Coniques

# Fiche de cours : Coniques ## Introduction Les coniques constituent l'une des plus belles synthèses entre la géométrie et l'analyse. Découvertes par les géomètres grecs (Ménechme, Apollonius de Pergé) comme sections d'un cône par un plan, elles regroupent trois familles de courbes : la parabole, l'ellipse et l'hyperbole. Leur importance est capitale en physique (trajectoires des planètes, des projectiles), en optique (miroirs paraboliques, lentilles elliptiques) et en ingénierie. Ce chapitre propose une double approche : géométrique d'abord, par la définition monofocale et les propriétés tangentielles, puis analytique, par l'étude des équations cartésiennes et la reconnaissance de la nature des coniques. --- ## I. Approche géométrique : présentation générale et définition monofocale ### I.1. Les coniques comme sections d'un cône de révolution Soit un cône de révolution de sommet $S$, d'axe $\Delta$ et de demi-angle au sommet $\alpha$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$). On coupe ce cône par un plan $\mathcal{P}$ ne passant pas par $S$. Soit $\theta$ l'angle que fait le plan $\mathcal{P}$ avec l'axe $\Delta$ du cône. > **Définition (section conique)** : La courbe d'intersection du cône de révolution avec le plan $\mathcal{P}$ est appelée **conique**. Sa nature dépend de l'angle $\theta$ : > - Si $\theta = \frac{\pi}{2}$ (plan perpendiculaire à l'axe) : la section est un **cercle**. > - Si $\alpha < \theta < \frac{\pi}{2}$ (plan oblique coupant toutes les génératrices) : la section est une **ellipse**. > - Si $\theta = \alpha$ (plan parallèle à une génératrice) : la section est une **parabole**. > - Si $0 \le \theta < \alpha$ (plan coupant les deux nappes) : la section est une **hyperbole**. Cette approche géométrique, bien que fondamentale historiquement, est peu pratique pour l'étude analytique. On lui préfère la définition monofocale. ### I.2. Définition monofocale d'une conique > **Définition (définition monofocale)** : Soit $(D)$ une droite du plan, $F$ un point n'appartenant pas à $(D)$, et $e$ un réel strictement positif. On appelle **conique de foyer $F$, de directrice $(D)$ et d'excentricité $e$**, notée $\Gamma_e$, l'ensemble des points $M$ du plan tels que : > $$d(M,F) = e \cdot d(M,(D))$$ > où $d(M,(D))$ désigne la distance du point $M$ à la droite $(D)$. Le réel $e$ est appelé **excentricité** de la conique. Le point $F$ est le **foyer** et la droite $(D)$ est la **directrice** associée à $F$. ### I.3. Nature de $\Gamma_e$ selon la valeur de $e$ > **Propriété (nature de la conique)** : Soit $\Gamma_e$ l'ensemble des points $M$ vérifiant $d(M,F) = e \cdot d(M,(D))$. > - Si $e = 1$ : $\Gamma_e$ est une **parabole**. > - Si $0 < e < 1$ : $\Gamma_e$ est une **ellipse**. > - Si $e > 1$ : $\Gamma_e$ est une **hyperbole**. **Démonstration (esquisse)** : On se place dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ où $O$ est le projeté orthogonal de $F$ sur $(D)$, l'axe $(O, \vec{i})$ étant parallèle à $(D)$ et l'axe $(O, \vec{j})$ étant la droite $(OF)$. Posons $p = OF > 0$. Alors $F(0, p)$ et $(D) : y = 0$. Pour $M(x, y)$, on a : $$d(M,F) = \sqrt{x^2 + (y-p)^2} \quad \text{et} \quad d(M,(D)) = |y|$$ L'équation $d(M,F) = e \cdot d(M,(D))$ devient : $$\sqrt{x^2 + (y-p)^2} = e|y|$$ En élevant au carré : $x^2 + (y-p)^2 = e^2 y^2$, soit : $$x^2 + y^2 - 2py + p^2 = e^2 y^2$$ D'où : $$x^2 + (1-e^2)y^2 - 2py + p^2 = 0$$ - Si $e = 1$ : $x^2 - 2py + p^2 = 0$, soit $y = \frac{x^2}{2p} + \frac{p}{2}$. C'est l'équation d'une **parabole**. - Si $e \neq 1$ : on complète le carré en $y$ : $$(1-e^2)\left(y - \frac{p}{1-e^2}\right)^2 + x^2 = \frac{p^2 e^2}{1-e^2}$$ Si $0 < e < 1$, le coefficient $1-e^2 > 0$ : on obtient une **ellipse**. Si $e > 1$, le coefficient $1-e^2 < 0$ : on obtient une **hyperbole**. **Exemple numérique** : Soit $F(0, 2)$ et $(D) : y = 0$. Pour $e = 1$, l'ensemble $\Gamma_1$ a pour équation $y = \frac{x^2}{4} + 1$. C'est une parabole de sommet $S(0, 1)$. ```onbuch-plot {"title":"Parabole y = x²/4 + 1 (e=1, F(0,2), D:y=0)","type":"line","series":[{"label":"y = x²/4 + 1","points":[[-6,10],[-5,7.25],[-4,5],[-3,3.25],[-2,2],[-1,1.25],[0,1],[1,1.25],[2,2],[3,3.25],[4,5],[5,7.25],[6,10]]}]} ``` ### I.4. Éléments caractéristiques d'une conique > **Définition (éléments caractéristiques)** : Pour une conique $\Gamma_e$ de foyer $F$, de directrice $(D)$ et d'excentricité $e$ : > - Le **paramètre** $p$ est la distance de $F$ à $(D)$, notée $p = d(F, (D))$. > - L'**axe focal** est la droite passant par $F$ et perpendiculaire à $(D)$. > - Le **sommet** $S$ est le point de $\Gamma_e$ situé sur l'axe focal, entre $F$ et $(D)$. > - Pour l'ellipse et l'hyperbole, on définit le **centre** $C$, les **deuxièmes foyers et directrices** par symétrie. **Propriété (position du sommet)** : Le sommet $S$ de $\Gamma_e$ vérifie $d(S, F) = e \cdot d(S, (D))$. En notant $c = d(S, F)$, on a $d(S, (D)) = p - c$ (si $S$ est entre $F$ et $(D)$), d'où : $$c = e(p - c) \quad \Rightarrow \quad c = \frac{ep}{1+e}$$ Ainsi, $S$ est situé à la distance $\frac{ep}{1+e}$ de $F$ sur l'axe focal. --- ## II. Tangente à une conique et image par une similitude directe ### II.1. Tangente à une conique en un point > **Théorème (tangente à une conique)** : Soit $\Gamma_e$ une conique de foyer $F$, de directrice $(D)$ et d'excentricité $e$. Soit $M_0$ un point de $\Gamma_e$. La tangente à $\Gamma_e$ en $M_0$ est la droite passant par $M_0$ et dont l'équation s'obtient par la règle de **dédoublement des termes** à partir de l'équation de la conique. **Démonstration et application** : On se place dans le repère précédent où $F(0, p)$ et $(D) : y = 0$. L'équation de $\Gamma_e$ est : $$x^2 + (1-e^2)y^2 - 2py + p^2 = 0$$ Soit $M_0(x_0, y_0) \in \Gamma_e$. La tangente en $M_0$ a pour équation : $$xx_0 + (1-e^2)yy_0 - p(y + y_0) + p^2 = 0$$ **Vérification** : La forme bilinéaire symétrique associée à la forme quadratique $Q(x, y) = x^2 + (1-e^2)y^2 - 2py + p^2$ donne, pour le point $M_0$ : $$B(M, M_0) = xx_0 + (1-e^2)yy_0 - p(y + y_0) + p^2$$ La tangente est $B(M, M_0) = 0$, ce qui donne bien l'équation annoncée. **Propriété géométrique de la tangente** : > **Propriété (bissectrice)** : La tangente à une conique en un point $M_0$ est la bissectrice de l'angle formé par la droite $(M_0F)$ et la perpendiculaire en $M_0$ à la directrice $(D)$. Cette propriété est à la base des applications physiques : un rayon lumineux issu du foyer se réfléchit parallèlement à l'axe focal sur une parabole (propriété des miroirs paraboliques). **Exemple numérique** : Pour la parabole $y = \frac{x^2}{4} + 1$ (cas $e=1$, $p=2$), l'équation est $x^2 - 4y + 4 = 0$. Au point $M_0(2, 2)$, la tangente a pour équation : $$2x - 4 \cdot \frac{y+2}{2} + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x - 2y - 4 + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x - y = 0$$ La tangente en $M_0(2,2)$ est donc la droite $y = x$. ### II.2. Image d'une conique par une similitude directe > **Théorème (invariance par similitude)** : L'image d'une conique $\Gamma_e$ de foyer $F$, de directrice $(D)$ et d'excentricité $e$ par une similitude directe $s$ de rapport $k > 0$ et d'angle $\theta$ est une conique $\Gamma'_e$ de même excentricité $e$, de foyer $F' = s(F)$ et de directrice $(D') = s(D)$. **Démonstration** : Soit $s$ une similitude directe de rapport $k$ et d'angle $\theta$. Pour tout point $M$, on note $M' = s(M)$. Une similitude directe multiplie toutes les distances par $k$ : $$d(M', F') = k \cdot d(M, F) \quad \text{et} \quad d(M', (D')) = k \cdot d(M, (D))$$ Si $M \in \Gamma_e$, alors $d(M, F) = e \cdot d(M, (D))$. En multipliant par $k$ : $$k \cdot d(M, F) = e \cdot k \cdot d(M, (D))$$ D'où $d(M', F') = e \cdot d(M', (D'))$. Donc $M' \in \Gamma'_e$ où $\Gamma'_e$ est la conique de foyer $F'$, de directrice $(D')$ et de même excentricité $e$. **Conséquences pratiques** : Pour tracer une conique, on peut : 1. La définir dans un repère simple (forme réduite). 2. Appliquer une similitude directe (translation, rotation, homothétie) pour obtenir la conique dans la position voulue. **Exemple** : L'image de la parabole $y = x^2$ par la similitude directe de centre $O$, de rapport $2$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$ est une parabole de même excentricité $e=1$, dont le foyer est l'image du foyer initial $F\left(0, \frac{1}{4}\right)$ par cette similitude. --- ## III. Approche analytique : équations cartésiennes et reconnaissance ### III.1. Équation cartésienne dans un repère orthonormé convenable > **Définition (équation réduite)** : Dans un repère orthonormé convenable (origine au centre ou au sommet, axes selon les axes de symétrie), l'équation d'une conique prend une forme dite **réduite** : > - **Parabole** ($e=1$) : $y^2 = 2px$ ou $x^2 = 2py$ (avec $p > 0$). > - **Ellipse** ($0 < e < 1$) : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ avec $a > b > 0$. > - **Hyperbole** ($e > 1$) : $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ou $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$. **Lien avec l'excentricité** : - Pour l'ellipse : $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ (distance focale), $e = \frac{c}{a}$, foyers $F_1(-c, 0)$ et $F_2(c, 0)$, directrices $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a^2}{c}$. - Pour l'hyperbole : $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $e = \frac{c}{a}$, foyers $F_1(-c, 0)$ et $F_2(c, 0)$, directrices $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{a^2}{c}$. - Pour la parabole $y^2 = 2px$ : foyer $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$, directrice $x = -\frac{p}{2}$, sommet $O(0, 0)$. ### III.2. Équation générale du second degré > **Théorème (forme générale)** : Toute conique admet une équation cartésienne de la forme : > $$ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0$$ > où $a$ et $b$ sont des réels non tous deux nuls. Réciproquement, une telle équation représente une conique (éventuellement dégénérée : deux droites, un point, ou l'ensemble vide). **Remarque** : Dans ce chapitre, on se limite au cas où il n'y a pas de terme en $xy$ (axes de la conique parallèles aux axes du repère). Le cas général avec terme en $xy$ nécessite une rotation du repère. ### III.3. Reconnaissance de la nature d'une conique > **Méthode (reconnaissance)** : Pour reconnaître la nature de la conique d'équation $ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0$ : > 1. **Si $a = 0$ ou $b = 0$** (un seul terme du second degré) : la conique est une **parabole** (ou un ensemble dégénéré). > 2. **Si $a$ et $b$ sont de même signe** : la conique est une **ellipse** (ou un point, ou l'ensemble vide). > 3. **Si $a$ et $b$ sont de signes contraires** : la conique est une **hyperbole** (ou deux droites sécantes). **Démonstration par complétion des carrés** : On écrit : $$a\left(x + \frac{c}{2a}\right)^2 + b\left(y + \frac{d}{2b}\right)^2 = \frac{c^2}{4a} + \frac{d^2}{4b} - e$$ En posant $X = x + \frac{c}{2a}$ et $Y = y + \frac{d}{2b}$, on obtient : $$aX^2 + bY^2 = K \quad \text{où} \quad K = \frac{c^2}{4a} + \frac{d^2}{4b} - e$$ - Si $a$ et $b$ sont de même signe et $K$ du même signe que $a$ et $b$ : ellipse. - Si $a$ et $b$ sont de signes contraires et $K \neq 0$ : hyperbole. - Si $a = 0$ (ou $b = 0$) : parabole (après complétion du carré en l'autre variable). ### III.4. Détermination des éléments caractéristiques > **Propriété (éléments à partir de l'équation)** : Pour une conique d'équation $ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0$ : > - **Centre** (si $a \neq 0$ et $b \neq 0$) : $C\left(-\frac{c}{2a}, -\frac{d}{2b}\right)$. > - **Axes de symétrie** : les droites $x = -\frac{c}{2a}$ et $y = -\frac{d}{2b}$ (parallèles aux axes du repère). > - **Sommets** : intersections de la conique avec ses axes de symétrie. > - **Foyers et directrices** : calculés à partir de $a$, $b$ et $K$ après réduction. **Exemple 1 (ellipse)** : Soit $4x^2 + 9y^2 - 16x + 18y - 11 = 0$. Complétion des carrés : $$4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) - 11 = 0$$ $$4(x - 2)^2 - 16 + 9(y + 1)^2 - 9 - 11 = 0$$ $$4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36$$ En divisant par 36 : $$\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$ C'est une **ellipse** de centre $C(2, -1)$, de demi-grand axe $a = 3$ (selon $x$), de demi-petit axe $b = 2$. Distance focale : $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$. Excentricité : $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Foyers : $F_1(2 - \sqrt{5}, -1)$ et $F_2(2 + \sqrt{5}, -1)$. Directrices : $x = 2 \pm \frac{a^2}{c} = 2 \pm \frac{9}{\sqrt{5}}$. Sommets : $(2 \pm 3, -1)$ et $(2, -1 \pm 2)$. ```onbuch-svg <svg width="400" height="300" viewBox="-5 -4 10 8" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <line x1="-5" y1="0" x2="5" y2="0" stroke="black" stroke-width="0.5"/> <line x1="0" y1="-4" x2="0" y2="4" stroke="black" stroke-width="0.5"/> <ellipse cx="0" cy="0" rx="3" ry="2" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/> <circle cx="-2.236" cy="0" r="0.15" fill="red"/> <circle cx="2.236" cy="0" r="0.15" fill="red"/> <text x="-2.5" y="-0.3" font-size="0.5" fill="red">F1</text> <text x="2.2" y="-0.3" font-size="0.5" fill="red">F2</text> <text x="3.1" y="0.3" font-size="0.5">A(3,0)</text> <text x="-3.5" y="0.3" font-size="0.5">A'(-3,0)</text> <text x="0.2" y="2.3" font-size="0.5">B(0,2)</text> <text x="0.2" y="-2.3" font-size="0.5">B'(0,-2)</text> <text x="-1" y="-3.5" font-size="0.6" fill="blue">x²/9 + y²/4 = 1</text> </svg> ``` **Exemple 2 (hyperbole)** : Soit $x^2 - 4y^2 - 2x - 8y - 7 = 0$. Complétion des carrés : $$(x^2 - 2x) - 4(y^2 + 2y) - 7 = 0$$ $$(x - 1)^2 - 1 - 4(y + 1)^2 + 4 - 7 = 0$$ $$(x - 1)^2 - 4(y + 1)^2 = 4$$ En divisant par 4 : $$\frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+1)^2}{1} = 1$$ C'est une **hyperbole** de centre $C(1, -1)$, de demi-axe transverse $a = 2$, de demi-axe conjugué $b = 1$. Distance focale : $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5}$. Excentricité : $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Foyers : $F_1(1 - \sqrt{5}, -1)$ et $F_2(1 + \sqrt{5}, -1)$. Directrices : $x = 1 \pm \frac{a^2}{c} = 1 \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$. Sommets : $(1 \pm 2, -1)$, soit $(-1, -1)$ et $(3, -1)$. Asymptotes : $y + 1 = \pm \frac{1}{2}(x - 1)$. ```onbuch-svg <svg width="400" height="300" viewBox="-5 -4 10 8" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <line x1="-5" y1="0" x2="5" y2="0" stroke="black" stroke-width="0.5"/> <line x1="0" y1="-4" x2="0" y2="4" stroke="black" stroke-width="0.5"/> <line x1="-5" y1="2.5" x2="5" y2="-1.5" stroke="gray" stroke-width="0.5" stroke-dasharray="2,2"/> <line x1="-5" y1="-1.5" x2="5" y2="2.5" stroke="gray" stroke-width="0.5" stroke-dasharray="2,2"/> <path d="M -5 -1.5 Q -3 -1 -2 -1 L 2 -1 Q 3 -1 5 -1.5" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/> <path d="M -5 0.5 Q -3 0 -2 0 L 2 0 Q 3 0 5 0.5" fill="none" stroke="blue" stroke-width="2"/> <circle cx="-1" cy="-1" r="0.15" fill="red"/> <circle cx="3" cy="-1" r="0.15" fill="red"/> <text x="-1.3" y="-1.3" font-size="0.5" fill="red">S1</text> <text x="3.1" y="-1.3" font-size="0.5" fill="red">S2</text> <text x="0.5" y="-3.5" font-size="0.6" fill="blue">x²/4 - y² = 1</text> </svg> ``` **Exemple 3 (parabole)** : Soit $y^2 - 6y - 4x + 1 = 0$. Complétion du carré en $y$ : $$(y - 3)^2 - 9 - 4x + 1 = 0$$ $$(y - 3)^2 = 4x + 8 = 4(x + 2)$$ En posant $Y = y - 3$ et $X = x + 2$, on obtient $Y^2 = 4X$. C'est une **parabole** de sommet $S(-2, 3)$, de paramètre $p = 2$, de foyer $F(-2 + 1, 3) = F(-1, 3)$, de directrice $x = -2 - 1 = -3$. L'axe de symétrie est la droite $y = 3$. ```onbuch-plot {"title":"Parabole (y-3)² = 4(x+2)","type":"line","series":[{"label":"y = 3 + 2√(x+2)","points":[[-2,3],[-1.75,3.5],[-1.5,3.828],[-1.25,4.118],[-1,4.382],[-0.5,4.828],[0,5.236],[0.5,5.606],[1,5.944],[1.5,6.257],[2,6.55],[3,7.07],[4,7.53],[5,7.94],[6,8.31],[7,8.66],[8,8.99]]},{"label":"y = 3 - 2√(x+2)","points":[[-2,3],[-1.75,2.5],[-1.5,2.172],[-1.25,1.882],[-1,1.618],[-0.5,1.172],[0,0.764],[0.5,0.394],[1,0.056],[1.5,-0.257],[2,-0.55],[3,-1.07],[4,-1.53],[5,-1.94],[6,-2.31],[7,-2.66],[8,-2.99]]}]} ``` ### III.5. Cas particuliers et coniques dégénérées > **Propriété (cas dégénérés)** : L'équation $ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0$ peut représenter : > - **Deux droites sécantes** (hyperbole dégénérée) : par exemple $x^2 - y^2 = 0$ donne $y = \pm x$. > - **Deux droites parallèles** (parabole dégénérée) : par exemple $x^2 - 1 = 0$ donne $x = \pm 1$. > - **Un point** (ellipse dégénérée) : par exemple $x^2 + y^2 = 0$ donne le point $O(0,0)$. > - **L'ensemble vide** : par exemple $x^2 + y^2 + 1 = 0$. **Exemple** : L'équation $x^2 - 4y^2 = 0$ se factorise en $(x - 2y)(x + 2y) = 0$, soit deux droites sécantes $y = \frac{x}{2}$ et $y = -\frac{x}{2}$. ### III.6. Synthèse : tableau récapitulatif > **Tableau de reconnaissance** : > > | Équation réduite | Nature | Centre/Sommet | Foyers | Directrices | Excentricité | > |---|---|---|---|---|---| > | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b$) | Ellipse | $C(0,0)$ | $(\pm c, 0)$, $c = \sqrt{a^2-b^2}$ | $x = \pm \frac{a^2}{c}$ | $e = \frac{c}{a} < 1$ | > | $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ | Hyperbole | $C(0,0)$ | $(\pm c, 0)$, $c = \sqrt{a^2+b^2}$ | $x = \pm \frac{a^2}{c}$ | $e = \frac{c}{a} > 1$ | > | $y^2 = 2px$ | Parabole | $S(0,0)$ | $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ | $x = -\frac{p}{2}$ | $e = 1$ | > | $x^2 = 2py$ | Parabole | $S(0,0)$ | $F\left(0, \frac{p}{2}\right)$ | $y = -\frac{p}{2}$ | $e = 1$ | --- ## Conclusion L'étude des coniques révèle une profonde unité : parabole, ellipse et hyperbole sont toutes décrites par la même relation $d(M,F) = e \cdot d(M,(D))$, où l'excentricité $e$ détermine la nature de la courbe. L'approche géométrique fournit des propriétés tangentielles élégantes (bissectrice, réflexion), tandis que l'approche analytique, par l'équation $ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0$, permet une reconnaissance systématique et le calcul précis des éléments caractéristiques (centre, foyers, directrices, sommets, asymptotes). La maîtrise de ces deux points de vue est essentielle pour résoudre les problèmes de géométrie analytique au Baccalauréat, notamment ceux combinant coniques et similitudes. Les coniques trouvent des applications directes en mécanique céleste (première loi de Kepler : les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer), en optique géométrique et en architecture.