Thème 4: Les annuités

# Thème 4: Les annuités ## Les annuités de fin de période ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les annuités de fin de période ! En mathématiques financières, une annuité représente une série de paiements égaux effectués à intervalles réguliers. Ces paiements sont courants dans de nombreux aspects de notre vie financière, comme les remboursements de prêts (prêts immobiliers, prêts automobiles), les plans d'épargne ou les rentes. Dans cette leçon, nous allons nous concentrer spécifiquement sur les **annuités de fin de période**, c'est-à-dire les paiements qui sont effectués à la fin de chaque intervalle de temps (par exemple, à la fin de chaque mois, trimestre ou année). Comprendre comment calculer leur valeur future (capitalisation) ou leur valeur présente (actualisation) est fondamental pour prendre des décisions financières éclairées. ### Concepts Clés #### 1. Définition d'une Annuité Une **annuité** est une suite de versements ou de paiements, généralement égaux, effectués à intervalles de temps égaux. L'intervalle de temps est appelé la **période de l'annuité**. #### 2. Types d'Annuités Bien qu'il existe plusieurs classifications d'annuités, pour cette leçon, il est crucial de distinguer : * **Annuités de fin de période (ou post-comptées)** : Les paiements sont effectués à la fin de chaque période. C'est le cas le plus courant pour les remboursements de prêts. * **Annuités de début de période (ou pré-comptées)** : Les paiements sont effectués au début de chaque période. C'est souvent le cas pour les loyers ou certaines cotisations d'assurance. Nous nous concentrerons exclusivement sur les annuités de fin de période. #### 3. Valeur Acquise (Capitalisation) d'une Suite d'Annuités La **valeur acquise** (ou valeur future) d'une suite d'annuités représente le montant total qu'une série de versements réguliers (plus les intérêts composés) aura atteint à la fin de la dernière période. C'est ce que vous obtiendriez en épargnant un montant fixe régulièrement. Soit : * \(a\) : le montant de l'annuité (le versement périodique) * \(i\) : le taux d'intérêt par période * \(n\) : le nombre de périodes La formule de la valeur acquise \(V_a\) d'une suite de \(n\) annuités de fin de période est : \[ V_a = a \frac{(1+i)^n - 1}{i} \] Le terme \( \frac{(1+i)^n - 1}{i} \) est appelé le **facteur de capitalisation des annuités**. #### 4. Valeur Actuelle (Actualisation) d'une Suite d'Annuités La **valeur actuelle** (ou valeur présente) d'une suite d'annuités représente le montant unique qu'il faudrait placer aujourd'hui (au taux \(i\) par période) pour pouvoir effectuer tous les versements de l'annuité dans le futur. C'est le capital initial d'un emprunt qui sera remboursé par des annuités. Soit : * \(a\) : le montant de l'annuité * \(i\) : le taux d'intérêt par période * \(n\) : le nombre de périodes La formule de la valeur actuelle \(V_0\) d'une suite de \(n\) annuités de fin de période est : \[ V_0 = a \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \] Le terme \( \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \) est appelé le **facteur d'actualisation des annuités** ou le **facteur d'amortissement de l'emprunt**. #### 5. Calcul de l'Annuité 'a' On peut déduire la valeur de l'annuité \(a\) si l'on connaît la valeur acquise ou la valeur actuelle désirée : * À partir de la valeur acquise \(V_a\) : \[ a = V_a \frac{i}{(1+i)^n - 1} \] * À partir de la valeur actuelle \(V_0\) : \[ a = V_0 \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}} \] #### 6. Taux Proportionnel et Taux Équivalent Lorsque la période de l'annuité ne correspond pas à la période du taux d'intérêt nominal (par exemple, versements mensuels et taux annuel), il est essentiel d'utiliser le bon taux périodique : * **Taux proportionnel** : Si un taux annuel est \(t_a\), le taux mensuel proportionnel est \(t_m = t_a / 12\). Utilisé principalement pour simplifier, mais ne reflète pas toujours la réalité financière des intérêts composés. * **Taux équivalent** : C'est le taux correct qui prend en compte la capitalisation des intérêts. Si \(i_a\) est le taux annuel, le taux périodique équivalent \(i_p\) (par exemple mensuel) est donné par \( (1+i_a) = (1+i_p)^k \), où \(k\) est le nombre de périodes dans l'année. Donc \( i_p = (1+i_a)^{1/k} - 1 \). Pour les annuités, il est généralement préférable d'utiliser les taux équivalents pour une précision financière correcte, sauf indication contraire explicite. ### Vocabulaire * **Annuité** : Série de paiements égaux effectués à intervalles de temps réguliers. * **Période** : L'intervalle de temps entre deux paiements successifs (ex: mois, trimestre, année). * **Taux d'intérêt par période (\(i\))** : Le taux d'intérêt applicable à chaque période de l'annuité. * **Valeur acquise (\(V_a\))** : Le montant futur total d'une série de versements capitalisés avec intérêts. * **Valeur actuelle (\(V_0\))** : Le montant unique qu'il faudrait placer aujourd'hui pour générer une série de paiements futurs. * **Annuité de fin de période (Post-comptée)** : Paiement effectué à la fin de chaque période. * **Facteur de capitalisation des annuités** : Le terme de la formule qui permet de calculer la valeur acquise à partir de l'annuité. * **Facteur d'amortissement (ou d'actualisation)** : Le terme de la formule qui permet de calculer l'annuité à partir de la valeur actuelle (ou la valeur actuelle à partir de l'annuité). ### Exemples #### Exemple 1 : Plan d'épargne (Capitalisation) Une personne dépose 500 € à la fin de chaque année sur un compte d'épargne qui rapporte 3% d'intérêt annuel composé. Quel sera le montant total accumulé après 10 ans ? * \(a = 500\) € * \(i = 0,03\) * \(n = 10\) Utilisons la formule de la valeur acquise : \[ V_a = 500 \frac{(1+0,03)^{10} - 1}{0,03} \] \[ V_a = 500 \frac{1,343916379 - 1}{0,03} \] \[ V_a = 500 \frac{0,343916379}{0,03} \] \[ V_a = 500 \times 11,4638793 \] \( V_a \approx 5731,94 \) € Après 10 ans, le montant total accumulé sera d'environ 5731,94 €. #### Exemple 2 : Remboursement de prêt (Actualisation) Un étudiant contracte un prêt de 15 000 € pour financer ses études. Le prêt doit être remboursé par des annuités constantes à la fin de chaque année pendant 5 ans, au taux d'intérêt annuel de 4%. Quel est le montant de chaque annuité de remboursement ? * \(V_0 = 15000\) € * \(i = 0,04\) * \(n = 5\) Utilisons la formule pour calculer l'annuité à partir de la valeur actuelle : \[ a = V_0 \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}} \] \[ a = 15000 \frac{0,04}{1 - (1+0,04)^{-5}} \] \[ a = 15000 \frac{0,04}{1 - (1,04)^{-5}} \] \[ a = 15000 \frac{0,04}{1 - 0,82192711} \] \[ a = 15000 \frac{0,04}{0,17807289} \] \[ a = 15000 \times 0,22462711 \] \( a \approx 3369,41 \) € Le montant de chaque annuité de remboursement sera d'environ 3369,41 €. ### Exercices 1. Calculez la valeur acquise d'une annuité de 800 € versée à la fin de chaque année pendant 7 ans, à un taux d'intérêt annuel de 2,5%. 2. Un capital de 25 000 € est remboursé par des annuités constantes de fin de période pendant 12 ans, au taux annuel de 3,8%. Quel est le montant de chaque annuité ? 3. Vous souhaitez accumuler 10 000 € en 5 ans. Si vous pouvez placer votre argent à un taux d'intérêt annuel de 4%, quel montant devez-vous verser à la fin de chaque année ? 4. Quelle est la valeur actuelle d'une série de 15 annuités de fin de période de 1200 € chacune, si le taux d'actualisation est de 3,2% par an ? ### Devoir 1. Une entreprise prévoit d'acheter une nouvelle machine dans 6 ans. Le coût estimé de la machine est de 50 000 €. L'entreprise décide de constituer un fonds de prévoyance en versant des montants égaux à la fin de chaque trimestre dans un compte qui rapporte 3% d'intérêt annuel capitalisé trimestriellement. Quel doit être le montant de chaque versement trimestriel pour atteindre l'objectif ? 2. Mme Dupont a contracté un prêt immobilier de 200 000 €. Elle rembourse le prêt par des mensualités constantes pendant 20 ans au taux nominal annuel de 3,6%. Calculer le montant de la mensualité, en utilisant un taux mensuel équivalent. (Rappel : \(i_m = (1+i_a)^{1/12} - 1\) ) 3. Un investisseur reçoit une rente qui lui verse 2 000 € à la fin de chaque année pendant 10 ans. Si le taux de rendement annuel du marché est de 4,5%, quelle est la valeur actuelle de cette rente aujourd'hui ? ### Résumé Dans cette leçon, nous avons exploré les **annuités de fin de période**, qui sont des séries de paiements égaux effectués à la fin de chaque intervalle. Nous avons appris à calculer deux valeurs clés : * La **valeur acquise (capitalisation)**, qui permet de déterminer le montant total accumulé à la fin de la période d'investissement. * La **valeur actuelle (actualisation)**, qui permet de déterminer la somme unique nécessaire aujourd'hui pour financer une série de paiements futurs. Nous avons également vu comment calculer le montant d'une annuité nécessaire pour atteindre un objectif de valeur future ou pour rembourser un prêt. Ces concepts sont fondamentaux en mathématiques appliquées et vous seront utiles pour analyser et planifier diverses situations financières, qu'il s'agisse d'épargne, d'investissement ou de remboursement d'emprunts. ## Les annuités de début de période ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur les annuités de début de période. En mathématiques financières, une annuité est une série de paiements (ou de versements) effectués à intervalles de temps réguliers. Nous avons déjà étudié les annuités de fin de période, où les paiements sont effectués à la fin de chaque intervalle. Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur un type d'annuité très courant dans la vie quotidienne : les annuités de début de période, où les versements ont lieu au *début* de chaque intervalle. Comprendre ce concept est crucial pour analyser des situations financières telles que les loyers, les primes d'assurance ou certains plans d'épargne. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce qu'une Annuité de Début de Période ? Une **annuité de début de période** (ou annuité « *due* » en anglais) est une série de paiements égaux et réguliers dont chaque versement est effectué au *début* de chaque période. Cela signifie que le premier paiement est fait immédiatement, au temps \( t=0 \). * **Exemples concrets :** * Paiement de loyer (souvent payable au début du mois). * Primes d'assurance (payées au début de la période de couverture). * Certains plans d'épargne où le dépôt est fait en début de période pour générer des intérêts immédiatement. #### Différence avec l'Annuité de Fin de Période La principale différence réside dans le moment du versement. Pour une annuité de fin de période, l'intérêt n'est calculé qu'après le versement de la fin de période. Pour une annuité de début de période, chaque versement génère des intérêts pour la période entière, car il est disponible dès le début de la période. Cela se traduit par un facteur \( (1+i) \) supplémentaire dans les formules par rapport aux annuités de fin de période. #### Valeur Acquise d'une Annuité de Début de Période (Capitalisation) La **valeur acquise** (ou valeur future) d'une annuité de début de période est la somme totale de tous les paiements et des intérêts capitalisés sur ces paiements, calculée à la fin de la dernière période. Puisque chaque paiement est effectué au début de la période, il gagne des intérêts pour une période supplémentaire par rapport à une annuité de fin de période. La formule de la valeur acquise \( V_a \) d'une annuité de début de période est : \[ V_a = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i) \] Où : * \( V_a \) = Valeur acquise (Future Value) * \( a \) = Montant de chaque versement (annuité) * \( i \) = Taux d'intérêt par période (exprimé en décimal, par exemple 5% = 0,05) * \( n \) = Nombre total de périodes de versement #### Valeur Actuelle d'une Annuité de Début de Période (Actualisation) La **valeur actuelle** (ou valeur présente) d'une annuité de début de période est la somme unique qui, placée aujourd'hui au taux d'intérêt donné, serait équivalente à la série de paiements futurs. En d'autres termes, c'est le montant qu'il faudrait emprunter ou investir aujourd'hui pour être en mesure d'effectuer tous les paiements de l'annuité. La formule de la valeur actuelle \( V_p \) d'une annuité de début de période est : \[ V_p = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times (1+i) \] Où : * \( V_p \) = Valeur actuelle (Present Value) * \( a \) = Montant de chaque versement (annuité) * \( i \) = Taux d'intérêt par période (exprimé en décimal) * \( n \) = Nombre total de périodes de versement Notez le facteur \( (1+i) \) à la fin des deux formules, qui est la caractéristique distinctive des annuités de début de période. ### Vocabulaire * **Annuité :** Série de paiements ou de versements égaux et réguliers effectués sur une période donnée. * **Annuité de Début de Période (Annuité Due) :** Annuité dont les paiements sont effectués au début de chaque période d'intérêt. * **Annuité de Fin de Période (Annuité Ordinaire) :** Annuité dont les paiements sont effectués à la fin de chaque période d'intérêt. * **Valeur Acquise (Future Value) :** La valeur finale d'une annuité, incluant tous les paiements et les intérêts accumulés, calculée à la fin de la période. * **Valeur Actuelle (Present Value) :** La valeur présente d'une annuité, représentant la somme unique qui, placée aujourd'hui, serait équivalente à la série de paiements futurs. * **Taux d'Intérêt (i) :** Le taux d'intérêt appliqué par période (doit être cohérent avec la fréquence des versements). * **Période (n) :** L'intervalle de temps entre deux paiements (mensuel, trimestriel, annuel) ou le nombre total de ces intervalles. * **Capitalisation :** Le processus d'ajout d'intérêts au capital pour obtenir un montant futur plus élevé. * **Actualisation :** Le processus de calcul de la valeur présente d'un montant futur. ### Exemples #### Exemple 1 : Valeur Acquise Sophie dépose 200 € au début de chaque année sur un compte d'épargne qui rapporte un taux d'intérêt annuel de 4%. Combien aura-t-elle accumulé après 5 ans ? **Données :** * \( a = 200 \text{ €} \) * \( i = 4\% = 0,04 \) * \( n = 5 \text{ ans} \) **Formule :** \[ V_a = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i) \] **Calcul :** \[ V_a = 200 \times \frac{(1+0,04)^5 - 1}{0,04} \times (1+0,04) \] \[ V_a = 200 \times \frac{(1,04)^5 - 1}{0,04} \times 1,04 \] \[ V_a = 200 \times \frac{1,2166529 - 1}{0,04} \times 1,04 \] \[ V_a = 200 \times \frac{0,2166529}{0,04} \times 1,04 \] \[ V_a = 200 \times 5,4163225 \times 1,04 \] \[ V_a = 1126,60 \text{ €} \] Après 5 ans, Sophie aura accumulé environ 1126,60 €. #### Exemple 2 : Valeur Actuelle Un contrat de location stipule des paiements de 1 000 € au début de chaque trimestre pendant 3 ans. Si le taux d'intérêt trimestriel est de 2% (soit 8% annuel capitalisé trimestriellement), quelle est la valeur actuelle de ce contrat ? **Données :** * \( a = 1 000 \text{ €} \) * \( i = 2\% = 0,02 \) par trimestre * \( n = 3 \text{ ans} \times 4 \text{ trimestres/an} = 12 \text{ trimestres} \) **Formule :** \[ V_p = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times (1+i) \] **Calcul :** \[ V_p = 1000 \times \frac{1 - (1+0,02)^{-12}}{0,02} \times (1+0,02) \] \[ V_p = 1000 \times \frac{1 - (1,02)^{-12}}{0,02} \times 1,02 \] \[ V_p = 1000 \times \frac{1 - 0,788493 \dots}{0,02} \times 1,02 \] \[ V_p = 1000 \times \frac{0,211507 \dots}{0,02} \times 1,02 \] \[ V_p = 1000 \times 10,57535 \times 1,02 \] \[ V_p = 10787,27 \text{ €} \] La valeur actuelle de ce contrat de location est d'environ 10787,27 €. ### Exercices 1. **Calcul de Valeur Acquise :** Un étudiant dépose 50 € au début de chaque mois sur un compte d'épargne pendant 2 ans. Le compte offre un taux d'intérêt annuel de 3,6% capitalisé mensuellement. Calculez le montant total accumulé après 2 ans. * *Indice :* Calculez d'abord le taux d'intérêt mensuel et le nombre de périodes mensuelles. 2. **Calcul de Valeur Actuelle :** Une entreprise loue un équipement pour 5 ans, avec des paiements de 3 000 € au début de chaque semestre. Le taux d'intérêt semestriel est de 3,5%. Quelle est la valeur actuelle du contrat de location ? ### Devoir à la maison 1. **Investissement :** Un investisseur souhaite épargner pour l'achat d'une voiture dans 4 ans. Il prévoit de déposer 300 € au début de chaque trimestre sur un compte qui rapporte 5% d'intérêt annuel, capitalisé trimestriellement. Quel capital aura-t-il à la fin des 4 ans ? 2. **Prêt immobilier :** Une personne envisage de contracter un prêt dont les remboursements s'élèveraient à 800 € par mois, payables en début de mois, pendant 20 ans. Si le taux d'intérêt annuel est de 4,8% capitalisé mensuellement, quel est le montant maximal que cette personne pourrait emprunter aujourd'hui (valeur actuelle du prêt) ? 3. **Analyse comparative :** Comparez la valeur acquise de 10 versements annuels de 100 € à un taux de 6% si les versements sont faits : (a) en fin d'année et (b) en début d'année. ### Résumé Les annuités de début de période sont des séries de paiements réguliers effectués au *début* de chaque période. Elles se distinguent des annuités de fin de période par la capitalisation ou l'actualisation du premier versement dès le début de la première période, ce qui est intégré dans les formules par un facteur \( (1+i) \). Les formules clés à retenir sont : * **Valeur Acquise :** \[ V_a = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i) \] * **Valeur Actuelle :** \[ V_p = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times (1+i) \] La maîtrise de ces concepts est essentielle pour comprendre et évaluer de nombreuses situations financières courantes. Entraînez-vous avec les exemples et les exercices pour solidifier votre compréhension. ## Anticipation et remplacement d’une suite d’annuités ### Introduction Dans le domaine de la finance et des mathématiques appliquées, les annuités représentent une série de paiements égaux effectués à intervalles réguliers. Cependant, les circonstances financières peuvent changer, nécessitant parfois d'adapter ces engagements. Cette leçon explorera deux scénarios courants : l'**anticipation** et le **remplacement** d'une suite d'annuités. Comprendre ces concepts est essentiel pour gérer efficacement les prêts, les épargnes et les investissements à long terme. L'anticipation consiste à solder une dette ou à réaliser un placement plus tôt que prévu, tandis que le remplacement implique la substitution d'une suite d'annuités existante par une nouvelle. Nous verrons comment calculer les montants impliqués dans ces opérations en utilisant les concepts de valeur actuelle et de valeur acquise. ### Concepts Clés #### Rappels sur les Annuités ##### Définition d'une annuité Une annuité est une série de paiements ou de versements égaux et réguliers (mensuels, trimestriels, annuels, etc.) effectués sur une période donnée. ##### Types d'annuités (Annuités constantes de fin de période) Pour cette leçon, nous nous concentrerons principalement sur les annuités constantes, où chaque versement est du même montant, et versées en fin de période (annuités post-numérando). ##### Valeur Acquise (Future Value) d'une suite d'annuités La valeur acquise \( S_n \) représente la somme totale des annuités capitalisées (c'est-à-dire augmentées des intérêts) à la fin de la période de placement. C'est ce qu'un investissement régulier vaudra à l'avenir. La formule de la valeur acquise d'une suite de \( n \) annuités de montant \( a \) au taux d'intérêt \( i \) par période est : \[ S_n = a \frac{(1+i)^n - 1}{i} \] ##### Valeur Actuelle (Present Value) d'une suite d'annuités La valeur actuelle \( V_0 \) représente le capital qu'il faudrait placer aujourd'hui (à l'instant \( t=0 \)) pour pouvoir disposer d'une suite d'annuités futures. C'est la valeur aujourd'hui d'une série de paiements futurs. La formule de la valeur actuelle d'une suite de \( n \) annuités de montant \( a \) au taux d'intérêt \( i \) par période est : \[ V_0 = a \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \] #### L'Anticipation d'une Suite d'Annuités ##### Qu'est-ce que l'anticipation ? L'anticipation consiste à effectuer un remboursement anticipé d'un prêt ou à arrêter des versements (et éventuellement retirer le capital) d'un placement avant la date prévue initialement. Cela peut être motivé par un changement de situation financière ou par le désir de réduire les coûts d'intérêts. ##### Calcul de la valeur d'anticipation Pour calculer le montant nécessaire pour anticiper une suite d'annuités (par exemple, pour rembourser un prêt), il faut déterminer la **valeur actuelle des annuités restantes** à la date de l'anticipation. Ce montant représente le capital restant dû (CRD). * **Exemple :** Si un prêt est remboursable par 10 annuités et que l'on souhaite le rembourser après la 4ème annuité, le montant de l'anticipation sera la valeur actuelle des 6 annuités restantes à la date du 4ème versement. #### Le Remplacement d'une Suite d'Annuités ##### Qu'est-ce que le remplacement ? Le remplacement d'une suite d'annuités consiste à substituer une série de paiements ou de versements par une nouvelle série, avec des montants, une durée ou des fréquences potentiellement différentes. Cela survient souvent lors d'une renégociation de prêt ou d'une restructuration de dettes. ##### Le principe d'équivalence Le remplacement est basé sur le **principe d'équivalence financière**. Cela signifie que la valeur financière de l'ancienne suite d'annuités doit être égale à la valeur financière de la nouvelle suite d'annuités à une **date d'équivalence** commune. Pour appliquer ce principe, on procède comme suit : 1. **Choisir une date d'équivalence :** Généralement, le début de la première suite d'annuités ou la date de la renégociation. 2. **Calculer la valeur actuelle (ou acquise) de l'ancienne suite :** À la date d'équivalence, déterminer la valeur présente (ou future) de tous les flux de l'ancienne suite. 3. **Calculer la valeur actuelle (ou acquise) de la nouvelle suite :** À la même date d'équivalence, déterminer la valeur présente (ou future) de tous les flux de la nouvelle suite. 4. **Égaliser les valeurs :** Mettre la valeur calculée en (2) égale à la valeur calculée en (3) pour trouver l'inconnue (souvent le montant de la nouvelle annuité, la nouvelle durée ou le nouveau taux). ### Vocabulaire * **Annuité :** Paiement régulier et constant sur une période donnée. * **Valeur acquise (Future Value) :** Somme totale des versements capitalisés à la fin d'une période. * **Valeur actuelle (Present Value) :** Valeur présente d'une suite de paiements futurs. * **Anticipation :** Remboursement ou cessation d'un engagement financier avant terme. * **Remplacement :** Substitution d'une série d'annuités par une autre. * **Date d'équivalence :** Point dans le temps choisi pour comparer la valeur financière de différentes suites de flux. * **Taux d'intérêt (\( i \)) :** Coût ou rendement du capital sur une période. * **Période (\( n \)) :** Nombre de versements ou durée totale de l'opération. ### Exemples #### Exemple 1 : Anticipation d'un prêt Un emprunt de 50 000 € est remboursable par 10 annuités constantes de fin de période au taux de 4 % par an. Après le versement de la 6ème annuité, l'emprunteur souhaite solder son prêt par anticipation. **Question :** Quel est le montant du capital restant dû (CRD) au moment de l'anticipation ? **Solution :** Il reste 10 - 6 = 4 annuités à verser. Le CRD est la valeur actuelle de ces 4 annuités restantes. Nous devons d'abord trouver le montant de l'annuité constante \( a \). \( V_0 = a \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \) \( 50000 = a \frac{1 - (1+0.04)^{-10}}{0.04} \) \( 50000 = a \times 8.11089578 \) \( a \approx 6164.48 \text{ €} \) Maintenant, calculons la valeur actuelle des 4 annuités restantes (\( n=4 \)) de 6164.48 € au taux de 4 % : \( CRD = 6164.48 \times \frac{1 - (1+0.04)^{-4}}{0.04} \) \( CRD = 6164.48 \times \frac{1 - 0.85480419}{0.04} \) \( CRD = 6164.48 \times 3.62989525 \) \( CRD \approx 22396.94 \text{ €} \) Le montant du capital restant dû est d'environ 22 396,94 €. #### Exemple 2 : Remplacement d'une suite d'annuités Une entreprise doit rembourser une dette par 5 annuités constantes de 10 000 € chacune au taux de 5 %. Après le versement de la 2ème annuité, elle propose de remplacer les 3 annuités restantes par 2 nouvelles annuités constantes, au taux de 6 %, dont la première sera versée un an après la dernière annuité de l'ancien plan (c'est-à-dire 1 an après la 5ème annuité théorique, ou 3 ans après l'accord de remplacement). Les nouvelles annuités seront versées aux dates habituelles d'annuités. (Simplification: La première nouvelle annuité est versée à la date de la 3ème ancienne annuité. Soit remplacement immédiat des 3 annuités restantes par 2 nouvelles annuités.) **Question :** Quel est le montant des nouvelles annuités ? **Solution (simplifiée pour le niveau Terminale, remplacement immédiat des 3 annuités restantes par 2 nouvelles) :** Utilisons la date de la 2ème annuité comme date d'équivalence (où le remplacement est décidé). 1. **Valeur actuelle des 3 annuités restantes de l'ancienne suite (au taux de 5 %):** \( V_{ancienne} = 10000 \times \frac{1 - (1+0.05)^{-3}}{0.05} \) \( V_{ancienne} = 10000 \times 2.723248 \) \( V_{ancienne} = 27232.48 \text{ €} \) 2. **Valeur actuelle des 2 nouvelles annuités (au taux de 6 %) :** Soit \( a' \) le montant des nouvelles annuités. Elles débutent à la même date que l'équivalence. \( V_{nouvelle} = a' \times \frac{1 - (1+0.06)^{-2}}{0.06} \) \( V_{nouvelle} = a' \times 1.833392 \) 3. **Égalité des valeurs :** \( V_{ancienne} = V_{nouvelle} \) \( 27232.48 = a' \times 1.833392 \) \( a' = \frac{27232.48}{1.833392} \) \( a' \approx 14853.51 \text{ €} \) Le montant des nouvelles annuités sera d'environ 14 853,51 €. ### Exercices 1. Un particulier a contracté un prêt immobilier remboursable par 15 annuités constantes de 8 000 € au taux de 3.5 %. Après le versement de la 9ème annuité, il décide de solder son prêt. Calculez le capital restant dû. 2. Une entreprise doit payer 7 annuités de 12 000 € au taux de 4 %. Après la 3ème annuité, elle propose de remplacer les annuités restantes par 4 nouvelles annuités au taux de 4.5 %. Quel sera le montant de chaque nouvelle annuité ? (Utilisez la date du 3ème versement comme date d'équivalence). ### Devoir Maison 1. Un investisseur a placé 100 € par mois pendant 5 ans au taux mensuel de 0.25 %. Il souhaite retirer l'intégralité de ses fonds après 3 ans et 6 mois. Quel montant pourra-t-il retirer à ce moment-là ? (Conseil : Calculez la valeur acquise au moment du retrait). 2. Un emprunt de 80 000 € est remboursable sur 8 ans par des annuités constantes au taux de 4.2 %. Deux ans après le début du remboursement, le taux du marché passe à 3.8 %. L'emprunteur renégocie son prêt pour les 6 annuités restantes sur une nouvelle durée de 4 ans au nouveau taux. Calculez le montant des nouvelles annuités. ### Résumé Cette leçon nous a permis de comprendre l'importance de l'**anticipation** et du **remplacement** dans la gestion des annuités. L'anticipation, qui vise à solder un engagement avant terme, repose sur le calcul de la **valeur actuelle des annuités restantes**. Quant au remplacement, il s'appuie sur le **principe d'équivalence financière**, où la valeur de l'ancienne suite d'annuités doit être égale à celle de la nouvelle à une date d'équivalence commune. La maîtrise des formules de la valeur actuelle et de la valeur acquise est fondamentale pour aborder ces opérations financières complexes. Ces outils permettent aux particuliers et aux entreprises de s'adapter aux changements de leurs situations financières et d'optimiser leurs stratégies d'investissement et de remboursement.