Représentations spatiales et celle des ombres (partie 1/2)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : - représenter géométriquement un tétraèdre, un hexaèdre (parallélépipède rectangle) et un cône en utilisant les projections orthogonales (axonometrie) et les perspectives cavalières ; - déterminer la position d’une figure plane ou d’un solide par rapport à un plan de projection (parallèle, perpendiculaire, incliné) et en déduire les vues principales (vue de face, de profil, de dessus) ; - appliquer les règles de tracé (échelles, traits continus, pointillés) conformément aux normes du dessin technique camerounais (NF E 01‑010) ; - réaliser un croquis de chantier ou d’atelier à partir d’une description verbale ou d’un plan schématique. **Prérequis** : - notions de géométrie euclidienne (droites, plans, angles, symétries) ; - maîtrise du tracé à l’échelle (échelle numérique, réduction, agrandissement) ; - connaissance des types de lignes de dessin (visible, caché, axe, coupe) ; - capacité à lire un plan d’ensemble et à identifier les vues orthogonales. --- ## Introduction contextualisée Dans les métiers du bâtiment, de la menuiserie métallique ou de la conception de produits au Cameroun, il est indispensable de traduire une idée tridimensionnelle en un dessin lisible sur un support bidimensionnel. Que ce soit pour établir un devis de charpente, réaliser un moule de pièce en plastique ou préparer un schéma d’installation électrique, le technicien doit maîtriser les représentations spatiales et la gestion des ombres portées. Ce chapitre introduit les deux premières leçons du programme : la représentation des solides usuels par projection spatiale et l’analyse de la position d’une figure par rapport au plan de projection. Ces compétences sont directement mobilisables en atelier de fabrication, sur chantier de construction ou dans un bureau d’études. --- ## I. Leçon 20 – Représentation des solides et application des techniques de projection spatiale ### 1. Définitions de base > **Projection orthogonale** : opération consistant à projeter perpendiculairement les points d’un objet sur un plan de projection, sans déformation d’échelle dans les directions parallèles au plan. > **Projection cavalière** : procédé où les lignes de fuite forment un angle de 45° avec le plan horizontal et conservent leur vraie longueur (pas de réduction). > **Axonometrie** : représentation où les trois axes principaux conservent leurs angles réels (souvent 120°) et les longueurs sont mises à l’échelle identique (isométrie) ; on distingue aussi les axonométries dimétriques et trimétriques où les échelles diffèrent. ### 2. Solides étudiés | Solide | Forme | Nombre de faces | Sommets | Arêtes | |--------|-------|----------------|---------|--------| | Tétraèdre | Pyramide à base triangulaire | 4 | 4 | 6 | | Hexaèdre (parallélépipède rectangle) | Boîte à 6 faces rectangulaires | 6 | 8 | 12 | | Cônes | Base circulaire + sommet | 2 (base + surface latérale) | 1 | 1 génératrice (si l’on considère une seule ligne génératrice) | ### 3. Méthode de projection orthogonale pas à pas 1. **Choisir le plan de projection** (souvent le plan horizontal HP ou le plan vertical VP). 2. **Tracer les axes de référence** (X, Y, Z) perpendiculaires deux à deux. 3. **Repérer chaque sommet** du solide dans l’espace à l’aide de ses coordonnées (x, y, z). 4. **Projecter chaque sommet** sur le plan choisi : on laisse inchangée la coordonnée située dans le plan et on met à zéro la coordonnée orthogonale. 5. **Relier les points projetés** suivant les arêtes du solide, en utilisant : - trait continu pour les arêtes visibles, - trait pointillé pour les arêtes cachées, - trait fin alterné point‑tiret pour les axes de symétrie. 6. **Appliquer l’échelle** choisie (ex. 1 : 50) et vérifier la cohérence des proportions. > **Règle de visibilité** : une arête est visible si, du point de vue choisi, elle n’est masquée par aucune autre face du solide. ### 4. Exemple chiffré : représentation d’un hexaèdre Considérons un parallélépipède rectangle de dimensions réelles : longueur L = 120 cm, largeur l = 80 cm, hauteur h = 60 cm. On choisit une échelle de dessin 1 : 20. - Dimensions dessinées : L′ = 120/20 = 6 cm, l′ = 80/20 = 4 cm, h′ = 60/20 = 3 cm. - Placer un sommet A à l’origine (0,0,0). - Les autres sommets : B(L′,0,0) = (6,0,0), C(6,4,0), D(0,4,0), E(0,0,3), F(6,0,3), G(6,4,3), H(0,4,3). - Projection sur le plan HP (z = 0) donne les points A′, B′, C′, D′ (vue de dessus). - Projection sur le plan VP (y = 0) donne A″, B″, E″, F″ (vue de face). - Tracer les arêtes visibles en continu, les cachées en pointillé. Le dessin obtenu montre clairement les trois vues principales, utilisable directement pour la lecture d’un plan de menuiserie. ### 5. Projection cavalière (45°, longueur vraie) - Conserver les coordonnées x et y telles quelles. - La coordonnée z est projetée sur le plan xy suivant une ligne formant 45° avec l’axe x, sans réduction : z′ = z·cos45° ≈ 0,707·z. - Appliquer cette transformation à chaque sommet, puis relier comme précédemment. > **Astuce atelier** : en menuiserie métallique, la cavalière permet de visualiser rapidement l’encombrement d’une pièce sans réaliser une vraie perspective. ### 6. Normes de sécurité et d’hygiène liées au dessin technique - Utiliser des crayons à mine dure (HB‑2H) pour les traits de construction afin d’éviter les smears qui pourraient masquer des cotes critiques. - Porter des lunettes de protection lorsqu’on travaille sur des plans imprimés à l’aide de traceurs laser (risque d’éclats de toner). - Veiller à ce que le poste de dessin soit bien éclairé (≥ 500 lux) pour prévenir la fatigue visuelle. --- ## II. Leçon 21 – Analyse de la position d’une figure plane ou d’un solide par rapport à un plan de projection ### 1. Classification des positions > **Figure parallèle au plan de projection** : toutes les points de la figure conservent leurs distances orthogonales au plan ; la vue obtenue est une vraie grandeur (échelle 1). > **Figure perpendiculaire au plan de projection** : la figure apparaît sous forme de ligne (si elle est droite) ou de bande de largeur nulle ; la vraie longueur se lit sur la vue orthogonale perpendiculaire. > **Figure inclinée** : ni parallèle ni perpendiculaire ; la vue est une réduction ou une déformation selon l’angle d’inclinaison. ### 2. Détermination de l’angle d’inclinaison Soit un segment AB de longueur réelle L, faisant un angle θ avec le plan de projection HP. Sa longueur projetée L′ sur HP vérifie : \[ L' = L \cdot \cos\theta \] Donc : \[ \theta = \arccos\!\left(\frac{L'}{L}\right) \] > **Exemple** : un tube de longueur réelle 200 cm apparaît en vue de dessus avec une longueur de 150 cm. \[ \theta = \arccos\!\left(\frac{150}{200}\right) = \arccos(0,75) \approx 41,4^\circ \] ### 3. Application à un solide : le cône Un cône de base circulaire de rayon R et de hauteur h peut être placé de trois façons par rapport au HP : | Position du cône | Vue de dessus (HP) | Vue de face (VP) | Remarques | |------------------|--------------------|------------------|-----------| | Axe vertical (perpendiculaire au HP) | Cercle de rayon R (vraie grandeur) | Triangle isocèle de base 2R et hauteur h | La vraie hauteur se lit directement sur VP. | | Axe incliné de θ par rapport au HP | Ellipse de grand axe a = R / cosθ, petit axe b = R | Trapèze ou triangle selon θ | Le grand axe de l’ellipse donne le diamètre apparent de la base augmenté par le facteur 1/cosθ (ou le diamètre de la base vu sous l’angle d’inclinaison). | | Axe parallèle au HP | Ligne de longueur 2R (projection de la base) | Rectangle de largeur 2R et hauteur h | La vraie hauteur apparaît sur VP, la base se réduit à un segment. | > **Règle de métrologie** : pour contrôler la conformité d’une pièce conique sur chantier, on mesure le diamètre de la base sur la vue de dessus et la hauteur sur la vue de face ; tout écart supérieur à 2 % entraîne un rejet. ### 4. Méthode de tracé des ombres portées (partie 1/2) Bien que le chapitre complet traite des ombres en deux parties, nous introduisons ici le principe de base nécessaire à la prochaine leçon : - **Source lumineuse ponctuelle** placée à l’infini dans une direction définie par un vecteur **L** (ex. lumière venant du haut‑left à 45°). - **Ombre d’un point P** sur un plan de projection Π est l’intersection de la droite passant par P et parallèle à **L** avec Π. - Pour un segment, on projette ses deux extrémités puis on relie les points d’ombre. - L’ombre d’une surface plane est obtenue en projetant chacun de ses sommets ; si la surface est parallèle à Π, l’ombre est congrue à la surface ; si elle est inclinée, l’ombre est une réduction selon le cosinus de l’angle entre la normale de la surface et **L**. > **Consigne de sécurité** : lorsqu’on travaille avec des lampes de chantier pour vérifier les ombres, s’assurer que les câbles sont isolés et que les lampes sont fixées à un support stable afin d’éviter les chocs électriques ou les brûlures. ### 5. Tableau récapitulatif des positions et de leurs représentations | Position du solide / figure | Vue sur HP | Vue sur VP | Caractéristique principale | |-----------------------------|------------|------------|----------------------------| | Parallèle à HP | Vraie grandeur (échelle 1) | Réduction selon cosθ | Aucune déformation sur HP | | Perpéndiculaire à HP | Segment ou ligne | Vraie grandeur | Vraie longueur sur VP | | Inclinée (angle θ) | Réduction L·cosθ | Réduction L·sinθ (selon orientation) | Les deux vues sont réduites | | Cônes – axe vertical | Cercle (rayon R) | Triangle (base 2R, hauteur h) | Vrai rayon sur HP, vraie hauteur sur VP | | Cônes – axe incliné θ | Ellipse (a=R/cosθ, b=R) | Trapèze/triangle | Grand axe de l’ellipse = diamètre de la base / cosθ | --- ## Synthèse du chapitre - **Projection orthogonale** : tracé exact, échelles préservées, utilisation des traits visibles/cachés/axes. - **Projection cavalière** : angle 45°, longueur vraie sur l’axe de profondeur (pas de réduction), utile pour aperçu rapide. - **Axonometrie** : angles 120°, mêmes échelles sur les trois axes (isométrie) ; représentation technique courante. - **Position par rapport au plan de projection** : parallèle → vraie grandeur ; perpendiculaire → ligne ou vraie grandeur sur l’autre vue ; inclinée → réduction selon cosθ ou sinθ. - **Formule clé** : \(L' = L\cos\theta\) pour la longueur projetée d’un segment sur un plan. - **Application aux solides usuels** : tétraèdre (4 faces triangulaires), hexaèdre (6 faces rectangulaires), cône (base circulaire + sommet). - **Normes de dessin** : traits continus (visible), pointillés (cachés), traits alternés point‑tiret (axes), échelles clairement indiquées, lisibilité ≥ 500 lux. - **Sécurité** : lunettes de protection pour traceurs laser, vérification des câbles d’éclairage, poste de travail bien éclairé et dégagé. --- ## Glossaire > **Projection orthogonale** : opération de projection perpendiculaire sur un plan, préservant les longueurs dans les directions parallèles au plan. > **Projection cavalière** : méthode où les lignes de fuite forment 45° avec le plan horizontal et conservent leur vraie longueur (pas de réduction). > **Axonometrie** : représentation où les trois axes conservent leurs angles réels (souvent 120°) et les mêmes échelles (isométrie) ; on distingue aussi les axonométries dimétriques et trimétriques. > **Vraie grandeur** : dimension d’un objet telle qu’elle apparaît sans réduction ni déformation sur une vue parallèle au plan de projection. > **Ligne cachée** : arête ou contour non visible directement, représenté par des traits pointillés. > **Axe de symétrie** : ligne autour de laquelle une figure est invariante par réflexion, tracé en traits alternés point‑tiret. > **Échelle de dessin** : rapport entre une longueur sur le dessin et la longueur réelle (ex. 1 : 50). > **Ombre portée** : silhouette formée par l’interception de la lumière par un objet sur une surface. > **Angle d’inclinaison (θ)** : angle formé par une droite ou un axe avec le plan de projection. > **Génératrice** : ligne droite qui, en tournant autour de l’axe, engendre la surface latérale d’un cône ou d’un cylindre. > **Plan de projection (HP, VP)** : plan utilisé pour obtenir la vue de dessus (HP) ou de face (VP) d’un objet. > **Trait continu** : ligne pleine utilisée pour représenter les arêtes visibles. > **Trait pointillé** : ligne discontinue utilisée pour représenter les arêtes cachées. > **Trait alterné point‑tiret** : séquence de point et de tiret utilisée pour représenter les axes ou les lignes de référence. > **Norme NF E 01‑010** : référence camerounaise pour le dessin technique industriel (traits, échelles, cotations). --- ## Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Représentation d’un tétraèdre **Consigne** : Un tétraèdre régulier d’arête réelle 60 mm est placé avec une face parallèle au plan de projection HP. Réaliser sa projection orthogonale sur HP et VP à l’échelle 1 : 10. Indiquer les traits visibles, cachés et les axes de symétrie. **Corrigé** 1. Échelle 1 : 10 → arête dessinée = 60 mm / 10 = 6 mm. 2. Placer le tétraèdre de façon que la base ABC soit un triangle équilatéral de côté 6 mm dans le plan HP (z = 0). - Coordonnées (en mm) : A(0,0,0), B(6,0,0), C(3,5,196≈5,2,0) → plus précisément C(3, 5,196, 0) (hauteur du triangle = 6·√3/2 ≈ 5,196 mm). - Le centre du triangle (centroïde) est en G = ((0+6+3)/3, (0+0+5,196)/3) = (3, 1,732). - La hauteur du tétraèdre (distance du sommet au plan de la base) est h = √(2/3)·côté ≈ 0,8165·6 mm ≈ 4,9 mm. - Le sommet D se trouve donc en D(3, 1,732, 4,9). 3. **Projection HP (z = 0)** : on garde x, y, on met z = 0 → A′(0,0), B′(6,0), C′(3,5,196), D′(3,1,732). - Tracer le triangle A′B′C′ en continu (base visible). - Relier D′ à chaque sommet du triangle : les trois arêtes sont visibles (aucune face ne les masque). 4. **Projection VP (y = 0)** : on garde x, z, on met y = 0 → A″(0,0), B″(6,0), C″(3,0), D″(3,1,732,4,9). - Le segment A″B″ représente l’arête AB en vraie grandeur (6 mm). - Le point C″ se confond avec A″ et B″ sur l’axe x (car y = 0) → on ne voit que l’arête AB ; la face ABC est vue sous son côté. - Les arêtes AD et BD apparaissent comme des segments de longueur √[(3‑0)²+(1,732)²+(4,9)²] = 6 mm (visible). - L’arête CD est cachée (pointillée) car elle se trouve derrière la face ABD vue de face. 5. **Traits** : visibles = continu ; cachés = pointillé ; axe de symétrie passant par le centre du triangle et le sommet D = alterné point‑tiret. > **Vérification** : toutes les longueurs mesurées sur le dessin correspondent aux valeurs calculées multipliées par l’échelle 1 : 10. ### Exercice 2 – Analyse d’un cône incliné **Consigne** : Un cône de rayon réel R = 40 mm et hauteur réelle h = 100 mm est posé de telle sorte que son axe forme un angle θ = 30° avec le plan HP. Déterminer : a) La forme et les dimensions de la vue de dessus (HP). b) La forme et les dimensions de la vue de face (VP). c) La longueur vraie d’une génératrice vue sur VP. **Corrigé** a) Vue de dessus : projection du cercle de base sur HP donne une ellipse. - Grand axe \(a = \dfrac{R}{\cos\theta} = \dfrac{40\text{ mm}}{\cos30^\circ} = \dfrac{40}{0,866} \approx 46,2\text{ mm}\). - Petit axe \(b = R = 40\text{ mm}\). - Donc vue de dessus : ellipse \(46,2\text{ mm} \times 40,0\text{ mm}\). b) Vue de face (VP) : le plan VP est perpendiculaire à HP et contient l’axe du cône lorsqu’on le regarde de côté. - L’axe fait \(\theta = 30^\circ\) avec HP, donc il fait \(60^\circ\) avec VP. - Hauteur projetée \(h' = h \cdot \sin60^\circ = 100 \cdot 0,866 \approx 86,6\text{ mm}\). - La largeur de la base vue de face correspond au diamètre projeté du cercle sur VP : le diamètre réel \(2R = 80\text{ mm}\) est vu sous l’angle de \(30^\circ\) (puisque le plan VP est perpendiculaire à HP, l’angle entre le diamètre et VP vaut aussi \(30^\circ\)). Donc largeur projetée \(w' = 2R \cdot \cos30^\circ = 80 \cdot 0,866 \approx 69,3\text{ mm}\). - Ainsi la vue de face est un triangle isocèle de base \(69,3\text{ mm}\) et hauteur \(86,6\text{ mm}\) (apparence d’un triangle aplati). c) Génératrice réelle \(g = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{40^2 + 100^2} = \sqrt{11600} \approx 107,7\text{ mm}\). - Sur VP, la génératrice apparaît sous sa vraie longueur car elle se trouve dans le plan VP (l’axe du cône et la generatrice sont dans VP). Donc longueur vue = \(107,7\text{ mm}\) (échelle 1 si on travaille à l’échelle réelle). > **Application atelier** : sur un chantier de métallurgie, on vérifie l’orientation d’un cône de ventilation en mesurant l’ellipse de sa base sur le plan de sol et la hauteur sur une élévation ; tout écart > 3 % entraîne un réglage du support. --- ## Erreurs fréquentes et règles de sécurité | N° | Erreur fréquente | Conséquence | Règle de prévention / correction | |----|------------------|-------------|-----------------------------------| | 1 | Confondre traits visibles et cachés (utiliser un trait continu pour une arête réellement masquée). | Lecture erronée du volume, risque de sous‑dimensionnement d’une pièce. | Toujours vérifier la visibilité en imaginant le point de vue : si une arête est située derrière une autre face du solide, elle doit être pointillée. | | 2 | Oublier d’indiquer l’échelle sur le dessin. | Le lecteur ne peut pas convertir les dimensions réelles → risque de fabrication hors tolérance. | Inscrire l’échelle en bas à droite du cadre (ex. « Échelle 1 : 50 ») et la répéter dans le tableau de révision. | | 3 | Mesurer la longueur d’un segment incliné directement sur la vue de dessus sans appliquer le cosθ. | Surestimation de la vraie longueur, leading to excess material. | Utiliser la formule \(L = L' / \cos\theta\) où L′ est la longueur mesurée sur la vue et θ l’angle d’inclinaison connu. | | 4 | Utiliser un crayon trop gras (HB) pour les traits de construction, provoquant des bavures qui masquent les cotes. | Cotes illisibles, risque d’erreur de cote lors du report en atelier. | Employer une mine dure (2H‑4H) pour les lignes de construction et repasser au fini avec une mine HB ou B uniquement pour les traits visibles. | | 5 | Travailler sous un éclairage insuffisant (< 300 lux) lorsqu’on reporte des cotes sur un plan papier. | Fatigue visuelle, erreurs de lecture des graduations. | Maintenir un éclairage général d’au moins 500 lux et une lampe de tâche orientable sans ombre portée sur le dessin. | | 6 | Ne pas porter de lunettes de protection lorsqu’on utilise un traceur laser pour reporter des grands formats. | Risque de lésions rétiniennes dues au rayonnement laser dispersé. | Toujours porter des lunettes filtrant la longueur d’onde du laser (ex. lunette OD ≥ 3 pour 1064 nm) et vérifier que le dispositif est équipé d’un interrupteur de sécurité. | --- *Fin du cours.*