première, on peut utiliser la méthode du trinôme du second degré après factorisation d’un facteur $x$) : $$ V'(x)=12x^{2}-160x+400=0. $$ Diviser par $4$ : $3x^{2}-40x+100=0$. Discriminant : $\Delta = (-40)^{2}-4\cdot3\cdot100=1600-1200=400=20^{2}$. Racines : $x=\frac{40\pm20}{2\cdot3}= \frac{40\pm20}{6}$. - $x_{1}= \frac{60}{6}=10$ cm (découpe trop grande, la base disparaît). - $x_{2}= \frac{20}{6}= \frac{10}{3}\approx3,33$ cm. Comme $V''(x)=24x-160$, en $x=\frac{10}{3}$ on a $V''=24\cdot\frac{10}{3}-160=80-160=-80<0$ → maximum. Donc la découpe optimale mesure $\frac{10}{3}$ cm de côté. ## Synthèse du chapitre - **Forme générale** : $ax^{2}+bx+c=0$, $a\neq0$. - **Forme canonique** : $a(x-h)^{2}+k=0$ avec $h=-\dfrac{b}{2a}$, $k=c-\dfrac{b^{2}}{4a}$. - **Discriminant** : $\Delta=b^{2}-4ac$. - $\Delta>0$ → deux racines réelles distinctes. - $\Delta=0$ → une racine réelle double. - $\Delta<0$ → aucune racine réelle (racines complexes conjuguées). - **Formule des racines** : $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$. - **Relations de Viète** : $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$, $x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}$. - **Méthodes de résolution** : factorisation, formule générale, complétion du carré. - **Interprétation graphique** : intersections avec l’axe $x$, sommet $S\bigl(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a}\bigr)$, ouverture selon le signe de $a$. - **Applications** : problèmes d’aire, de trajectoire, d’optimisation, etc. > **À retenir** : Maîtriser la transformation entre forme générale et forme canonique permet de lire immédiatement le sommet et le discriminant, et donc de prédire le nombre de solutions réelles sans calculer explicitement les racines. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Équation du second degré | Équation polynomiale de la forme $ax^{2}+bx+c=0$ avec $a\neq0$. | | Discriminant ($\Delta$) | Quantité $b^{2}-4ac$ qui détermine la nature des racines. | | Racine réelle | Solution de l’équation appartenant à $\mathbb{R}$. | | Racine double | Racine réelle d’ordre de multiplicité deux ($\Delta=0$). | | Forme canonique | Expression $a(x-h)^{2}+k=0$ où $(h,k)$ est le sommet de la parabole. | | Sommet | Point $S\bigl(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a}\bigr)$ de la parabole $y=ax^{2}+bx+c$. | | Formule générale | $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$, donne les racines (réelles ou complexes). | | Factorisation | Écriture du trinôme comme produit de deux facteurs du premier degré. | | Complétion du carré | Méthode consistant à former un carré parfait $(x\pm p)^{2}$ en ajoutant et soustrayant le même terme. | | Viète (formules de) | Relations $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ et $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$ liant les racines aux coefficients. | | Parabole | Courbe représentée par $y=ax^{2}+bx+c$. | | Ouverture | Direction de la branche de la parabole : vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$. | | Zéro d’une fonction | Valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=0$ (intersection avec l’axe $x$). | | Multiplicité | Nombre de fois qu’une même racine apparaît dans la factorisation du polynôme. | ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Résoudre l’équation $2x^{2}-7x+3=0$. **Corrigé** - $a=2$, $b=-7$, $c=3$. - $\Delta = (-7)^{2}-4\cdot2\cdot3 = 49-24 = 25$. - $\sqrt{\Delta}=5$. - $x = \dfrac{-(-7)\pm5}{2\cdot2}= \dfrac{7\pm5}{4}$. - $x_{1}= \dfrac{7+5}{4}=3$, $x_{2}= \dfrac{7-5}{4}= \dfrac{2}{4}= \dfrac{1}{2}$. **Réponse** : $x=3$ ou $x=\frac12$. ### Exercice 2 Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles l’équation $x^{2}+kx+9=0$ admet une racine double. **Corrigé** Condition : $\Delta=0$. $\Delta = k^{2}-4\cdot1\cdot9 = k^{2}-36$. Posons $k^{2}-36=0$ → $k^{2}=36$ → $k=\pm6$. **Réponse** : $k=6$ ou $k=-6$. ### Exercice 3 Un champ rectangulaire a une longueur qui est le double de sa largeur diminuée de $4$ m. Son périmètre est de $68$ m. Trouver les dimensions du champ. **Corrigé** Soit $x$ la largeur (m). Alors la longueur est $2x-4$. Périmètre : $2\bigl[x+(2x-4)\bigr]=68$ → $2(3x-4)=68$ → $6x-8=68$ → $6x=76$ → $x=\dfrac{76}{6}=\dfrac{38}{3}$ m ≈12,67 m. Longueur : $2x-4 = 2\cdot\dfrac{38}{3}-4 = \dfrac{76}{3}-4 = \dfrac{76-12}{3}=\dfrac{64}{3}$ m ≈21,33 m. **Réponse** : largeur $=\dfrac{38}{3}$ m (≈12,67 m), longueur $=\dfrac{64}{3}$ m (≈21,33 m). ### Exercice 4 Résoudre l’équation $-3x^{2}+12x-9=0$ par complétion du carré. **Corrigé** Factoriser $-3$ : $-3\bigl(x^{2}-4x\bigr)-9=0$. Compléter le carré dans la parenthèse : ajouter et soustraire $(\frac{-4}{2})^{2}=4$ : $-3\bigl[x^{2}-4x+4-4\bigr]-9=0$ → $-3\bigl[(x-2)^{2}-4\bigr]-9=0$. Distribuer le $-3$ : $-3(x-2)^{2}+12-9=0$ → $-3(x-2)^{2}+3=0$. Isoler le carré : $-3(x-2)^{2}=-3$ → $(x-2)^{2}=1$. Extraire la racine : $x-2=\pm1$ → $x=2\pm1$. Donc $x_{1}=3$, $x_{2}=1$. **Réponse** : $x=1$ ou $x=3$. ### Exercice 5 Une balle est lancée verticalement vers le haut depuis le sol avec une vitesse initiale de $15$ m/s. Sa hauteur $h(t)$ (en mètres) après $t$ secondes est donnée par $h(t)=-5t^{2}+15t$. Après combien de secondes la balle atteint‑elle une hauteur de $10$ m pour la première fois ? **Corrigé** On pose $h(t)=10$ : $-5t^{2}+15t-10=0$. Diviser par $-5$ : $t^{2}-3t+2=0$. Factoriser : $(t-1)(t-2)=0$. Solutions : $t=1$ s et $t=2$ s. La première fois où la balle atteint $10$ m est donc à $t=1$ s. **Réponse** : $1$ seconde. ### Exercice 6 Trouver l’ensemble des valeurs réelles de $p$ telles que l’équation $(p-2)x^{2}+4x+1=0$ possède exactement deux solutions réelles distinctes. **Corrigé** Pour que l’équation soit du second degré, il faut $p-2\neq0$ → $p\neq2$. Le discriminant doit être strictement positif : $$ \Delta = 4^{2}-4(p-2)\cdot1 = 16-4(p-2)=16-4p+8=24-4p. $$ Condition $\Delta>0$ : $24-4p>0$ → $-4p>-24$ → $p<6$. En regroupant les conditions : $p\neq2$ et $p<6$. Donc l’ensemble est $(-\infty,2)\cup(2,6)$. **Réponse** : $p\in(-\infty,2)\cup(2,6)$. ## Erreurs fréquentes 1. **Oublier la condition $a\neq0$** - *Piège* : considérer une équation du type $0x^{2}+bx+c=0$ comme du second degré. - *Comment éviter* : toujours vérifier que le coefficient du terme $x^{2}$ est non nul avant d’appliquer les formules du second degré. 2. **Confondre le signe du discriminant** - *Piège* : croire que $\Delta<0$ donne deux racines réelles (en oubliant l’impossibilité de prendre la racine carrée d’un nombre négatif dans $\mathbb{R}$). - *Comment éviter* : rappeler que $\sqrt{\Delta}$ n’est défini dans $\mathbb{R}$ que si $\Delta\ge0$ ; sinon les racines sont complexes. 3. **Erreur de signe lors de la complétion du carré** - *Piège* : ajouter $\bigl(\frac{b}{2a}\bigr)^{2}$ sans le soustraire ensuite, ce qui fausse l’égalité. - *Comment éviter* : écrire explicitement « on ajoute et soustrait le même terme » et vérifier que l’expression initiale est récupérée après factorisation. 4. **Mauvaise identification des racines dans la factorisation** - *Piège* : prendre comme racines les constantes des facteurs sans changer de signe (ex. : $(x+3)(x-5)=0$ donnerait à tort $x=3$ et $x=-5$). - *Comment éviter* : se rappeler que chaque facteur doit être égal à zéro : $x+3=0\Rightarrow x=-3$ ; $x-5=0\Rightarrow x=5$. 5. **Oublier de vérifier la pertinence des solutions dans un problème concret** - *Piège* : accepter une longueur négative ou un temps négatif comme réponse valide. - *Comment éviter* : après avoir trouvé les solutions mathématiques, les replacer dans le contexte du problème et rejeter celles qui n’ont pas de sens physique ou géométrique. 6. **Utiliser la formule générale avec un $a$ négatif sans faire attention au signe du dénominateur** - *Piège* : écrire $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ puis oublier que si $a<0$, le dénominateur est négatif, ce qui peut conduire à une inversion inattendue des signes lorsqu’on simplifie. - *Comment éviter* : garder la forme $\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ telle quelle, ou bien multiplier numérateur et dénominateur par $-1$ si l’on veut un dénominateur positif, en changeant le signe du numérateur en conséquence. --- Ce cours fournit toutes les définitions, propriétés, démonstrations, exemples détaillés, exercices corrigés et conseils pour éviter les erreurs les plus courantes concernant les équations du second degré dans $\mathbb{R}$. Il constitue une base solide pour réussir les épreuves du Probatoire et du Baccalauréat camerounais en mathématiques. Bon travail et bonne révision !