REGIME SINUSOIDAL /

# REGIME SINUSOIDAL / ## Association série des dipôles RLC en sinusoidal et résonance ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur l'association série des dipôles RLC en régime sinusoïdal ! Nous allons explorer comment les résistances (R), les inductances (L) et les capacités (C) se comportent lorsqu'elles sont connectées en série et soumises à une tension alternative (sinusoïdale). Un phénomène très important que nous allons étudier est la résonance, qui a de nombreuses applications pratiques, notamment dans les radios et les systèmes de communication. ### Concepts Clés #### 1. Rappel sur les dipôles passifs ##### La Résistance (R) La résistance est un composant qui s'oppose au passage du courant électrique. Dans un circuit résistif pur, la tension et le courant sont en phase, ce qui signifie qu'ils atteignent leurs maximums et leurs minimums en même temps. * **Loi d'Ohm :** \( U_R = R \cdot I \) ##### L'Inductance (L) - La Bobine Une inductance (ou bobine) s'oppose aux variations du courant. Dans un circuit inductif pur, le courant est en retard de phase par rapport à la tension de \( \frac{\pi}{2} \) radians (ou 90°). * **Réactance inductive :** L'opposition de la bobine au courant alternatif est appelée réactance inductive, notée \( X_L \). Elle dépend de l'inductance \( L \) et de la pulsation \( \omega \) du signal alternatif : \[ X_L = L\omega \] où \( \omega = 2\pi f \) (f est la fréquence en Hertz). ##### La Capacité (C) - Le Condensateur Un condensateur stocke de l'énergie sous forme de champ électrique. Dans un circuit capacitif pur, le courant est en avance de phase par rapport à la tension de \( \frac{\pi}{2} \) radians (ou 90°). * **Réactance capacitive :** L'opposition du condensateur au courant alternatif est appelée réactance capacitive, notée \( X_C \). Elle dépend de la capacité \( C \) et de la pulsation \( \omega \) : \[ X_C = \frac{1}{C\omega} \] #### 2. Le Régime Sinusoïdal Forcé Lorsqu'un circuit est alimenté par un générateur de tension alternatif sinusoïdal, on dit qu'il est en régime sinusoïdal forcé. Toutes les tensions et les courants dans le circuit seront aussi des grandeurs sinusoïdales, caractérisées par une amplitude, une fréquence (ou pulsation) et un déphasage par rapport à la tension du générateur. #### 3. L'Association Série RLC Lorsque R, L et C sont connectés en série, le même courant \( I \) traverse tous les dipôles. La tension totale aux bornes de l'ensemble est la somme vectorielle des tensions individuelles \( U_R \), \( U_L \) et \( U_C \). ##### Impédance du circuit RLC série (Z) L'impédance \( Z \) est l'opposition totale du circuit au passage du courant alternatif. C'est l'équivalent de la résistance en courant continu, mais adaptée aux circuits alternatifs. Elle s'exprime en Ohms (\( \Omega \)). * L'impédance d'un circuit RLC série est donnée par la formule : \[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \] ou en remplaçant \( X_L \) et \( X_C \) : \[ Z = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2} \] ##### Déphasage (\( \phi \)) Le déphasage \( \phi \) représente l'angle de décalage entre la tension totale aux bornes du circuit et le courant qui le traverse. * Si \( \phi > 0 \), le courant est en retard sur la tension (circuit à dominante inductive). * Si \( \phi < 0 \), le courant est en avance sur la tension (circuit à dominante capacitive). * Si \( \phi = 0 \), le courant et la tension sont en phase (circuit purement résistif). * Le déphasage est donné par : \[ \tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R} \] #### 4. La Résonance en Tension (ou Résonance Série) La résonance est un phénomène fondamental qui se produit dans un circuit RLC série lorsque la réactance inductive \( X_L \) devient égale à la réactance capacitive \( X_C \). À ce moment-là, les effets de l'inductance et de la capacité s'annulent mutuellement. ##### Conditions de résonance : * \( X_L = X_C \) * \( L\omega_0 = \frac{1}{C\omega_0} \) où \( \omega_0 \) est la pulsation de résonance. ##### Fréquence de résonance (\( f_0 \)) : À partir de la condition de résonance, nous pouvons dériver la formule de la pulsation de résonance \( \omega_0 \) et de la fréquence de résonance \( f_0 \) : * \( \omega_0^2 = \frac{1}{LC} \implies \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \) * Puisque \( \omega_0 = 2\pi f_0 \) : \[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \] ##### Conséquences de la résonance : * **Impédance minimale :** Lorsque \( X_L = X_C \), l'impédance \( Z \) du circuit devient minimale et égale à la résistance \( R \) seule : \( Z_{min} = R \). C'est la plus petite opposition que le circuit peut offrir au courant. * **Courant maximal :** Puisque l'impédance est minimale, le courant qui traverse le circuit est maximal : \( I_{max} = \frac{U}{R} \). * **Déphasage nul :** Le déphasage \( \phi \) entre la tension totale et le courant devient nul (\( \tan(\phi) = 0 \)), ce qui signifie que le circuit se comporte comme un circuit purement résistif à la résonance. * **Surtensions :** Aux bornes de l'inductance et du condensateur, les tensions \( U_L \) et \( U_C \) peuvent devenir beaucoup plus grandes que la tension d'alimentation, mais elles sont en opposition de phase et s'annulent en tant que sommes vectorielles pour la tension totale. ### Vocabulaire * **Dipôle RLC :** Ensemble d'une résistance, d'une inductance et d'une capacité. * **Régime sinusoïdal :** Fonctionnement du circuit sous une tension ou un courant dont l'évolution est de forme sinusoïdale (courant alternatif). * **Impédance (Z) :** Mesure de l'opposition totale d'un circuit au courant alternatif, s'exprime en Ohms (\( \Omega \)). * **Réactance inductive (\( X_L \)) :** Opposition d'une inductance au courant alternatif, dépend de L et de la fréquence. * **Réactance capacitive (\( X_C \)) :** Opposition d'un condensateur au courant alternatif, dépend de C et de la fréquence. * **Déphasage (\( \phi \)) :** Angle de décalage temporel entre la tension et le courant dans un circuit alternatif. * **Pulsation (\( \omega \)) :** Mesure de la vitesse angulaire d'un signal sinusoïdal, en radians par seconde (\( rad/s \)). \( \omega = 2\pi f \). * **Fréquence de résonance (\( f_0 \)) :** Fréquence spécifique à laquelle \( X_L = X_C \) et l'impédance du circuit est minimale. * **Surtension :** Phénomène où la tension aux bornes d'un composant (L ou C) peut être supérieure à la tension d'alimentation du circuit, typique de la résonance. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de l'impédance et du déphasage Considérons un circuit RLC série avec \( R = 100 \Omega \), \( L = 0.1 \text{ H} \), et \( C = 10 \text{ \mu F} \) (soit \( 10^{-5} \text{ F} \)). Le circuit est alimenté par une tension de fréquence \( f = 50 \text{ Hz} \). 1. **Calcul de la pulsation :** \( \omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 \approx 314.16 \text{ rad/s} \) 2. **Calcul des réactances :** \( X_L = L\omega = 0.1 \times 314.16 = 31.416 \Omega \) \( X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{10^{-5} \times 314.16} \approx 318.31 \Omega \) 3. **Calcul de l'impédance :** \( Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{100^2 + (31.416 - 318.31)^2} \) \( Z = \sqrt{10000 + (-286.894)^2} = \sqrt{10000 + 82307.7} \approx \sqrt{92307.7} \approx 303.82 \Omega \) 4. **Calcul du déphasage :** \( \tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{31.416 - 318.31}{100} = \frac{-286.894}{100} = -2.86894 \) \( \phi = \arctan(-2.86894) \approx -70.78^ ext{o} \) (environ \( -1.23 \text{ rad} \)) Le courant est en avance sur la tension, le circuit est à dominante capacitive. #### Exemple 2 : Calcul de la fréquence de résonance En utilisant les mêmes composants \( L = 0.1 \text{ H} \) et \( C = 10 \text{ \mu F} \) du circuit précédent, calculons sa fréquence de résonance. 1. **Calcul de la fréquence de résonance :** \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.1 \times 10^{-5}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-3}} \) \( f_0 = \frac{1000}{2\pi} \approx 159.15 \text{ Hz} \) 2. **Observations à la résonance (si \( f = f_0 \)) :** * \( Z = R = 100 \Omega \) (l'impédance est à son minimum). * \( \phi = 0 \) (la tension et le courant sont en phase). ### Exercices 1. Un circuit RLC série est composé de \( R = 50 \Omega \), \( L = 200 \text{ mH} \) et \( C = 5 \text{ \mu F} \). Il est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale de fréquence \( f = 100 \text{ Hz} \). * Calculez la pulsation \( \omega \). * Calculez les réactances \( X_L \) et \( X_C \). * Déterminez l'impédance totale \( Z \) du circuit. * Calculez le déphasage \( \phi \) entre la tension et le courant. Le circuit est-il plutôt inductif ou capacitif ? 2. En utilisant les valeurs de L et C de l'exercice 1, calculez la fréquence de résonance \( f_0 \) de ce circuit. 3. À la fréquence de résonance, quelle serait la valeur de l'impédance de ce circuit ? Quel serait le déphasage ? ### Devoir 1. Recherchez et expliquez au moins deux applications concrètes des circuits RLC série fonctionnant à la résonance (par exemple, circuits de syntonisation radio, filtres, capteurs). 2. Si l'on double la valeur de l'inductance (L) dans un circuit RLC série, comment cela affecte-t-il la fréquence de résonance \( f_0 \) ? Justifiez votre réponse à l'aide de la formule. 3. Un circuit RLC série est en résonance. Si la résistance R augmente, qu'arrive-t-il au courant maximal qui peut traverser le circuit ? Expliquez. ### Résumé Nous avons exploré le comportement des circuits RLC série en régime sinusoïdal. Retenez que : * Les dipôles R, L, C ont des comportements différents face au courant alternatif : la résistance ne déphase pas, l'inductance fait que le courant retarde la tension, et la capacité fait que le courant devance la tension. * L'impédance \( Z \) est l'opposition totale au courant alternatif, et son calcul prend en compte R, \( X_L \) et \( X_C \). * Le déphasage \( \phi \) indique si le circuit est globalement inductif, capacitif ou purement résistif. * La **résonance** est un phénomène clé où \( X_L = X_C \). À la résonance, l'impédance est minimale (égale à R), le courant est maximal, et le déphasage est nul. La fréquence de résonance \( f_0 \) est déterminée par les valeurs de L et C. Comprendre la résonance est essentiel pour concevoir et analyser de nombreux systèmes électroniques et de communication. ## Association parallèle des dipôles RLC en sinusoidal et résonance ### Introduction Dans cette leçon, nous allons explorer le comportement des circuits composés d'une résistance (R), d'une inductance (L) et d'un condensateur (C) connectés en parallèle et alimentés par une source de tension sinusoïdale. Nous verrons comment l'association parallèle modifie les principes que vous avez peut-être étudiés pour les circuits en série. Un point crucial sera la notion de **résonance parallèle**, un phénomène où le circuit présente des propriétés uniques à une fréquence spécifique, notamment une impédance maximale et un déphasage nul. ### Concepts Clés #### Rappels sur le Régime Sinusoïdal En régime sinusoïdal, les tensions et les courants varient de manière sinusoïdale avec le temps. Nous les caractérisons par leur valeur efficace et leur phase. * **Grandeurs sinusoïdales :** * Tension : \( u(t) = U_{max} \sin(\omega t + \phi_u) \) * Courant : \( i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \phi_i) \) * **Valeurs efficaces :** \( U = U_{max}/\sqrt{2} \) et \( I = I_{max}/\sqrt{2} \). Ces valeurs sont utilisées pour les calculs de puissance. * **Pulsation :** \( \omega = 2\pi f = 2\pi/T \) où \( f \) est la fréquence et \( T \) la période. #### Impédance et Admittance des Dipôles En régime sinusoïdal, chaque dipôle présente une impédance qui s'oppose au passage du courant. Pour les associations parallèles, il est souvent plus pratique d'utiliser l'**admittance** \( Y \), qui est l'inverse de l'impédance \( Z \) (\( Y = 1/Z \)). L'admittance s'exprime en Siemens (S). * **Résistance (R) :** * Impédance : \( Z_R = R \) * Admittance : \( Y_R = 1/R = G \) (appelée conductance) * **Inductance (L) :** * Impédance : \( Z_L = jL\omega \) * Admittance : \( Y_L = 1/(jL\omega) = -j/(L\omega) = -jB_L \) (où \( B_L \) est la susceptance inductive) * **Condensateur (C) :** * Impédance : \( Z_C = 1/(jC\omega) = -j/(C\omega) \) * Admittance : \( Y_C = jC\omega = jB_C \) (où \( B_C \) est la susceptance capacitive) #### Association Parallèle des Admittances Pour des dipôles connectés en parallèle, l'admittance totale équivalente est simplement la somme des admittances de chaque branche. Ceci est l'analogue de l'addition des résistances en série. \[ Y_{total} = Y_1 + Y_2 + ... + Y_n \] #### Circuit RLC Parallèle Considérons un circuit où une résistance, une inductance et un condensateur sont connectés en parallèle à une source de tension sinusoïdale. * **Admittance totale :** L'admittance totale du circuit RLC parallèle est donnée par : \[ Y_{total} = Y_R + Y_L + Y_C = G + (-jB_L) + jB_C = G + j(B_C - B_L) \] En substituant les expressions des susceptances : \[ Y_{total} = \frac{1}{R} + j\left(C\omega - \frac{1}{L\omega}\right) \] Le module de l'admittance totale est : \[ |Y_{total}| = \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2 + \left(C\omega - \frac{1}{L\omega}\right)^2} \] L'impédance totale est alors \( Z_{total} = 1/Y_{total} \). * **Courant total :** Le courant total fourni par la source est \( I = U \cdot Y_{total} \). * **Déphasage :** Le déphasage \( \phi \) entre la tension source et le courant total est donné par : \[ \phi = \arctan\left(\frac{\text{Im}(Y_{total})}{\text{Re}(Y_{total})}\right) = \arctan\left(R\left(C\omega - \frac{1}{L\omega}\right)\right) \] #### Résonance en Courant (Résonance Parallèle) La résonance parallèle est un phénomène clé où le circuit présente des caractéristiques très spécifiques à une certaine fréquence. * **Définition :** La résonance parallèle se produit lorsque la partie imaginaire de l'admittance totale est nulle. Cela signifie que la susceptance inductive annule la susceptance capacitive. \[ C\omega_0 - \frac{1}{L\omega_0} = 0 \] * **Fréquence de résonance (\( f_0 \)) :** À la résonance, la pulsation \( \omega_0 \) et la fréquence \( f_0 \) sont données par : \[ C\omega_0 = \frac{1}{L\omega_0} \Rightarrow \omega_0^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \] Et donc : \[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \] * **Caractéristiques à la résonance :** * L'admittance totale est minimale : \( Y_{total} = G = 1/R \). Le circuit se comporte comme une pure conductance. * L'impédance totale est maximale : \( Z_{total} = R \). C'est le comportement inverse de la résonance série. * Le courant total fourni par la source est en phase avec la tension (\( \phi = 0 \)). Le facteur de puissance est de 1. * Les courants dans l'inductance \( I_L \) et le condensateur \( I_C \) sont égaux en magnitude et opposés en phase. Ils circulent en circuit fermé entre L et C et s'annulent au point de jonction avec la source. * Le courant total de la source est alors égal au courant dans la résistance : \( I = I_R = U/R \). Malgré un courant total minimal, les courants internes \( I_L \) et \( I_C \) peuvent être très importants. #### Facteur de Qualité (Q) du Circuit Parallèle Le facteur de qualité \( Q \) caractérise la sélectivité du circuit à la résonance. Un \( Q \) élevé indique une résonance plus étroite et des courants \( I_L \) et \( I_C \) beaucoup plus grands que le courant total \( I \) à la résonance. * Le facteur de qualité d'un circuit RLC parallèle est donné par : \[ Q = R\sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{R}{L\omega_0} = R C\omega_0 \] * À la résonance, \( Q \) peut aussi être exprimé comme le rapport entre le courant circulant dans L ou C et le courant total (fourni par la source) : \[ Q = \frac{I_L}{I} = \frac{I_C}{I} \] ### Vocabulaire * **Régime sinusoïdal :** Régime électrique où les tensions et courants varient sinusoïdalement avec le temps. * **Dipôle RLC parallèle :** Association en parallèle d'une résistance, d'une inductance et d'un condensateur. * **Impédance (Z) :** Opposition totale d'un circuit au courant alternatif (unité : Ohm \( \Omega \)). * **Admittance (Y) :** Inverse de l'impédance, mesure la facilité de passage du courant (unité : Siemens S). * **Conductance (G) :** Partie réelle de l'admittance, inverse de la résistance (unité : Siemens S). * **Susceptance (B) :** Partie imaginaire de l'admittance, due aux éléments réactifs (unité : Siemens S). * **Résonance parallèle (en courant) :** État d'un circuit RLC parallèle où sa susceptance totale est nulle, entraînant une impédance maximale et un déphasage nul. * **Pulsation de résonance (\( \omega_0 \)) :** Pulsation spécifique à laquelle le circuit RLC parallèle entre en résonance. * **Fréquence de résonance (\( f_0 \)) :** Fréquence correspondant à la pulsation de résonance. * **Facteur de qualité (Q) :** Grandeur sans unité qui caractérise la sélectivité et l'amortissement d'un circuit résonant. * **Déphasage (\( \phi \)) :** Différence de phase entre la tension et le courant. * **Valeur efficace :** Valeur d'un courant ou d'une tension alternatif qui produit le même effet thermique qu'un courant ou une tension continu de même valeur. ### Exemples #### Exemple 1 : Calcul de l'admittance et du courant Un circuit RLC parallèle est constitué de : \( R = 100\ \Omega \), \( L = 10\ \text{mH} \) et \( C = 1\ \mu\text{F} \). Il est alimenté par une source de tension sinusoïdale \( U = 10\ \text{V} \) à une fréquence de \( f = 1\ \text{kHz} \). 1. **Calculer la pulsation :** \( \omega = 2\pi f = 2\pi \times 1000 = 2000\pi \ \text{rad/s} \approx 6283\ \text{rad/s} \) 2. **Calculer les admittances individuelles :** * \( Y_R = 1/R = 1/100 = 0.01\ \text{S} \) * \( Y_L = -j/(L\omega) = -j/(10 \times 10^{-3} \times 2000\pi) = -j/(20\pi) \approx -j0.0159\ \text{S} \) * \( Y_C = jC\omega = j(1 \times 10^{-6} \times 2000\pi) = j(0.002\pi) \approx j0.00628\ \text{S} \) 3. **Calculer l'admittance totale :** \( Y_{total} = Y_R + Y_L + Y_C = 0.01 - j0.0159 + j0.00628 = 0.01 - j0.00962\ \text{S} \) 4. **Calculer le module de l'admittance totale :** \( |Y_{total}| = \sqrt{(0.01)^2 + (-0.00962)^2} \approx \sqrt{0.0001 + 0.0000925} = \sqrt{0.0001925} \approx 0.01387\ \text{S} \) 5. **Calculer le courant total :** \( I = U \cdot |Y_{total}| = 10 \times 0.01387 = 0.1387\ \text{A} \) #### Exemple 2 : Calcul de la fréquence de résonance En utilisant les mêmes composants \( L = 10\ \text{mH} \) et \( C = 1\ \mu\text{F} \). 1. **Calculer la pulsation de résonance :** \( \omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{10 \times 10^{-3} \times 1 \times 10^{-6}} = 1/\sqrt{10^{-8}} = 1/10^{-4} = 10000\ \text{rad/s} \) 2. **Calculer la fréquence de résonance :** \( f_0 = \omega_0/(2\pi) = 10000/(2\pi) \approx 1591.5\ \text{Hz} \) ### Exercices 1. Un circuit RLC parallèle est composé de \( R = 220\ \Omega \), \( L = 50\ \text{mH} \) et \( C = 0.47\ \mu\text{F} \). a. Calculez la fréquence de résonance \( f_0 \) de ce circuit. b. Quelle est l'impédance totale du circuit à la résonance ? c. Si le circuit est alimenté par une tension de \( 12\ \text{V} \) efficace à la fréquence de résonance, quel est le courant total fourni par la source ? d. Quel est le déphasage entre la tension et le courant à la résonance ? 2. Considérez un circuit RLC parallèle avec \( R = 500\ \Omega \), \( L = 25\ \text{mH} \) et \( C = 0.1\ \mu\text{F} \). Le circuit est alimenté par une source de \( 5\ \text{V} \) à \( 5\ \text{kHz} \). a. Calculez l'admittance de chaque branche à cette fréquence. b. Déterminez l'admittance totale et l'impédance totale du circuit. c. Calculez le courant total fourni par la source et le déphasage. Le courant est-il en avance ou en retard sur la tension ? ### Devoir Un circuit RLC parallèle est utilisé comme filtre de bande passante en électronique. On souhaite concevoir un tel filtre avec les spécifications suivantes : * Fréquence de résonance \( f_0 = 100\ \text{kHz} \) * Facteur de qualité \( Q = 50 \) * Résistance \( R = 1\ \text{k}\Omega \) 1. Calculez la valeur de l'inductance \( L \) nécessaire. 2. Calculez la valeur du condensateur \( C \) nécessaire. 3. Si le circuit est alimenté par une tension de \( 5\ \text{V} \) efficace à la fréquence de résonance, quel est le courant total fourni par la source ? 4. Calculez les courants circulant dans l'inductance \( I_L \) et le condensateur \( I_C \) à la résonance. Commentez la relation entre ces courants et le courant total. ### Résumé Nous avons exploré en détail l'association parallèle des dipôles RLC en régime sinusoïdal. Retenez les points essentiels suivants : * En parallèle, on travaille plus facilement avec les **admittances** (inverse des impédances) qui s'additionnent directement. * L'admittance totale d'un circuit RLC parallèle est \( Y_{total} = \frac{1}{R} + j\left(C\omega - \frac{1}{L\omega}\right) \). * La **résonance parallèle** se produit lorsque la partie imaginaire de l'admittance est nulle (\( C\omega_0 = 1/(L\omega_0) \)). * À la résonance, la **fréquence de résonance** est donnée par \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \). * Aux alentours de la résonance, le circuit RLC parallèle présente une **impédance maximale** (\( Z_{total} = R \)) et une admittance minimale, ce qui signifie que le courant total de la source est minimal et en phase avec la tension. * Malgré un courant total minimal à la résonance, les courants circulant dans l'inductance et le condensateur peuvent être très importants et égaux en magnitude, s'annulant au niveau de la source. * Le **facteur de qualité Q** caractérise la sélectivité du circuit et l'amplitude des courants internes par rapport au courant de la source à la résonance. ## Courant Alternatif monophasé ### Introduction Bienvenue dans cette leçon dédiée au courant alternatif monophasé ! En électronique, il est essentiel de comprendre comment l'électricité se comporte, et le courant alternatif (CA) est le type de courant le plus couramment utilisé dans nos maisons et industries. Contrairement au courant continu (CC) que vous avez peut-être déjà étudié, où l'électricité circule toujours dans la même direction, le courant alternatif change de direction périodiquement. Nous allons explorer les caractéristiques de ce courant particulier, notamment sa forme sinusoïdale, ses grandeurs fondamentales et sa représentation. ### Concepts Clés #### 1. Qu'est-ce qu'un Courant Alternatif Sinusoïdal ? Un courant ou une tension est dit alternatif sinusoïdal lorsque son intensité ou sa tension varie dans le temps de manière périodique selon une fonction sinusoïdale. Cela signifie que sa valeur croît, décroît, s'annule, change de signe, puis refait la même séquence. C'est la forme d'onde la plus courante en production et distribution d'énergie électrique. #### 2. Caractéristiques d'un Signal Sinusoïdal ##### a. Période (T) La période est la durée d'un cycle complet du signal. Elle est exprimée en secondes (s). ##### b. Fréquence (f) La fréquence est le nombre de cycles par seconde. C'est l'inverse de la période. Formule: \[ f = \frac{1}{T} \] Elle s'exprime en Hertz (Hz). En France, la fréquence du réseau électrique est de 50 Hz, ce qui signifie 50 cycles par seconde. ##### c. Amplitude (Valeur Maximale) C'est la valeur maximale atteinte par le courant (\(I_{max}\)) ou la tension (\(V_{max}\)) pendant un cycle. On l'appelle aussi valeur crête ou valeur de pointe. ##### d. Valeur Efficace (V_eff, I_eff) La valeur efficace d'un courant ou d'une tension alternatif est la valeur d'un courant ou d'une tension continu qui produirait le même échauffement dans une résistance pure (effet Joule). Pour un signal sinusoïdal, la relation entre la valeur efficace et la valeur maximale est : Pour la tension: \[ V_{eff} = \frac{V_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \cdot V_{max} \] Pour le courant: \[ I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \cdot I_{max} \] C'est cette valeur (\(V_{eff}\) ou \(I_{eff}\)) que l'on mesure avec un multimètre en mode AC et qui est indiquée sur les appareils électriques (par exemple, 230V pour le réseau domestique). ##### e. Pulsation (\( \omega \)) La pulsation est une grandeur liée à la fréquence et à la période. Elle s'exprime en radians par seconde (rad/s). Formule: \[ \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \] ##### f. Phase et Déphasage La phase à l'origine (\( \phi \)) est un angle qui indique le décalage temporel du signal par rapport à l'origine des temps (t=0). Lorsqu'on compare deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, ils peuvent être déphasés l'un par rapport à l'autre. Le déphasage (\( \Delta \phi \)) est la différence des phases à l'origine entre les deux signaux. Il est exprimé en radians ou en degrés. #### 3. Représentation Mathématique d'un Signal Sinusoïdal Une tension alternative sinusoïdale peut être exprimée mathématiquement par : \[ v(t) = V_{max} \sin(\omega t + \phi) \] Où: * \( v(t) \) est la tension instantanée à l'instant t * \( V_{max} \) est l'amplitude (valeur maximale) * \( \omega \) est la pulsation * \( t \) est le temps * \( \phi \) est la phase à l'origine De même pour le courant : \[ i(t) = I_{max} \sin(\omega t + \phi) \] ### Vocabulaire * **Courant Alternatif (CA)** : Courant électrique dont le sens de circulation change périodiquement. * **Tension Alternative** : Tension électrique dont la polarité change périodiquement. * **Sinusoïdal** : Qualifie un signal dont la variation suit une fonction sinus (ou cosinus). * **Période (T)** : Durée d'un cycle complet d'un signal périodique, en secondes (s). * **Fréquence (f)** : Nombre de cycles par seconde, en Hertz (Hz). * **Amplitude (Valeur Maximale)** : Valeur la plus élevée atteinte par le signal au cours d'un cycle. * **Valeur Efficace (V_eff, I_eff)** : Valeur d'un courant ou d'une tension continu qui produirait le même effet thermique dans une résistance pure. C'est la valeur couramment mesurée et indiquée. * **Pulsation (\( \omega \))** : Vitesse angulaire du signal, en radians par seconde (rad/s). * **Phase à l'origine (\( \phi \))** : Angle représentant le décalage du signal par rapport à l'origine des temps. * **Déphasage** : Différence de phase entre deux signaux de même fréquence. ### Exemples #### 1. Alimentation Domestique Le réseau électrique de votre maison fournit une tension alternative sinusoïdale. En France, cette tension a les caractéristiques suivantes : * Fréquence: \( f = 50 \text{ Hz} \) * Valeur efficace: \( V_{eff} = 230 \text{ V} \) À partir de ces informations, nous pouvons calculer : * La période: \( T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 0.02 \text{ s} \) (soit 20 millisecondes). * La tension maximale (amplitude): \( V_{max} = V_{eff} \sqrt{2} = 230 \cdot \sqrt{2} \approx 325 \text{ V} \). Cela signifie que la tension à votre prise murale varie entre -325 V et +325 V 50 fois par seconde. #### 2. Oscilloscope Un oscilloscope est un appareil qui permet de visualiser la forme d'onde d'une tension électrique. Si vous branchez un signal alternatif sinusoïdal à un oscilloscope, vous observerez une courbe qui monte et descend de manière régulière, reproduisant la forme d'une sinusoïde. L'oscilloscope permet de mesurer directement la période, l'amplitude (V_max) et, par conséquent, de calculer la fréquence et la valeur efficace. ### Exercices 1. Un générateur de fonctions produit une tension sinusoïdale de fréquence \( f = 100 \text{ Hz} \) et d'amplitude \( V_{max} = 12 \text{ V} \). a. Quelle est la période \( T \) de cette tension ? b. Quelle est sa valeur efficace \( V_{eff} \) ? c. Quelle est sa pulsation \( \omega \) ? 2. Une tension alternative sinusoïdale a une valeur efficace de \( 5 \text{ V} \) et une période de \( 10 \text{ ms} \). a. Quelle est sa fréquence ? b. Quelle est sa valeur maximale ? c. Écrire l'expression instantanée de cette tension \( v(t) \) si sa phase à l'origine est nulle (\( \phi = 0 \)). ### Devoirs 1. Le courant traversant un appareil électronique a une expression donnée par \( i(t) = 2.5 \sin(314t + \frac{\pi}{4}) \) (en Ampères). a. Quelle est l'amplitude \( I_{max} \) de ce courant ? b. Quelle est sa pulsation \( \omega \) ? c. En déduire la fréquence \( f \) et la période \( T \). d. Quelle est la valeur efficace \( I_{eff} \) de ce courant ? e. Quelle est sa phase à l'origine \( \phi \) ? 2. Un étudiant mesure la tension aux bornes d'une résistance à l'aide d'un oscilloscope. Il lit les informations suivantes : * Sensibilité verticale: \( 2 \text{ V/division} \) * Base de temps: \( 5 \text{ ms/division} \) * La courbe couvre 3 divisions verticalement du centre vers le haut (donc \( V_{max} \) est 3 divisions). * Un cycle complet de la courbe couvre 8 divisions horizontalement. a. Déterminer la valeur maximale \( V_{max} \) de la tension. b. Calculer la valeur efficace \( V_{eff} \) de la tension. c. Déterminer la période \( T \) de la tension. d. Calculer la fréquence \( f \) de la tension. ### Résumé En résumé, le courant alternatif monophasé est un pilier de l'électronique et de la distribution électrique. Il se caractérise par une variation sinusoïdale de la tension et du courant dans le temps. Les concepts clés à retenir sont : * **Période (T)** et **Fréquence (f)** : liées par \( f = 1/T \). * **Amplitude (Valeur Maximale)** : la valeur crête atteinte par le signal. * **Valeur Efficace (V_eff, I_eff)** : la valeur équivalente en courant continu pour l'effet thermique, liée à l'amplitude par \( V_{eff} = V_{max}/\sqrt{2} \). * **Pulsation (\( \omega \))** : liée à la fréquence par \( \omega = 2\pi f \). * **Expression temporelle** : \( v(t) = V_{max} \sin(\omega t + \phi) \). La compréhension de ces notions est fondamentale pour l'étude des circuits en régime alternatif et pour toute application pratique de l'électricité.