Sub topic: Propositional Logic.

# Sub topic: Propositional Logic. ## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l'apprenant sera capable de : - Identifier et distinguer les propositions atomiques des propositions composées. - Utiliser correctement les variables et constantes dans la logique propositionnelle. - Appliquer les connectifs de vérité-fonctionnels (négation, conjonction, disjonction, implication, biconditionnelle) et en comprendre la signification sémantique. - Former des énoncés et des formes d'énoncés à partir de propositions atomiques. - Calculer les valeurs de vérité des propositions composées à l'aide de tables de vérité. - Analyser les propriétés formelles et les relations entre les formes d'énoncés (tautologie, contradiction, contingence, équivalence logique, implication logique). - Tester la validité des arguments propositionnels par la méthode des tables de vérité complètes. - Appliquer la méthode courte de la table de vérité pour tester la validité de manière efficace. - Utiliser les tables de vérité pour des applications supplémentaires (détection de tautologies, contradictions, équivalences). - Reconnaître et analyser les arguments conditionnels fonctionnels de vérité et leurs correspondants. - Construire des preuves formelles en utilisant les règles d'inférence (MP, MT, DS, Simp, Conj, Add, HS, CD) et les règles de remplacement (DN, DeM, Comm, Imp, Taut). - Introduire la logique des prédicats : quantificateurs (universel et existentiel), prédicats et variables individuelles. - Symboliser les propositions catégoriques (A, E, I, O) et les arguments en logique des prédicats. - Appliquer la logique des prédicats aux fonctions propositionnelles, propositions singulières et quantification élémentaire. - Identifier et analyser les fautes logiques subjectivistes : appel à l'opinion populaire, appel à la pitié, appel à la force. - Identifier et analyser les fautes logiques liées à la crédibilité : appel à l'opinion d'expert, appel à l'engagement, ad hominem direct. - Identifier et analyser les fautes logiques de contexte : argument de corrélation à causalité (post hoc ergo propter hoc), généralisations hâtives, accident, composition, division. - Identifier et analyser les fautes logiques de pertinence : appel à l'ignorance, appel au ridicule, appel à la tradition, appel à l'argument fallacieux, appel à la charge de la preuve. - Identifier et analyser les fautes logiques d'ambiguïté : amphibolie, équivoque, faute étymologique, euphémisme, erreur légaliste, preuve par verbosité. - Développer la compétence d'évaluer la fautivité d'un raisonnement dans un texte donné. - Appliquer les connaissances acquises à la lecture critique et à la découverte de fautes logiques dans des textes réels (travail guidé). **Prérequis** : - Maîtrise de la lecture critique et de l'analyse d'arguments de base (niveau Lower Sixth). - Familiarité avec les notions de vérité et de fausseté en langage ordinaire. - Capacité à manipuler des symboles abstraits et à suivre des raisonnements déductifs. - Connaissance de base de la structure des phrases en anglais (sujet, verbe, complément). - Aucune connaissance préalable en logique formelle n'est requise, mais une disposition à la pensée abstraite est essentielle. --- ## I. Atomic propositions / Compound propositions- Variables and constants **Contexte** : La logique propositionnelle commence par l'analyse des unités les plus simples de raisonnement : les propositions qui peuvent être vraies ou fausses. En contexte camerounais et africain, ces propositions peuvent porter sur des faits sociaux, politiques ou historiques vérifiables (ex. : "Le Cameroun a gagné la Coupe d'Afrique des Nations en 2017", "La pluie tombe fréquemment à Douala en août"). **Définitions** : > Une **proposition atomique** est une déclaration qui ne peut pas être décomposée en parties plus simples qui soient elles-mêmes des propositions ayant une valeur de vérité. > Une **proposition composée** est une déclaration formée en combinant une ou plusieurs propositions atomiques à l'aide de connectifs logiques. > Une **variable** (comme *p*, *q*, *r*) représente une proposition quelconque dont la valeur de vérité peut varier. > Une **constante** représente une proposition spécifique dont la valeur de vérité est fixe (V pour vrai, F pour faux). **Faits et exemples concrets** : - Exemple de proposition atomique (camerounais) : *p* : "Le Mont Cameroun est le plus haut sommet d'Afrique de l'Ouest." (Vrai) - Exemple de proposition atomique (africain) : *q* : "Le Nil prend sa source au lac Victoria." (Faux — il prend sa source au lac Victoria et au lac Tana, mais principalement au lac Tana en Éthiopie) - Proposition composée : *p ∧ q* : "Le Mont Cameroun est le plus haut sommet d'Afrique de l'Ouest ET le Nil prend sa source au lac Victoria." (Faux, car *q* est faux) - Variable : *p* peut représenter n'importe quelle proposition (ex. : "Yaoundé est la capitale du Cameroun", "Kigali est la capitale du Rwanda") - Constante : V représente toujours une proposition vraie ; F représente toujours une proposition fausse. **Vocabulaire à retenir** : proposition atomique, proposition composée, variable, constante, conjonction, disjonction, négation. **Exemple de sujet type examen avec plan** : *Sujet* : Identifiez laquelle des affirmations suivantes est une proposition atomique et laquelle est une proposition composée. Justifiez votre réponse. (a) "Le fleuve Congo traverse la République Démocratique du Congo." (b) "Si le Cameroun gagne son match, alors les rues de Yaoundé seront remplies de fêtards." (c) "2 + 2 = 5." (d) "Le pétrole est une ressource naturelle et il est exploité au Tchad." *Plan* : I. Définition de la proposition atomique II. Analyse de chaque option     (a) Atomique : fait simple, non décomposable     (b) Composée : contient un si-alors (implication)     (c) Atomique : déclaration mathématique simple     (d) Composée : conjonction de deux faits III. Conclusion --- ## II. Truth-functional connectives / Meaning **Contexte** : Les connectifs de vérité-fonctionnels sont les outils qui permettent de construire des propositions composées dont la valeur de vérité dépend uniquement de celle de leurs composants. Ils sont essentiels pour modéliser le raisonnement quotidien et académique dans des contextes comme les débats politiques au Cameroun ou les discussions sur le développement en Afrique. **Définitions** : > Le **connectif de négation** (¬) nie la valeur de vérité d'une proposition. > Le **connectif de conjonction** (∧) est vrai seulement si les deux propositions sont vraies. > Le **connectif de disjonction** (∨) est faux seulement si les deux propositions sont fausses. > Le **connectif d'implication** (→) est faux seulement si l'antécédent est vrai et le conséquent faux. > Le **connectif de biconditionnelle** (↔) est vrai quand les deux propositions ont la même valeur de vérité. **Faits et exemples concrets** : - Négation (¬p) : Si *p* = "Le pétrole est exploité au Cameroun" (V), alors ¬p = "Le pétrole n'est pas exploité au Cameroun" (F) — en réalité, c'est faux car le pétrole est exploité près de Kribi. - Conjonction (p ∧ q) : *p* = "Yaoundé est la capitale du Cameroun" (V), *q* = "Brazzaville est la capitale du Congo" (V) → p ∧ q = V. Mais si *q* = "Kinshasa est la capitale du Congo" (F), alors p ∧ q = F. - Disjonction (p ∨ q) : *p* = "Le français est parlé au Sénégal" (V), *q* = "L'arabe est parlé au Sénégal" (F) → p ∨ q = V. Même si une seule est vraie, la disjonction est vraie. - Implication (p → q) : *p* = "Il pleut à Buea" (V), *q* = "Le marché de Buea est mouillé" (V) → V → V = V. Mais si *p* = V (il pleut) et *q* = F (le marché est sec à cause d'un toit), alors V → F = F. - Biconditionnelle (p ↔ q) : *p* = "Le drapeau du Cameroun a des bandes verticales" (V), *q* = "Le drapeau du Sénégal a des bandes verticales" (V) → V ↔ V = V. Si *q* = "Le drapeau du Mali a des bandes verticales" (F), alors V ↔ F = F. **Vocabulaire à retenir** : négation, conjonction, disjonction, implication, biconditionnelle, vérité-fonctionnel. **Exemple de sujet type examen avec plan** : *Sujet* : Soient *p* : "Le taux d'alphabétisation au Cameroun dépasse 70%" et *q* : "Le gouvernement camerounais investit plus de 20% du budget national dans l'éducation". Déterminez la valeur de vérité de chaque proposition composée suivante, sachant que *p* est faux et *q* est vrai. (a) ¬p (b) p ∧ q (c) p ∨ q (d) p → q (e) p ↔ q *Plan* : I. Rappel des valeurs de vérité de *p* et *q* II. Application de chaque connectif     (a) ¬p : négation de faux = vrai     (b) p ∧ q : faux ∧ vrai = faux     (c) p ∨ q : faux ∨ vrai = vrai     (d) p → q : faux → vrai = vrai (seulement faux si V→F)     (e) p ↔ q : faux ↔ vrai = faux III. Tableau récapitulatif > **À retenir** : p → q est faux seulement quand p est vrai et q est faux. **Tableau récapitulatif des connectifs** : | Connectif | Symbole | Vrai quand... | Faux quand... | |----------|---------|----------------|----------------| | Négation | ¬p | p est faux | p est vrai | | Conjonction | p ∧ q | p ET q vrais | au moins un faux | | Disjonction | p ∨ q | au moins un vrai | p ET q faux | | Implication | p → q | sauf p vrai et q faux | p vrai et q faux | | Biconditionnelle | p ↔ q | p et q mêmes valeurs | p et q valeurs différentes | --- ## III. Statements and Statement forms **Contexte** : Une déclaration (statement) est une instance spécifique d'une forme de déclaration avec des propositions réelles. Une forme de déclaration (statement form) est un schéma utilisant des variables qui devient une déclaration lorsque les variables sont remplacées par des propositions réelles. Cette distinction est cruciale pour analyser la structure logique des arguments dans les discours publics, les lois ou les déclarations de politique éducative au Cameroun. **Définitions** : > Une **déclaration** (statement) est une phrase qui affirme quelque chose et qui peut être vraie ou fausse. > Une **forme de déclaration** (statement form) est une expression logique contenant des variables qui devient une déclaration lorsque les variables sont remplacées par des propositions réelles. **Faits et exemples concrets** : - Forme de déclaration : *p → q* - Déclaration : "Si le gouvernement augmente le budget de l'éducation (p), alors le taux de réussite au BAC augmentera (q)." - Ici, *p → q* est la forme ; la phrase complète est la déclaration. - Une autre forme : *p ∧ ¬q* - Déclaration : "Le Cameroun possède des réserves de pétrole (p) ET il ne les exploite pas pleinement (¬q)." - Forme : *¬(p ∨ q)* - Déclaration : "Il n'est pas vrai que soit le français soit l'anglais soit parlé comme langue officielle au Cameroun." (En réalité faux, car les deux sont officiels.) **Vocabulaire à retenir** : déclaration, forme de déclaration, variable, instance, substitution. **Exemple de sujet type examen avec plan** : *Sujet* : Identifiez la forme de déclaration dans chacune des phrases suivantes et donnez une instance camerounaise de cette forme. (a) "Si les routes sont mauvaises, alors le transport des marchandises est difficile." (b) "Le pétrole est exploité au Cameroun ou le gaz naturel est produit en quantité commerciale." (c) "Il n'est pas vrai que le Cameroun ait gagné la Coupe d'Afrique des Nations en 2022." *Plan* : I. Définition de la forme de déclaration II. Analyse de chaque phrase     (a) Forme : p → q ; Instance : p = "Les routes sont mauvaises à l'Est", q = "Le transport du bois est difficile"     (b) Forme : p ∨ q ; Instance : p = "Le pétrole est exploité près de Kribi", q = "Le gaz naturel est produit à Loum"     (c) Forme : ¬p ; Instance : p = "Le Cameroun a gagné la CAN 2022" (en réalité, le Sénégal a gagné) III. Conclusion sur l'utilité de la forme pour analyser la logique --- ## IV. Computing truth-values **Contexte** : Le calcul des valeurs de vérité est la compétence de base qui permet d'évaluer la véracité des propositions composées. Dans un contexte camerounais, cela aide à vérifier la cohérence des affirmations faites dans les médias, les discours politiques ou les rapports d'ONG sur des sujets comme la corruption, l'éducation ou la santé. **Définitions** : > Le **calcul de la valeur de vérité** consiste à déterminer si une proposition composée est vraie ou fausse en fonction des valeurs de vérité de ses propositions atomiques et du sens des connectifs utilisés. **Faits et exemples concrets** : - Exemple : *p* = "Le paludisme est la principale cause de mortalité infantile au Cameroun" (V, selon l'OMS), *q* = "Le gouvernement a distribué des moustiquaires à 100% des ménages" (F — couverture partielle). - Évaluer *p ∧ q* : V ∧ F = F → L'affirmation "Le paludisme est la principale cause ET des moustiquaires ont été distribués à tous" est fausse. - Évaluer *p → q* : V → F = F → "Si le paludisme est la principale cause, alors des moustiquaires ont été distribués à tous" est faux — ce qui reflète une critique légitime. - Évaluer *¬p ∨ q* : F ∨ F = F → "Ou le paludisme n'est pas la principale cause, ou des moustiquaires ont été distribués à tous" est faux — les deux parties sont fausses. - Évaluer *¬(p ∧ q)* : ¬(V ∧ F) = ¬F = V → "Il n'est pas vrai que le paludisme soit la principale cause ET que des moustiquaires aient été distribués à tous" est vrai — cette négation d'une conjonction fausse est vraie. **Vocabulaire à retenir** : valeur de vérité, évaluation, composant atomique, table de vérité partielle. **Exemple de sujet type examen avec plan** : *Sujet* : Soient *p* : "Plus de 60% de la population camerounaise vit en milieu rural" (V), et *q* : "L'accès à l'électricité rurale dépasse 80%" (F). Déterminez la valeur de vérité de : (a) p ∧ q (b) ¬p → q (c) p ↔ ¬q (d) ¬(p ∨ q) *Plan* : I. Rappel : p = V, q = F II. Évaluation étape par étape     (a) p ∧ q = V ∧ F = F     (b) ¬p → q = F → F = V (seulement faux si V→F)     (c) p ↔ ¬q = V ↔ ¬F = V ↔ V = V     (d) ¬(p ∨ q) = ¬(V ∨ F) = ¬V = F III. Vérification avec principes logiques > **À retenir** : Pour évaluer une proposition composée, commencer par les valeurs atomiques, puis appliquer les connectifs du plus intérieur au plus extérieur. --- ## V. Formal properties and relationships **Contexte** : Les propriétés formelles permettent de classer les formes de déclarations selon leur comportement logique universel. Cela aide à identifier les tautologies (toujours vraies), contradictions (toujours fausses) et contingences (dépendent des faits), ce qui est utile pour évaluer la force des arguments dans les débats nationaux sur la gouvernance, les droits humains ou l'environnement en Afrique. **Définitions** : > Une **tautologie** est une forme de déclaration qui est vraie pour toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité de ses variables. > Une **contradiction** est une forme de déclaration qui est fausse pour toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité de ses variables. > Une **contingence** est une forme de déclaration qui est vraie pour certaines combinaisons et fausse pour d'autres. > Deux formes sont **logiquement équivalentes** s'elles ont la même valeur de vérité pour toutes les combinaisons de valeurs de vérité. > Une forme **implique logiquement** une autre si, chaque fois que la première est vraie, la seconde est également vraie. **Faits et exemples concrets** : - Tautologie : *p ∨ ¬p* — "Ou il pleut à Douala, ou il ne pleut pas à Douala" — toujours vrai (principe du tiers exclu). - Contradiction : *p ∧ ¬p* — "Il pleut à Douala ET il ne pleut pas à Douala" — toujours faux. - Contingence : *p → q* — dépend de la météo réelle à Douala et à Yaoundé. - Équivalence logique : *p → q* est équivalent à *¬p ∨ q* — vérifiable par table de vérité. - Implication logique : *p ∧ q* implique *p* — si "Il pleut à Douala ET il fait chaud", alors nécessairement "Il pleut à Douala". **Vocabulaire à retenir** : tautologie, contradiction, contingence, équivalence logique, implication logique, principe du tiers exclu, principe de non-contradiction. **Exemple de sujet type examen avec plan** : *Sujet* : Déterminez laquelle des formes suivantes est une tautologie, laquelle est une contradiction, et laquelle est une contingence. Justifiez votre réponse. (a) (p → q) ∧ (q → p) (b) p ∧ ¬p (c) (p ∨ q) → p *Plan* : I. Définitions des trois catégories II. Construction de tables de vérité partielles ou raisonnement     (a) (p → q) ∧ (q → p) ↔ p ↔ q : vraie quand p et q mêmes valeurs → contingence     (b) p ∧ ¬p : toujours faux → contradiction     (c) (p ∨ q) → p : faux seulement quand p=F et q=V (F∨V=V → V→F=F) → pas toujours vrai ni toujours faux → contingence III. Conclusion avec exemples camerounais si pertinent > **À retenir** : Une tautologie est vraie dans tous les cas ; une contradiction est fausse dans tous les cas. **Tableau de comparaison** : | Propriété | Définition | Exemple | Valeur de vérité constante ? | |-----------------|--------------------------------------------------|------------------|-------------------------------| | Tautologie | Vraie pour toutes les affectations | p ∨ ¬p | Oui (toujours V) | | Contradiction | Fausse pour toutes les affectations | p ∧ ¬p | Oui (toujours F) | | Contingence | Vraie pour certaines, fausse pour d'autres | p → q | Non (dépend de p, q) | | Équivalence | Même valeur de vérité pour toutes les affectations | p → q ≡ ¬p ∨ q | Relation entre deux formes | | Implication | Quand la première est vraie, la seconde l'est aussi | p ∧ q ⇒ p | Relation conditionnelle | --- ## VI. Testing validity by truth table **Contexte** : Tester la validité d'un argument par table de vérité consiste à vérifier s'il est possible que les prémisses soient vraies et la conclusion fausse. Si non, l'argument est valide. Cette méthode est fondamentale pour évaluer la rigueur du raisonnement dans les procès juridiques, les rapports d'audit ou les débats parlementaires au Cameroun. **Définitions** : > Un **argument** est valide si et seulement s'il est impossible que toutes ses prémisses soient vraies et sa conclusion fausse. > La **table de vérité complète** liste toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité pour les variables atomiques et calcule la valeur de vérité de chaque prémisse et de la conclusion. **Faits et exemples concrets** : - Argument : Premisse 1 : Si le gouvernement lutte contre la corruption, alors les investissements étrangers augmenteront. (p → q) Premisse 2 : Le gouvernement lutte contre la corruption. (p) Conclusion : Donc, les investissements étrangers augmenteront. (q) Forme : Modus Ponens (p → q, p ∴ q) Table de vérité : | p | q | p → q | p | q (conc) | |---|---|-------|---|----------| | V | V | V | V | V | → OK | V | F | F | V | F | → prémisse 1 fausse, pas pertinent | F | V | V | F | V | → prémisse 2 fausse | F | F | V | F | F | → prémisse 2 fausse Aucune ligne où prémisses vraies et conclusion fausse → argument valide. - Argument invalide : Premisse 1 : Si il pleut, alors les routes sont mouillées. (p → q) Premisse 2 : Les routes sont mouillées. (q) Conclusion : Donc, il pleut. (p) Forme : Affirmation du conséquent (erreur) Table de vérité : | p | q | p → q | q | p (conc) | |---|---|-------|---|----------| | V | V | V | V | V | → OK | V | F | F | F | V | → prémisse 1 fausse | F | V | V | V | F | → ** prémisses vraies (V, V), conclusion fausse (F) → INVALIDE ** | F | F | V | F | F | → prémisse 2 fausse Une ligne avec prémisses vraies et conclusion fausse → argument invalide. **Vocabulaire à retenir** : argument valide, prémisse, conclusion, contre-exemple, table de vérité complète. **Exemple de sujet type examen avec plan** : *Sujet* : Testez la validité de l'argument suivant par table de vérité : Premisse 1 : Si le taux de scolarisation féminine augmente, alors le mariage précoce diminuera. (p → q) Premisse 2 : Le taux de scolarisation féminine augmente. (p) Conclusion : Donc, le mariage précoce diminuera. (q) *Plan* : I. Rappel de la définition de validité II. Construction de la table de vérité pour p et q     | p | q | p → q | p ( prém1) | q (conc) |     | V | V | V | V | V | → prémisses V, conc V → OK     | V | F | F | V | F | → prém1 F → pas pertinent     | F | V | V | F | V | → prém2 F     | F | F | V | F | F | → prém2 F III. Aucune ligne où prémisses vraies et conclusion fausse → argument valide IV. Identification de la forme : Modus Ponens > **À retenir** : Un argument est invalide s'il existe au moins une ligne où toutes les prémisses sont vraies et la conclusion est fausse. --- ## VII. The short truth method of testing validity **Contexte** : La méthode courte de la table de vérité est une technique efficace pour tester la validité sans construire toute la table. On suppose que l'argument est invalide (prémiesses vraies, conclusion fausse) et on vérifie si cela mène à une contradiction. Si oui, l'argument est valide ; sinon, il est invalide. Cette méthode gagne du temps, utile lors des examens ou de l'analyse rapide de discours. **Définitions** : > La **méthode courte de la table de vérité** consiste à supposer que l'argument est invalide (toutes les prémisses vraies et la conclusion fausse) et à déduire les valeurs de vérité des variables. Si cette supposition mène à une contradiction, l'argument est valide ; sinon, il est invalide. **Faits et exemples concrets** : - Argument valide (Modus Tollens) : Premisse 1 : Si le Cameroun investit dans les énergies renouvelables, alors sa dépendance au pétrole diminuera. (p → q) Premisse 2 : La dépendance du Cameroun au pétrole n'a pas diminué. (¬q) Conclusion : Donc, le Cameroun n'a pas suffisamment investi dans les énergies renouvelables. (¬p) Supposition d'invalidité : prémisses vraies, conclusion fausse → p → q = V, ¬q = V, ¬p = F De ¬p = F → p = V De p = V et p → q = V → q doit être V Mais ¬q = V → q = F → contradiction (q = V et q = F) Donc, la supposition d'invalidité est fausse → argument valide. - Argument invalide (erreur de négation de l'antécédent) : Premisse 1 : Si les pluies sont abondantes, alors la récolte de maïs sera bonne. (p → q) Premisse 2 : Les pluies ne sont pas abondantes. (¬p) Conclusion : Donc, la récolte de maïs ne sera pas bonne. (¬q) Supposition d'invalidité : prémisses vraies, conclusion fausse → p → q = V, ¬p = V, ¬q = F De ¬p = V → p = F De ¬q = F → q = V Vérifier p → q : F → V = V (vrai, pas de contradiction) Toutes les prémisses peuvent être vraies (p→q=V, ¬p=V) et conclusion fausse (¬q=F) → aucun conflit → supposition cohérente → argument invalide. **Vocabulaire à retenir** : méthode courte, supposition d'invalidité, contradiction, cohérence de valeurs. **Exemple de sujet type examen avec plan** : *Sujet* : Utilisez la méthode courte de la table de vérité pour tester la validité de l'argument : Premisse 1 : Si l'éducation est gratuite, alors le taux d'alphabétisation augmentera. (p → q) Premisse 2 : Le taux d'alphabétisation n'a pas augmenté. (¬q) Conclusion : Donc, l'éducation n'est pas gratuite. (¬p) *Plan* : I. Rappel de la méthode courte II. Supposition d'invalidité : prémisses vraies, conclusion fausse     → p → q = V, ¬q = V, ¬p = F III. Dérivation des valeurs     → De ¬p = F → p = V     → De p = V et p → q = V → q = V     → Mais ¬q = V → q = F → contradiction (q = V et q = F) IV. La supposition mène à une contradiction → donc, elle est fausse → argument valide V. Identification : Modus Tollens > **À retenir** : Si la supposition d'invalidité (prémiesses V, conclusion F) mène à une contradiction, l'argument est valide. --- ## VIII. Further applications of truth tables **Contexte** : Au-delà du test de validité, les tables de vérité servent à vérifier des propriétés logiques essentielles : tautologie, contradiction, équivalence logique. Ces applications sont utiles pour simplifier des arguments, vérifier la cohérence de lois ou de règlements, ou analyser la précision des définitions dans les textes juridiques ou éducatifs camerounais. **Définitions** : > Une **tautologie** est détectée si la colonne de la forme de déclaration contient uniquement des V. > Une **contradiction** est détectée si la colonne contient uniquement des F. > Deux formes sont **logiquement équivalentes** si leurs colonnes de valeurs de vérité sont identiques. **Faits et exemples concrets** : - Vérifier si *(p → q) ∧ (¬q → ¬p)* est une tautologie : Cette forme exprime que l'implication et son contraposé sont équivalents. Table de vérité : | p | q | p → q | ¬q | ¬p | ¬q → ¬p | (p→q)∧(¬q→¬p) | |---|---|-------|----|----|---------|----------------| | V | V | V | F | F | V | V | | V | F | F | T | F | F | F | → pas uniquement V → pas tautologie | F | V | V | F | T | V | V | | F | F | V | T | T | T | V | Attendez — erreur : ¬q → ¬p quand p=V, q=F : ¬q=T, ¬p=F → T→F=F → donc (F)∧(F)=F → pas tautologie. En réalité, *(p → q)* est équivalent à *(¬q → ¬p)*, donc leur conjonction est équivalente à *(p → q)* — qui n'est pas une tautologie. Correct : *(p → q) ↔ (¬q → ¬p)* est une tautologie. Vérifions : | p | q | p → q | ¬q → ¬p | (p→q)↔(¬q→¬p) | |---|---|-------|---------|----------------| | V | V | V | V | V | | V | F | F | F | V | | F | V | V | V | V | | F | F | V | V | V | → uniquement V → tautologie - Vérifier l'équivalence : *¬(p ∧ q)* vs *¬p ∨ ¬q* (loi de De Morgan) | p | q | p ∧ q | ¬(p∧q) | ¬p | ¬q | ¬p∨¬q | |---|---|-------|--------|----|----|-------| | V | V | V | F | F | F | F | | V | F | F | V | F | T | V | | F | V | F | V | T | F | V | | F | F | F | V | T | T | V | → colonnes identiques → équivalents **Vocabulaire à retenir** : détection de tautologie, détection de contradiction, équivalence logique, loi de De Morgan, double négation. **Exemple de sujet type examen avec plan** : *Sujet* : Utilisez une table de vérité pour déterminer si la forme suivante est une tautologie : *(p → q) ↔ (¬q → ¬p)* *Plan* : I. Rappel : une tautologie a uniquement des V dans sa colonne II. Construction de la table de vérité pour p et q     | p | q | p → q | ¬q | ¬p | ¬q → ¬p | (p→q)↔(¬q→¬p) |     | V | V | V | F | F | V | V |     | V | F | F | T | F | F | V |     | F | V | V | F | T | V | V |     | F | F | V | T | T | T | V | III. Toutes les valeurs de la dernière colonne sont V → donc, c'est une tautologie IV. Cette tautologie exprime l'équivalence entre une implication et son contraposé > **À retenir** : Pour vérifier une tautologie, construire la table de vérité et vérifier que la colonne résultat ne contient que des V. ---