Équations, inéquations et systèmes du second degré

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de - reconnaître une équation du second degré et en déterminer le nombre et la nature de ses solutions à l’aide du discriminant ; - résoudre une équation du second degré par factorisation, complétion du carré ou formule générale ; - résoudre une inéquation du second degré en étudiant le signe du trinôme associé ; - construire et interpréter un tableau de signe pour déterminer l’ensemble des solutions d’une inéquation ; - résoudre un système constitué d’une équation du second degré et d’une équation du premier degré (ou de deux équations du second degré) par substitution ou élimination ; - modéliser des problèmes simples (géométrie, physique, économie) à l’aide d’équations, d’inéquations ou de systèmes du second degré et en interpréter les résultats dans le contexte du problème. **Prérequis** : - maîtrise du calcul littéral (développement, factorisation, réduction) ; - connaissance des équations du premier degré et de leurs méthodes de résolution ; - notion de fonction du second degré (parabole, sommet, axe de symétrie) ; - savoir lire et construire un tableau de signe d’une expression linéaire ou du produit de deux facteurs linéaires ; - notions de bases sur les ensembles de nombres (ℝ, ℚ, ℤ, ℕ) et sur les intervalles. > **À retenir** : Le discriminant Δ = b² − 4ac d’un trinôme ax² + bx + c détermine entièrement la nature des racines de l’équation ax² + bx + c = 0. ## Introduction contextualisée Les équations du second degré apparaissent naturellement dans de nombreuses situations du quotidien et des sciences : trajectoire d’un projectile lancé, aire d’un rectangle dont les côtés dépendent d’une variable inconnue, optimisation d’un profit en fonction du nombre d’unités produites, etc. Leur étude permet de passer d’une description qualitative (« le projectile atteint le sol ») à une quantification précise (« à quel instant ? »). Les inéquations du second degré, quant à elles, servent à déterminer les intervalles où une grandeur reste positive, négative ou nulle – par exemple, les valeurs de temps pour lesquelles la hauteur d’un objet reste au‑dessus du sol. Enfin, les systèmes du second degré modélisent des situations où deux conditions doivent être simultanément satisfaites, comme l’intersection d’une parabole et d’une droite (point d’impact d’un projectile sur un plan incliné) ou l’équilibre entre deux contraintes quadratiques en économie. Le programme officiel du MINESEC/IGE pour la série A (Première) insiste sur l’approche par compétences : l’élève doit non seulement savoir appliquer des formules, mais aussi justifier chaque étape, interpréter les résultats et les relier à un contexte. Ce cours suit cette logique : chaque notion est d’abord définie, puis démontrée, illustrée par des exemples progressifs, enfin mise en pratique à travers des exercices de type baccalauréat. ## I. Équations du second degré ### 1. Définition et forme canonique Une **équation du second degré** (ou équation quadratique) en une inconnue x s’écrit sous la forme $$ax^{2}+bx+c=0\qquad\text{avec }a,b,c\in\mathbb{R},\ a\neq0.$$ Le coefficient **a** est appelé coefficient directeur du terme quadratique, **b** le coefficient linéaire et **c** le terme constant. > **À retenir** : La condition $a\neq0$ est essentielle ; sinon l’équation se réduit à du premier degré. On peut mettre l’équation sous forme **canonique** (ou forme sommet) en complétant le carré : $$ax^{2}+bx+c=a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}-\frac{\Delta}{4a},\quad\text{où }\Delta=b^{2}-4ac.$$ Cette forme montre clairement le rôle du discriminant Δ. ### 2. Discriminant et nature des racines Le **discriminant** d’un trinôme du second degré est défini par $$\Delta=b^{2}-4ac.$$ Il permet de déterminer le nombre et la nature des solutions réelles de l’équation : - Si $\Delta>0$, l’équation admet **deux racines réelles distinctes** ; - Si $\Delta=0$, l’équation admet une **racine double** (racine réelle d’ordre 2) ; - Si $\Delta<0$, l’équation n’a **aucune racine réelle** (ses racines sont deux nombres complexes conjugués). > **À retenir** : Le signe de Δ détermine la position de la parabole par rapport à l’axe des x : deux intersections (Δ>0), tangence (Δ=0), aucune intersection (Δ<0). **Démonstration** (rappel rapide) : En forme canonique, $$ax^{2}+bx+c=a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}-\frac{\Delta}{4a}.$$ Poser l’expression égale à zéro donne $$a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}=\frac{\Delta}{4a}.$$ En multipliant les deux côtés par $a$, on obtient $$a^{2}\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}=\frac{\Delta}{4}.$$ Le membre de gauche est un carré multiplié par $a^{2}$, donc toujours ≥0. Ainsi, l’existence d’une solution réelle nécessite $\Delta≥0$, et le signe de $\Delta$ détermine le nombre de solutions réelles (deux distinctes si $\Delta>0$, une double si $\Delta=0$, aucune si $\Delta<0$). ### 3. Méthodes de résolution #### 3.1 Factorisation Lorsque le trinôme se factorise comme $a(x-r_{1})(x-r_{2})$, les racines sont $r_{1}$ et $r_{2}$. #### 3.2 Complétion du carré Partant de $ax^{2}+bx+c=0$, on divise par a (a≠0) : $$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.$$ On ajoute et soustrait $\bigl(\frac{b}{2a}\bigr)^{2}$ : $$\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)^{2}=\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}=\frac{\Delta}{4a^{2}}.$$ On prend alors la racine carrée : $$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.$$ #### 3.3 Formule générale La résolution précédente donne directement la **formule du trinôme** : $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.$$ > **À retenir** : La formule générale vaut pour tout trinôme du second degré, quel que soit le signe de Δ (dans le cas Δ<0, on obtient des solutions complexes). ### 4. Exemples entièrement résolus #### Exemple 1 (factorisation simple) Résoudre $2x^{2}-5x+2=0$. **Étape 1** : Rechercher deux nombres dont le produit vaut $2\cdot2=4$ et la somme vaut $-5$. Ces nombres sont $-1$ et $-4$. **Étape 2** : Réécrire le terme linéaire : $$2x^{2}-x-4x+2=0.$$ **Étape 3** : Factoriser par groupes : $$x(2x-1)-2(2x-1)=0\;\Longrightarrow\;(2x-1)(x-2)=0.$$ **Étape 4** : Annuler chaque facteur : $$2x-1=0\;\Rightarrow\;x=\frac12,\qquad x-2=0\;\Rightarrow\;x=2.$$ **Solution** : $S=\bigl\{\frac12,\,2\bigr\}$. #### Exemple 2 (utilisation de la formule, Δ négatif) Résoudre $3x^{2}+4x+5=0$. **Étape 1** : Identifier $a=3$, $b=4$, $c=5$. **Étape 2** : Calculer le discriminant : $$\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot3\cdot5=16-60=-44.$$ **Étape 3** : Comme $\Delta<0$, il n’y a pas de solution réelle. On peut toutefois écrire les solutions complexes : $$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{-44}}{6}=\frac{-4\pm 2i\sqrt{11}}{6}=\frac{-2\pm i\sqrt{11}}{3}.$$ **Solution** : $S_{\mathbb{C}}=\bigl\{\frac{-2+i\sqrt{11}}{3},\;\frac{-2-i\sqrt{11}}{3}\bigr\}$. Aucun réel. ### 5. Application concrète Un lanceur de balle lance une projectile depuis le sol. Sa hauteur (en mètres) après $t$ secondes est modélisée par $$h(t)=-5t^{2}+20t.$$ On veut savoir après combien de temps la balle retombe au sol ($h(t)=0$). Résoudre $-5t^{2}+20t=0$ → factoriser $-5t(t-4)=0$ → $t=0$ (lancement) ou $t=4$ s. La balle touche le sol à $t=4$ s. ## II. Inéquations du second degré ### 1. Définition Une **inéquation du second degré** s’écrit sous l’une des formes $$ax^{2}+bx+c\;>\;0,\quad ax^{2}+bx+c\;\ge\;0,\quad ax^{2}+bx+c\;<\;0,\quad ax^{2}+bx+c\;\le\;0,$$ avec $a\neq0$. > **À retenir** : La résolution d’une inéquation du second degré revient à déterminer les intervalles de ℝ où le trinôme $P(x)=ax^{2}+bx+c$ garde un signe constant (positif, négatif ou nul). ### 2. Méthode générale : étude du signe du trinôme 1. Calculer le discriminant $\Delta=b^{2}-4ac$. 2. Trouver les racines réelles (si elles existent) : $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$. 3. Dresser un tableau de signe de $P(x)$ en tenant compte : - du signe du coefficient directeur $a$ (ouverture de la parabole) ; - de la position des racines sur l’axe des x. 4. Lire l’ensemble des solutions selon l’inégalité demandée. #### 2.1 Tableau de signe selon le discriminant | Cas de Δ | Signes de $a$ | Forme de $P(x)$ | Tableau de signe (exemple) | |----------|--------------|------------------|----------------------------| | Δ>0 | $a>0$ | deux racines distinctes $x_{1}<x_{2}$ | $-$ sur $(-\infty,x_{1})$, $+$ sur $(x_{1},x_{2})$, $-$ sur $(x_{2},+\infty)$ | | Δ>0 | $a<0$ | même racines | $+$ sur $(-\infty,x_{1})$, $-$ sur $(x_{1},x_{2})$, $+$ sur $(x_{2},+\infty)$ | | Δ=0 | $a>0$ | racine double $x_{0}$ | $+$ partout sauf en $x_{0}$ où $P(x)=0$ | | Δ=0 | $a<0$ | racine double $x_{0}$ | $-$ partout sauf en $x_{0}$ où $P(x)=0$ | | Δ<0 | $a>0$ | aucune racine réelle | $P(x)>0$ ∀ x∈ℝ | | Δ<0 | $a<0$ | aucune racine réelle | $P(x)<0$ ∀ x∈ℝ | > **À retenir** : Lorsque Δ<0, le trinôme garde le signe de $a$ pour tout réel. ### 3. Démonstration de la règle du signe Soit $P(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ lorsque Δ≥0 (les racines peuvent être égales). Le signe de $P(x)$ est le produit du signe de $a$ et des signes de $(x-x_{1})$ et $(x-x_{2})$. Chaque facteur linéaire change de signe en passant par sa racine. En parcourant l’axe de gauche à droite, on obtient exactement les alternances indiquées dans le tableau ci‑dessus. ### 4. Exemples entièrement résolus #### Exemple 1 (Δ>0, inéquation stricte) Résoudre $2x^{2}-3x-2>0$. **Étape 1** : $a=2$, $b=-3$, $c=-2$. **Étape 2** : Discriminant : $$\Delta=(-3)^{2}-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25>0.$$ **Étape 3** : Racines : $$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{3\pm5}{4}\;\Rightarrow\;x_{1}=-\frac12,\;x_{2}=2.$$ **Étape 4** : Comme $a>0$, la parabole s’ouvre vers le haut. Tableau de signe : - $(-\infty,-\frac12)$ : $P(x)>0$ (test $x=-1$ → $2+3-2=3>0$) ; - $(-\frac12,2)$ : $P(x)<0$ (test $x=0$ → $-2<0$) ; - $(2,+\infty)$ : $P(x)>0$ (test $x=3$ → $18-9-2=7>0$). **Étape 5** : L’inéquation demande $>0$. On prend les intervalles où $P(x)>0$ : $$S=(-\infty,-\tfrac12)\cup(2,+\infty).$$ #### Exemple 2 (Δ=0, inéquation large) Résoudre $-x^{2}+4x-4\le0$. **Étape 1** : $a=-1$, $b=4$, $c=-4$. **Étape 2** : Discriminant : $$\Delta=4^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-4)=16-16=0.$$ **Étape 3** : Racine double : $$x_{0}=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2.$$ **Étape 4** : Comme $a<0$, la parabole s’ouvre vers le bas et est nulle uniquement en $x=2$. Pour tout autre $x$, $P(x)<0$. **Étape 5** : L’inéquation demande $\le0$. On accepte donc tous les réels (puisque $P(x)\le0$ partout) : $$S=\mathbb{R}.$$ ### 5. Application concrète Une entreprise produit $x$ milliers d’articles. Son bénéfice (en milliers d’euros) est modélisé par $$B(x)=-2x^{2}+12x-16.$$ On veut savoir pour quelles valeurs de $x$ le bénéfice est non négatif ($B(x)\ge0$). Résoudre $-2x^{2}+12x-16\ge0$ → multiplier par $-1$ (inversion du sens) : $2x^{2}-12x+16\le0$. Discriminant : $\Delta=144-128=16>0$. Racines : $x=\frac{12\pm4}{4}=2$ ou $8$. Comme le coefficient de $x^{2}$ après multiplication est positif ($2>0$), le trinôme est $\le0$ entre ses racines : $$S=[2,8].$$ Ainsi, produire entre 2000 et 8000 articles assure un bénéfice nul ou positif. ## III. Systèmes du second degré ### 1. Définition Un **système du second degré** est un ensemble d’équations où au moins une équation est du second degré. Les formes les plus rencontrées en Première sont : - un système constitué d’une équation du second degré et d’une équation du premier degré ; - un système de deux équations du second degré. On cherche les couples $(x,y)$ (ou $(x_{1},x_{2})$ selon le nombre d’inconnues) qui satisfont simultanément toutes les équations. > **À retenir** : La résolution d’un système passe généralement par la **substitution** (exprimer une variable à partir de l’équation du premier degré et la remplacer dans l’équation du second degré) ou par l’**élimination** (combiner les équations pour éliminer une variable). ### 2. Méthode de substitution (cas linéaire + quadratique) Considérons le système $$\left\{\begin{array}{l} ax^{2}+bx+c=y\\[2mm] px+q=y \end{array}\right.$$ avec $a\neq0$. **Étape 1** : Égaler les deux expressions de $y$ : $$ax^{2}+bx+c=px+q.$$ **Étape 2** : Reporter tous les termes d’un côté : $$ax^{2}+(b-p)x+(c-q)=0.$$ On obtient une équation du second degré en $x$. **Étape 3** : Résoudre cette équation (discriminant, formule, etc.) → on obtient 0, 1 ou 2 valeurs réelles pour $x$. **Étape 4** : Pour chaque valeur de $x$, calculer $y$ à l’aide de l’équation linéaire $y=px+q$. **Étape 5** : Vérifier (optionnel) que le couple obtenu satisfait bien les deux équations initiales. > **À retenir** : Le nombre de solutions du système correspond au nombre de racines réelles de l’équation du second degré obtenue après substitution. ### 3. Démonstration de la validité de la substitution Puisque les deux équations donnent la même quantité $y$, les égaler ne change pas l’ensemble des solutions : si $(x,y)$ satisfait les deux équations originales, alors nécessairement $ax^{2}+bx+c=px+q$. Réciproquement, si $x$ vérifie l’équation du second degré obtenue et que l’on définit $y=px+q$, alors les deux équations originales sont satisfaites par construction. Donc les deux systèmes sont équivalents. ### 4. Exemples entièrement résolus #### Exemple 1 (linéaire + quadratique) Résoudre $$\left\{\begin{array}{l} y=x^{2}-4x+3\\[2mm] y=2x-1 \end{array}\right.$$ **Étape 1** : Égaler les deux expressions de $y$ : $$x^{2}-4x+3=2x-1.$$ **Étape 2** : Porter tout à gauche : $$x^{2}-6x+4=0.$$ **Étape 3** : Discriminant : $\Delta=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot4=36-16=20>0$. Racines : $$x=\frac{6\pm\sqrt{20}}{2}=3\pm\sqrt{5}.$$ **Étape 4** : Calculer $y$ avec $y=2x-1$ : - Pour $x=3+\sqrt{5}$ : $y=2(3+\sqrt{5})-1=5+2\sqrt{5}$. - Pour $x=3-\sqrt{5}$ : $y=2(3-\sqrt{5})-1=5-2\sqrt{5}$. **Solution** : $$S=\bigl\{(3+\sqrt{5},\,5+2\sqrt{5}),\;(3-\sqrt{5},\,5-2\sqrt{5})\bigr\}.$$ #### Exemple 2 (deux équations du second degré) Résoudre $$\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=25\\[2mm] x^{2}-y=9 \end{array}\right.$$ **Étape 1** : De la seconde équation, isoler $y$ : $y=x^{2}-9$. **Étape 2** : Substituer dans la première : $$x^{2}+(x^{2}-9)^{2}=25.$$ **Étape 3** : Développer : $$x^{2}+x^{4}-18x^{2}+81=25\;\Longrightarrow\;x^{4}-17x^{2}+56=0.$$ Posons $u=x^{2}$ ($u\ge0$) : $$u^{2}-17u+56=0.$$ **Étape 4** : Résoudre en $u$ : discriminant $\Delta=289-224=65$. $$u=\frac{17\pm\sqrt{65}}{2}.$$ Les deux valeurs sont positives (puisque $\sqrt{65}<17$). **Étape 5** : Retourner à $x$ : $$x=\pm\sqrt{u}=\pm\sqrt{\frac{17\pm\sqrt{65}}{2}}.$$ On obtient quatre valeurs possibles pour $x$ (deux signes pour chaque racine de $u$). **Étape 6** : Calculer $y=x^{2}-9=u-9$ : - Pour $u_{1}=\frac{17+\sqrt{65}}{2}$ : $y_{1}= \frac{17+\sqrt{65}}{2}-9=\frac{-1+\sqrt{65}}{2}$. - Pour $u_{2}=\frac{17-\sqrt{65}}{2}$ : $y_{2}= \frac{17-\sqrt{65}}{2}-9=\frac{-1-\sqrt{65}}{2}$. **Solution** : $$S=\left\{\left(\pm\sqrt{\frac{17+\sqrt{65}}{2}},\;\frac{-1+\sqrt{65}}{2}\right),\; \left(\pm\sqrt{\frac{17-\sqrt{65}}{2}},\;\frac{-1-\sqrt{65}}{2}\right)\right\}.$$ (On peut laisser les racines sous cette forme ou les approximer numériquement si demandé.) ### 5. Application concrète Un jardin rectangulaire doit être entouré d’une clôture de 30 m de longueur. On souhaite que son aire soit au moins 50 m². Soit $x$ la longueur (en m) et $y$ la largeur. Périmètre : $2(x+y)=30\Rightarrow x+y=15$. Aire : $xy\ge 50$. On forme le système $$\left\{\begin{array}{l} x+y=15\\[2mm] xy\ge 50 \end{array}\right.$$ En exprimant $y=15-x$ et en substituant dans l’inéquation : $$x(15-x)\ge 50\;\Longrightarrow\;-x^{2}+15x-50\ge0\;\Longrightarrow\;x^{2}-15x+50\le0.$$ Discriminant : $\Delta=225-200=25$. Racines : $x=\frac{15\pm5}{2}=5$ ou $10$. Comme le coefficient de $x^{2}$ est positif, l’inéquation $\le0$ vaut entre les racines : $$x\in[5,10].$$ Ainsi, la longueur doit être comprise entre 5 m et 10 m (et la largeur alors entre 10 m et 5 m respectivement) pour respecter les contraintes. ## Synthèse du chapitre - **Équation du second degré** : $ax^{2}+bx+c=0$, $a\neq0$. - **Discriminant** : $\Delta=b^{2}-4ac$. - $\Delta>0$ → deux racines réelles distinctes. - $\Delta=0$ → racine double. - $\Delta<0$ → aucune racine réelle (solutions complexes conjuguées). - **Formule générale** : $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$. - **Méthodes de résolution** : factorisation, complétion du carré, formule générale. - **Inéquation du second degré** : étudier le signe de $P(x)=ax^{2}+bx+c$ via le tableau de signe construit à partir du discriminant et du signe de $a$. - **Système du second degré** : généralement linéaire + quadratique → substitution → résolution d’une équation du second degré en une inconnue, puis retour à l’autre variable. - **Applications** : modélisation de trajectoires, d’aires, de bénéfices, de contraintes géométriques. ## Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | Trinôme du second degré | Expression de la forme $ax^{2}+bx+c$ avec $a\neq0$. | | Discriminant ($\Delta$) | Quantité $b^{2}-4ac$ qui détermine la nature des racines d’une équation du second degré. | | Racine double | Solution unique d’ordre 2 d’une équation du second degré ($\Delta=0$). | | Forme canonique | Expression $a(x-h)^{2}+k$ obtenue en complétant le carré ; $(h,k)$ sont les coordonnées du sommet de la parabole. | | Tableau de signe | Outil permettant de déterminer les intervalles où un polynôme garde un signe constant. | | Substitution | Méthode de résolution d’un système consistant à exprimer une variable à partir d’une équation et à la remplacer dans l’autre. | | Système linéaire‑quadratique | Ensemble constitué d’une équation du premier degré et d’une équation du second degré. | | Solution complexe | Nombre de la forme $u+iv$ avec $v\neq0$ qui satisfait une équation du second degré lorsque $\Delta<0$. | | Ensemble des solutions | Noté $S$, regroupe tous les couples (ou valeurs) qui satisfont l’équation, l’inéquation ou le système considéré. | | Parabole | Courbe représentée par $y=ax^{2}+bx+c$ ; son ouverture dépend du signe de $a$. | | Sommet | Point $(h,k)$ de la parabole où elle atteint son extremum ; $h=-\frac{b}{2a}$, $k=c-\frac{b^{2}}{4a}$. | | Axe de symétrie | Droite verticale $x=h$ qui partage la parabole en deux parties miroir. | | Inéquation stricte | Inéquation de la forme $>$ ou $<$ (pas d’égalité admise). | | Inéquation large | Inéquation de la forme $\ge$ ou $\le$ (égalité admise). | ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 Résoudre l’équation $4x^{2}-12x+9=0$. **Corrigé** : $a=4$, $b=-12$, $c=9$. $\Delta=(-12)^{2}-4\cdot4\cdot9=144-144=0$. Racine double : $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{12}{8}= \dfrac{3}{2}$. $S=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$. ### Exercice 2 Déterminer l’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^{2}+6x+9\ge0$. **Corrigé** : Multiplier par $-1$ (inversion du sens) : $3x^{2}-6x-9\le0$. $a=3$, $b=-6$, $c=-9$. $\Delta=(-6)^{2}-4\cdot3\cdot(-9)=36+108=144$. Racines : $x=\dfrac{6\pm\sqrt{144}}{6}= \dfrac{6\pm12}{6}$ → $x_{1}=-1$, $x_{2}=3$. Comme $a>0$, le trinôme est $\le0$ entre ses racines : $S=[-1,\,3]$. ### Exercice 3 Résoudre le système $$\left\{\begin{array}{l} y=2x^{2}-3x+1\\[2mm] y=-x+4 \end{array}\right.$$ **Corrigé** : Égaler les deux expressions de $y$ : $2x^{2}-3x+1=-x+4$ → $2x^{2}-2x-3=0$. $\Delta=(-2)^{2}-4\cdot2\cdot(-3)=4+24=28$. $x=\dfrac{2\pm\sqrt{28}}{4}= \dfrac{2\pm2\sqrt{7}}{4}= \dfrac{1\pm\sqrt{7}}{2}$. Pour chaque $x$, $y=-x+4$ : - $x=\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}$ → $y=-\dfrac{1+\sqrt{7}}{2}+4=\dfrac{7-\sqrt{7}}{2}$. - $x=\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}$ → $y=-\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}+4=\dfrac{7+\sqrt{7}}{2}$. $S=\left\{\left(\dfrac{1+\sqrt{7}}{2},\;\dfrac{7-\sqrt{7}}{2}\right),\;\left(\dfrac{1-\sqrt{7}}{2},\;\dfrac{7+\sqrt{7}}{2}\right)\right\}$. ### Exercice 4 Un objet est lancé verticalement vers le haut depuis le sol avec une vitesse initiale de 20 m/s. Sa hauteur (en mètres) après $t$ secondes est donnée par $h(t)=-5t^{2}+20t$. (a) Après combien de temps l’objet atteint‑il sa hauteur maximale ? (b) Quelle est cette hauteur maximale ? **Corrigé** : (a) Le sommet de la parabole $h(t)=-5t^{2}+20t$ se trouve en $t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{20}{2\cdot(-5)}=2$ s. (b) $h(2)=-5\cdot4+20\cdot2=-20+40=20$ m. Réponse : (a) $t=2$ s ; (b) $h_{\max}=20$ m. ### Exercice 5 Résoudre l’inéquation $x^{2}-4x+3<0$ et représenter l’ensemble des solutions sur une droite graduée. **Corrigé** : $\Delta=(-4)^{2}-4\cdot1\cdot3=16-12=4>0$. Racines : $x=\dfrac{4\pm2}{2}=3$ ou $1$. Comme $a=1>0$, le trinôme est négatif entre ses racines : $S=(1,\,3)$. Sur une droite graduée, on trace un trait ouvert entre 1 et 3, avec des cercles ouverts aux points 1 et 3. ### Exercice 6 Déterminer tous les réels $k$ tels que le système $$\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=k\\[2mm] x+y=4 \end{array}\right.$$ admette au moins une solution réelle. **Corrigé** : De la seconde équation, $y=4-x$. Substituer dans la première : $$x^{2}+(4-x)^{2}=k\;\Longrightarrow\;x^{2}+16-8x+x^{2}=k\;\Longrightarrow\;2x^{2}-8x+16-k=0.$$ Il s’agit d’une équation du second degré en $x$. Pour qu’elle ait une solution réelle, son discriminant doit être $\ge0$ : $$\Delta=(-8)^{2}-4\cdot2\cdot(16-k)=64-8(16-k)=64-128+8k=8k-64\ge0.$$ Donc $8k\ge64$ → $k\ge8$. De plus, $k$ représente le carré du rayon du cercle $x^{2}+y^{2}=k$, donc $k\ge0$ naturellement. La condition finale est $k\ge8$. **Réponse** : Le système admet au moins une solution réelle si et seulement si $k\ge8$. ## Erreurs fréquentes 1. **Oublier de changer le sens de l’inégalité lorsqu’on multiplie ou divise par un nombre négatif**. *Exemple* : $-2x^{2}+4x-6\ge0$ → multiplier par $-1$ donne $2x^{2}-4x+6\le0$, pas $\ge0$. *Astuce* : Toujours vérifier le signe du facteur auquel on multiplie ; si négatif, inverser le sens de l’inégalité. 2. **Confondre les conditions du discriminant avec le signe du trinôme**. *Exemple* : Dire que $\Delta>0$ implique que le trinôme est toujours positif, ce qui est faux ; le signe dépend aussi de $a$ et de l’intervalle considéré. *Astuce* : Construire systématiquement le tableau de signe après avoir trouvé les racines ; ne jamais sauter cette étape. 3. **Oublier de vérifier que les valeurs obtenues pour une variable sont bien dans le domaine de définition** (par exemple, prendre une racine négative lorsqu’on travaille avec une longueur). *Astuce* : Après résolution, relire l’énoncé et éliminer les solutions qui n’ont pas de sens physique ou géométrique. 4. **Erreur de signe lors de la complétion du carré** : écrire $ax^{2}+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^{2}}{4a}+c$ au lieu de $-\frac{\Delta}{4a}$. *Astuce* : Se rappeler que la constante à soustraire est $\dfrac{b^{2}-4ac}{4a}$ ; vérifier en développant pour retrouver l’expression initiale. 5. **Utiliser la formule générale sans simplifier la racine carrée lorsqu’elle contient un facteur carré** (ex. $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$). *Astuce* : Toujours factoriser le radicand pour extraire les carrés parfaits avant de diviser par $2a$. 6. **Dans un système linéaire‑quadratique, oublier de substituer la valeur de $x$ trouvée dans l’équation linéaire pour obtenir $y$** et se contenter de donner uniquement les valeurs de $x$. *Astuce* : Après avoir résolu l’équation du second degré, rappeler explicitement l’étape de retour à la deuxième variable. --- Ce cours couvre de façon exhaustive le chapitre « Équations, inéquations et systèmes du second degré » du programme officiel de Première (séries A4, A1, A2, A3, A5, ABI). Il fournit les définitions, les propriétés, les démonstrations, de nombreux exemples détaillés, une synthèse de révision, un glossaire, des exercices d’application corrigés et une liste des erreurs classiques à éviter. L’élève pourra ainsi travailler en autonomie et se préparer efficacement aux épreuves du Probatoire et du Baccalauréat camerounais. Bonne étude !