4B: EQUILIBRE D'UN CORPS SOLIDE (partie 1/2)

## A: Les Coupes: Coupes Simples Leçon 9B: Notion d'Equilibre Statique : Modélisation des éléments d'un mécanisme et des liaisons ### Introduction Bienvenue dans cette leçon où nous explorerons deux aspects fondamentaux en construction mécanique : la lecture et la compréhension des **coupes** pour visualiser l'intérieur des pièces, et la **notion d'équilibre statique**, essentielle pour concevoir des mécanismes fiables. Nous apprendrons comment modéliser les éléments d'un mécanisme et les liaisons qui les unissent pour analyser leur stabilité sous l'action de forces. ### Concepts Clés #### I. Rappels sur les Coupes Simples ##### A. Pourquoi faire une coupe ? En dessin technique, les **coupes** sont des représentations très importantes. Elles permettent de "découper" virtuellement une pièce pour en montrer les détails intérieurs qui seraient autrement cachés par des arêtes cachées (tirets). Cela rend la lecture du dessin beaucoup plus claire et aide à comprendre la forme réelle des éléments. ##### B. Représentation d'une coupe simple * **Plan de coupe** : C'est le plan imaginaire qui "tranche" la pièce. Il est représenté par un trait mixte fin (fin et fort alterné) avec des flèches et des lettres indiquant la direction de vue et le nom de la coupe. * **Hachures** : Les zones de matière coupée par le plan de coupe sont représentées par des hachures (traits fins et parallèles) qui indiquent la nature du matériau et différencient les pièces assemblées. #### II. Introduction à l'Équilibre Statique ##### A. Qu'est-ce que l'équilibre statique ? Un corps est en **équilibre statique** si son centre de masse est immobile et qu'il ne tourne pas. En d'autres termes, il est au repos et le reste. C'est une condition fondamentale pour la stabilité des structures et des mécanismes en ingénierie. ##### B. Actions mécaniques Les actions mécaniques sont tout ce qui peut modifier le mouvement ou la déformation d'un corps. Elles peuvent être de deux types : * **Forces** : Elles ont un point d'application, une direction, un sens et une intensité (ou norme). Elles tendent à provoquer une translation (un déplacement). * Exemples : Le poids d'un objet (gravité), la poussée d'un ressort, la traction d'un câble, la force de contact entre deux pièces. * **Moment d'une force** : Il caractérise l'effet de rotation d'une force autour d'un point ou d'un axe. Son unité est le Newton-mètre (N.m). * Le moment \(M\) d'une force \(F\) par rapport à un point \(A\) est calculé par le produit de l'intensité de la force par la distance perpendiculaire \(d\) entre le point \(A\) et la ligne d'action de la force : \(M = F imes d\). ##### C. Modélisation des éléments d'un mécanisme Pour étudier l'équilibre, nous simplifions la réalité : * **Corps solide** : On considère souvent les pièces comme des **corps solides indéformables**. Cela signifie qu'elles ne changent pas de forme sous l'effet des forces. * **Actions mécaniques** : Elles sont modélisées par des **vecteurs forces** pour les translations et par des **vecteurs moments** pour les rotations. L'ensemble des actions mécaniques agissant sur un corps est souvent représenté par un **torseur des actions mécaniques**. ##### D. Modélisation des liaisons Les **liaisons mécaniques** sont les connexions entre les pièces d'un mécanisme. Elles ont deux rôles principaux : * **Transmettre des actions mécaniques** (forces et moments). * **Limiter les mouvements relatifs** (les **degrés de liberté**) entre les pièces. Chaque type de liaison (pivot, glissière, encastrement, appui plan, etc.) permet ou empêche certains mouvements et peut donc transmettre des forces et des moments spécifiques. Par exemple : * **Liaison pivot** : Permet une rotation, bloque les translations. Elle peut transmettre des forces (réactions) et un moment le long de l'axe de pivotement. * **Liaison glissière** : Permet une translation, bloque les rotations. Elle peut transmettre des forces et des moments perpendiculaires à l'axe de glissement. #### III. Conditions d'Équilibre Statique ##### A. Principe Fondamental de la Statique (PFS) Pour qu'un corps solide indéformable soit en équilibre statique, il faut que deux conditions soient satisfaites simultanément : 1. **La somme vectorielle de toutes les forces extérieures appliquées au corps doit être nulle.** Cela signifie qu'il n'y a pas de translation. \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] En termes de composantes dans un repère \((O; \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})\) : * \( \sum F_x = 0 \) * \( \sum F_y = 0 \) * \( \sum F_z = 0 \) 2. **La somme vectorielle de tous les moments des forces extérieures appliquées au corps, par rapport à n'importe quel point A, doit être nulle.** Cela signifie qu'il n'y a pas de rotation. \[ \sum \vec{M}_{ext/A} = \vec{0} \] En termes de composantes : * \( \sum M_{x/A} = 0 \) * \( \sum M_{y/A} = 0 \) * \( \sum M_{z/A} = 0 \) Ces six équations (trois pour les forces, trois pour les moments) sont essentielles pour résoudre les problèmes de statique. ##### B. Application du PFS Pour analyser un système en équilibre : 1. **Isoler le corps** : Dessiner le corps que l'on souhaite étudier, en le séparant mentalement des autres pièces. 2. **Répertorier les actions mécaniques** : Identifier toutes les forces connues (poids, actions extérieures) et les réactions des liaisons (forces et moments inconnus). 3. **Écrire les équations du PFS** : Appliquer les deux conditions du PFS (somme des forces et somme des moments) par rapport à un point judicieusement choisi (souvent un point d'application d'une ou plusieurs forces inconnues pour simplifier les calculs de moments). 4. **Résoudre le système d'équations** : Calculer les valeurs des actions mécaniques inconnues. ### Vocabulaire * **Équilibre statique** : État d'un corps immobile qui reste immobile. * **Corps solide indéformable** : Modèle d'une pièce qui ne se déforme pas sous l'action des forces. * **Action mécanique** : Toute cause capable de modifier le mouvement ou la forme d'un corps. * **Force** : Action mécanique modélisée par un vecteur qui tend à provoquer une translation. * **Moment d'une force** : Action mécanique modélisée par un vecteur qui tend à provoquer une rotation. * **Liaison mécanique** : Connexion entre deux pièces qui limite leurs mouvements relatifs et transmet des actions. * **Degré de liberté** : Nombre de mouvements indépendants qu'une pièce peut effectuer par rapport à une autre. * **Torseur des actions mécaniques** : Outil mathématique regroupant toutes les forces et tous les moments agissant sur un corps en un point donné. * **Réaction d'une liaison** : Forces et/ou moments exercés par une liaison sur une pièce pour s'opposer aux mouvements ou maintenir l'équilibre. ### Exemples #### Exemple 1 : Un livre posé sur une table Un livre (corps solide) est posé sur une table. Il est en équilibre statique. Quelles sont les actions mécaniques ? * **Action 1 (connue)** : Le poids du livre \( \vec{P} \), dirigé vers le bas, appliqué au centre de gravité du livre. * **Action 2 (inconnue)** : La réaction de la table sur le livre \( \vec{R} \), dirigée vers le haut, répartie sur la surface de contact mais que l'on peut modéliser par une force unique appliquée au centre de la surface de contact. Selon le PFS : \( \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \) \( \Rightarrow \) \( \vec{P} + \vec{R} = \vec{0} \). Donc \( \vec{R} = - \vec{P} \). La force que la table exerce est égale et opposée au poids du livre. #### Exemple 2 : Une poutre en équilibre sur deux appuis Une poutre horizontale est posée sur deux appuis A et B et soumise à une charge centrale \( \vec{F} \). * **Actions connues** : Le poids de la poutre \( \vec{P} \) (au centre de la poutre) et la charge \( \vec{F} \). * **Actions inconnues** : Les réactions des appuis \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \) (verticales vers le haut). En appliquant le PFS, nous pouvons trouver \( \vec{R}_A \) et \( \vec{R}_B \) en écrivant la somme des forces verticales et la somme des moments par rapport à A (ou B). ### Exercices 1. Définissez avec vos propres mots ce qu'est l'**équilibre statique** d'un corps solide. 2. Énoncez les deux conditions du **Principe Fondamental de la Statique** (PFS). 3. Considérez une chaise posée sur le sol. Identifiez les actions mécaniques qui s'exercent sur la chaise lorsqu'elle est vide et en équilibre. 4. Un objet de 10 kg est posé sur une surface plane. Quelle est la force de réaction exercée par la surface sur l'objet ? (Prenez \( g = 9,81 \text{ m/s}^2 \)). ### Devoirs 1. **Analyse d'un levier** : Dessinez un levier (une barre) posé sur un pivot central. Une force \( \vec{F}_1 \) est appliquée à une extrémité vers le bas, à une distance \(d_1\) du pivot. Quelle force \( \vec{F}_2 \) faut-il appliquer à l'autre extrémité, à une distance \(d_2\) du pivot, pour maintenir le levier en équilibre horizontal ? Exprimez \( \vec{F}_2 \) en fonction de \( \vec{F}_1\), \(d_1\) et \(d_2\). 2. **Calcul de réactions d'appui** : Une barre de longueur L = 2 mètres et de poids négligeable est posée horizontalement sur deux appuis A et B, situés respectivement à 0,2 m et 1,8 m de l'extrémité gauche. Une force ponctuelle verticale de 50 N est appliquée à 0,5 m de l'extrémité gauche. Calculez les réactions verticales aux appuis A et B. 3. **Recherche sur les liaisons** : Choisissez trois types de liaisons mécaniques différentes (par exemple, encastrement, rotule, pivot glissant). Pour chacune, décrivez brièvement ses caractéristiques (mouvements permis/bloqués) et listez les forces et moments qu'elle peut transmettre. ### Résumé Dans cette leçon, nous avons abordé l'importance des **coupes simples** pour la visualisation des détails internes en dessin technique. Nous nous sommes ensuite concentrés sur la **notion d'équilibre statique**, cruciale en construction mécanique. Nous avons appris à modéliser les **actions mécaniques** (forces et moments) et les **liaisons** qui unissent les pièces d'un mécanisme. Enfin, nous avons étudié le **Principe Fondamental de la Statique**, qui stipule que pour qu'un corps soit en équilibre, la somme des forces extérieures et la somme des moments des forces extérieures doivent être nulles. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour analyser et concevoir des systèmes mécaniques stables et fonctionnels. ## A: Les Coupes: Coupes Brisées Leçon 10B: Notion d'Equilibre Statique : Modélisation des Actions Mécaniques et Interprétations ### Introduction Bienvenue dans cette leçon consacrée à l'équilibre statique, un concept fondamental en construction mécanique. Comprendre comment un corps reste immobile est essentiel pour concevoir des structures et des mécanismes sûrs et fonctionnels. Nous allons explorer ce qu'est l'équilibre, comment modéliser les différentes actions mécaniques qui s'exercent sur un corps, et comment interpréter ces modèles pour prédire le comportement d'un système. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que l'équilibre statique ? L'équilibre statique est l'état d'un corps solide qui est immobile par rapport à un référentiel donné. Cela signifie que sa vitesse et son accélération sont nulles. En d'autres termes, le corps ne bouge pas et n'a aucune tendance à se déplacer ou à pivoter. Pour qu'un corps soit en équilibre statique, toutes les actions mécaniques qui s'exercent sur lui doivent se compenser mutuellement. #### Les Actions Mécaniques Une action mécanique est toute cause capable de modifier le mouvement d'un corps ou de le déformer. On les modélise généralement par des forces ou des moments. ##### Modélisation d'une action mécanique (Force) Une force est une action mécanique caractérisée par : * **Un point d'application :** L'endroit où la force s'exerce sur le corps. * **Une direction :** La ligne le long de laquelle la force agit. * **Un sens :** L'orientation de la force le long de sa direction. * **Une intensité (ou module) :** La valeur numérique de la force, exprimée en Newtons (N). Une force est un vecteur et est notée \( \vec{F} \). ##### Types d'actions mécaniques Les actions mécaniques peuvent être de deux types principaux : * **Actions à distance :** Elles s'exercent sans contact direct entre les corps. * **Le poids :** C'est l'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur tout corps possédant une masse. Il est toujours dirigé verticalement vers le bas. Le poids \( \vec{P} \) d'un corps de masse \( m \) est donné par la formule : \[ \vec{P} = m \cdot \vec{g} \] où \( \vec{g} \) est l'accélération de la pesanteur (environ \( 9.81 \text{ m/s}^2 \) sur Terre). * *Exemples :* Forces magnétiques, forces électrostatiques. * **Actions de contact :** Elles résultent d'un contact physique entre deux corps. * **Les réactions de liaisons :** Ce sont les forces (et parfois des moments) qu'une liaison mécanique (comme une articulation, un appui, un encastrement) exerce sur le corps pour l'empêcher de se déplacer ou de tourner selon certaines directions. * **Les forces de pression :** Réparties sur une surface. * **Les forces de frottement :** Qui s'opposent au mouvement relatif entre deux surfaces en contact. ##### Notion de Moment d'une force Une force peut produire un effet de rotation autour d'un point ou d'un axe. Cet effet est appelé le moment de la force. Le moment \( \vec{M}_{/A} \) d'une force \( \vec{F} \) par rapport à un point \( A \) est donné par le produit vectoriel du vecteur position \( \vec{r} \) (du point A au point d'application de la force) et de la force \( \vec{F} \) : \[ \vec{M}_{/A} = \vec{r} \times \vec{F} \] Son intensité est \( M_{/A} = F \cdot d \), où \( d \) est la distance perpendiculaire entre le point \( A \) et la ligne d'action de la force (bras de levier). #### Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) Pour qu'un corps solide soit en équilibre statique, deux conditions doivent être simultanément satisfaites : 1. **L'équilibre des forces :** La somme vectorielle de toutes les forces extérieures s'exerçant sur le corps doit être nulle. Cela signifie qu'il n'y a pas de mouvement de translation. \[ \sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \] En composantes cartésiennes (dans un repère \( (O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}) \)) : * \( \sum F_x = 0 \) * \( \sum F_y = 0 \) * \( \sum F_z = 0 \) 2. **L'équilibre des moments :** La somme vectorielle de tous les moments des forces extérieures (et des moments extérieurs) par rapport à n'importe quel point \( A \) doit être nulle. Cela signifie qu'il n'y a pas de mouvement de rotation. \[ \sum \vec{M}_{/A} = \vec{0} \] En composantes cartésiennes : * \( \sum M_{x/A} = 0 \) * \( \sum M_{y/A} = 0 \) * \( \sum M_{z/A} = 0 \) #### Isolation d'un corps et Diagramme des Corps Libres (DCL) Pour appliquer le PFS, il est crucial d'abord d'**isoler** le corps ou l'ensemble de corps que l'on souhaite étudier. Cette isolation est souvent représentée par un **Diagramme des Corps Libres (DCL)**. Le DCL est un schéma où le corps isolé est représenté seul, et toutes les actions mécaniques extérieures (forces et moments) qui s'exercent sur lui sont dessinées et modélisées (poids, réactions des liaisons, forces appliquées). * **Le principe de la coupure :** Pour isoler un système, on imagine une ou plusieurs "coupures" qui séparent le système étudié de son environnement. Les actions mécaniques que l'environnement exerçait sur le système au niveau de ces coupures sont alors représentées comme des forces et/ou des moments sur le DCL. #### Interprétations Une fois les équations du PFS résolues, vous obtenez les valeurs des inconnues (souvent les réactions aux liaisons). L'interprétation de ces résultats permet de : * **Vérifier la faisabilité :** Les forces calculées sont-elles supportables par les matériaux et les liaisons choisies ? * **Dimensionner les pièces :** Choisir des composants (vis, soudures, sections de poutres) qui résisteront aux efforts. * **Comprendre le comportement :** Savoir comment les efforts se répartissent dans la structure. ### Vocabulaire * **Équilibre statique :** État d'immobilité d'un corps. * **Action mécanique :** Cause capable de modifier le mouvement ou la forme d'un corps. * **Force :** Modélisation d'une action mécanique, caractérisée par un point d'application, direction, sens et intensité (en N). * **Moment :** Effet de rotation d'une force autour d'un point ou d'un axe. * **Poids :** Force d'attraction gravitationnelle sur une masse.\( \vec{P} = m \cdot \vec{g} \) * **Réaction :** Force ou moment exercé par une liaison sur un corps. * **Liaison :** Connexion entre deux corps limitant leurs mouvements relatifs. * **Point d'application :** Endroit où une force s'exerce. * **Direction :** Ligne d'action d'une force. * **Sens :** Orientation d'une force le long de sa direction. * **Intensité (module) :** Valeur numérique d'une force ou d'un moment. * **PFS :** Principe Fondamental de la Statique. * **DCL :** Diagramme des Corps Libres. ### Exemples #### Exemple 1: Un livre posé sur une table Considérons un livre de masse \( m \) posé sur une table. 1. **Isolation :** Le livre. 2. **Actions mécaniques :** * Le **poids** \( \vec{P} \) du livre, appliqué au centre de gravité, vertical vers le bas, d'intensité \( P = m \cdot g \). * La **réaction de la table** \( \vec{R} \) sur le livre, appliquée au point de contact, verticale vers le haut. 3. **Application du PFS :** * Équilibre des forces : \( \sum \vec{F} = \vec{P} + \vec{R} = \vec{0} \). * En projetant sur un axe vertical orienté vers le haut : \( R - P = 0 \), donc \( R = P = m \cdot g \). Le livre est en équilibre, la force de la table compense exactement son poids. #### Exemple 2: Une poutre horizontale en équilibre Une poutre homogène de poids \( P \) et de longueur \( L \) est posée sur deux appuis simples \( A \) et \( B \). L'appui \( A \) est à l'extrémité gauche et l'appui \( B \) est au milieu de la poutre. 1. **Isolation :** La poutre. 2. **Actions mécaniques :** * Le **poids** \( \vec{P} \) de la poutre, appliqué au centre de gravité (au milieu de la poutre puisque homogène), vertical vers le bas. * La **réaction de l'appui A** \( \vec{R_A} \), verticale vers le haut (appui simple). * La **réaction de l'appui B** \( \vec{R_B} \), verticale vers le haut (appui simple). 3. **Application du PFS (dans un repère \( (x,y) \) où \( y \) est vertical vers le haut) :** * **Équilibre des forces (axe y) :** \( \sum F_y = R_A + R_B - P = 0 \) (Éq. 1) * **Équilibre des moments (par rapport à A) :** \[ \sum M_{/A} = (0 \cdot R_A) + (\frac{L}{2} \cdot R_B) - (\frac{L}{2} \cdot P) = 0 \] (Le poids est appliqué au milieu de la poutre, à \( L/2 \) de A. \( R_B \) est également à \( L/2 \) de A). En simplifiant : \( \frac{L}{2} R_B - \frac{L}{2} P = 0 \) (Éq. 2) * De l'Éq. 2 : \( R_B = P \). * En substituant \( R_B \) dans l'Éq. 1 : \( R_A + P - P = 0 \), donc \( R_A = 0 \). *Interprétation :* Dans ce cas spécifique où l'appui B est exactement sous le centre de gravité, l'appui A ne supporte aucune charge. Ce n'est pas une configuration stable si la poutre n'est pas fixée ! ### Exercices 1. **Définissez** avec vos propres mots ce qu'est l'équilibre statique. 2. **Citez** les quatre caractéristiques d'une force. 3. Un corps de masse \( 10 \text{ kg} \) est suspendu à un câble. Représentez le DCL de ce corps et écrivez l'équation d'équilibre des forces. Quelle est la tension dans le câble ? (On prendra \( g = 10 \text{ m/s}^2 \)). 4. Une règle de \( 30 \text{ cm} \) de long est posée à plat sur une table. Son poids est de \( 0.15 \text{ N} \). Représentez les forces qui s'appliquent sur la règle si elle est en équilibre. ### Devoir 1. Une étagère est fixée au mur par deux supports. Elle supporte un poids de \( 50 \text{ N} \) uniformément réparti. Modélisez les forces en jeu et expliquez comment vous appliqueriez le PFS pour calculer les réactions aux supports. 2. Un levier (barre rigide) de longueur \( 1 \text{ m} \) est en équilibre autour d'un point d'appui (pivot) situé à \( 0.25 \text{ m} \) de son extrémité gauche. Une force de \( 100 \text{ N} \) est appliquée verticalement vers le bas à l'extrémité gauche. Quelle force verticale doit être appliquée à l'extrémité droite pour maintenir le levier en équilibre ? Négligez le poids du levier. 3. Recherchez et expliquez ce qu'est un encastrement en mécanique et comment il modélise les actions mécaniques (forces et moments). ### Résumé Dans cette leçon, nous avons appris que l'**équilibre statique** est l'état d'immobilité d'un corps, caractérisé par l'annulation de toutes les **actions mécaniques** qui s'y exercent. Nous avons modélisé ces actions par des **forces** (caractérisées par point d'application, direction, sens, intensité) et des **moments** (effet de rotation). Les types d'actions comprennent le **poids** (action à distance) et les **réactions de liaisons** (actions de contact). Le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)** stipule que pour l'équilibre, la somme vectorielle des forces doit être nulle (pas de translation) et la somme vectorielle des moments doit être nulle (pas de rotation). Enfin, l'utilisation du **Diagramme des Corps Libres (DCL)** et des **coupures** est essentielle pour isoler un système et appliquer correctement le PFS afin d'interpréter les efforts internes et externes des structures. ## A: Les Sections Leçon 11B: Principe Fondamental de la Statique ### Introduction Bienvenue à cette leçon sur le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)** ! En construction mécanique, il est crucial de comprendre comment les structures et les pièces restent immobiles et stables sous l'action de diverses forces. Le PFS est l'outil principal qui nous permet d'analyser l'équilibre des corps solides. Que ce soit pour concevoir un pont, un bâtiment, ou une simple étagère, s'assurer que tout reste en place est une priorité. Cette leçon vous donnera les bases pour comprendre et appliquer ce principe fondamental. ### Concepts Clés #### 1. Corps Solide en Équilibre Un **corps solide est en équilibre** s'il est au repos et qu'il y reste, ou s'il est en mouvement rectiligne uniforme. Dans le cadre de la statique, nous nous intéressons principalement aux corps immobiles. #### 2. Les Forces Une **force** est une action mécanique capable de déformer un corps ou de modifier son état de mouvement. Elle est représentée par un vecteur et possède plusieurs caractéristiques : * **Point d'application :** L'endroit où la force agit sur le corps. * **Direction (ou droite d'action) :** La ligne le long de laquelle la force agit. * **Sens :** L'orientation de la force le long de sa direction (par exemple, vers le haut, vers la droite). * **Intensité (ou module) :** La valeur numérique de la force, mesurée en Newtons (N). Les forces peuvent être : * **Forces appliquées (ou externes) :** Celles qui agissent sur le corps par des éléments extérieurs (poids, poussée, traction). * **Forces de réaction :** Celles exercées par les liaisons ou les appuis sur le corps pour l'empêcher de bouger. * **Poids (\( {P} \)) :** La force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le corps. Son point d'application est le centre de gravité (G) du corps. \[ {P} = m imes g \] où \( m \) est la masse (en kg) et \( g \) est l'accélération de la pesanteur (environ \( 9.81 ext{ m/s}^2 \)). #### 3. Le Moment d'une Force Le **moment d'une force** par rapport à un point (ou un axe) est la capacité de cette force à provoquer une rotation autour de ce point. C'est un concept clé pour comprendre l'équilibre en rotation. * **Calcul du moment (\( M \)) :** \[ M_{/A} = F imes d \] où \( F \) est l'intensité de la force et \( d \) est la distance perpendiculaire entre la droite d'action de la force et le point \( A \) (appelée **bras de levier**). * **Unité :** Newton-mètre (N.m). * **Convention de signe :** On adopte généralement un sens positif pour la rotation (par exemple, le sens trigonométrique ou anti-horaire) et un sens négatif pour l'autre. #### 4. Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) Pour qu'un corps solide soit en équilibre, deux conditions doivent être simultanément remplies : ##### a) Première Condition d'Équilibre (Équilibre en Translation) La somme vectorielle de toutes les forces extérieures s'appliquant au corps doit être nulle. Cela signifie que le corps ne subit aucune accélération linéaire. \[ \sum \vec{F}_{ ext{ext}} = \vec{0} \] En projection sur des axes (par exemple, x et y pour un problème 2D) : * Somme des forces selon l'axe x : \( \sum F_x = 0 \) * Somme des forces selon l'axe y : \( \sum F_y = 0 \) ##### b) Deuxième Condition d'Équilibre (Équilibre en Rotation) La somme des moments de toutes les forces extérieures par rapport à n'importe quel point (ou axe) doit être nulle. Cela signifie que le corps ne subit aucune accélération angulaire. \[ \sum M_{/A}(\vec{F}_{ ext{ext}}) = 0 \] Le choix du point \( A \) est arbitraire, mais il est souvent judicieux de le choisir sur le point d'application d'une ou plusieurs forces inconnues pour simplifier les calculs (le moment d'une force dont la droite d'action passe par le point \( A \) est nul). ### Vocabulaire * **Corps solide :** Objet dont la forme et le volume ne varient pas sous l'action des forces extérieures. * **Équilibre :** État d'un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. * **Force :** Action mécanique (poussée, traction, poids). * **Point d'application :** Où la force agit. * **Direction :** Ligne sur laquelle la force agit. * **Sens :** Orientation de la force sur sa direction. * **Intensité/Module :** Valeur numérique de la force (en Newtons). * **Vecteur force :** Représentation d'une force par une flèche avec point d'application, direction, sens et longueur proportionnelle à l'intensité. * **Moment d'une force :** Tendance à faire tourner un corps autour d'un point ou d'un axe. * **Bras de levier :** Distance perpendiculaire du point au support de la force. * **Principe Fondamental de la Statique (PFS) :** Les deux conditions (somme des forces et somme des moments nulles) pour l'équilibre. * **Réaction :** Force exercée par un appui ou une liaison. * **Appui :** Élément supportant un corps et exerçant des forces de réaction. ### Exemples #### Exemple 1: La Poutre Simple Considérons une poutre horizontale (de masse négligeable) de longueur \( L = 2 ext{ m} \) posée sur deux appuis simples (A et B) à ses extrémités. Une charge concentrée \( F = 100 ext{ N} \) est appliquée au centre de la poutre. * **Forces :** Poids \( F = 100 ext{ N} \) vers le bas au milieu de la poutre. Réactions \( R_A \) et \( R_B \) aux appuis A et B, vers le haut. * **Application du PFS :** 1. **Somme des forces verticales = 0 :** \( R_A + R_B - F = 0 \) => \( R_A + R_B = 100 ext{ N} \) 2. **Somme des moments / A = 0 :** (choisissons le point A pour annuler \( R_A \)) Le moment de \( F \) par rapport à A est \( -F imes (L/2) \) (sens horaire, donc négatif). Le moment de \( R_B \) par rapport à A est \( R_B imes L \) (sens anti-horaire, donc positif). \( -F imes (L/2) + R_B imes L = 0 \) \( -100 ext{ N} imes 1 ext{ m} + R_B imes 2 ext{ m} = 0 \) \( -100 + 2R_B = 0 \) => \( 2R_B = 100 \) => \( R_B = 50 ext{ N} \) * En substituant \( R_B \) dans la première équation : \( R_A + 50 = 100 \) => \( R_A = 50 ext{ N} \). Les réactions aux appuis sont donc de \( 50 ext{ N} \) chacune. #### Exemple 2: La Clé à Molette Vous serrez un écrou avec une clé. Vous appliquez une force \( F = 30 ext{ N} \) à l'extrémité de la clé, à une distance \( d = 0.2 ext{ m} \) du centre de l'écrou. Quel est le moment de cette force par rapport au centre de l'écrou ? * **Calcul :** \( M = F imes d = 30 ext{ N} imes 0.2 ext{ m} = 6 ext{ N.m} \). ### Exercices 1. Une force de \( 50 ext{ N} \) est appliquée à l'extrémité d'une barre rigide de \( 0.5 ext{ m} \) de long, perpendiculairement à la barre. Quel est le moment de cette force par rapport au point de pivot à l'autre extrémité de la barre ? 2. Une poutre de \( 3 ext{ m} \) de long est supportée à ses deux extrémités A et B. Une charge de \( 200 ext{ N} \) est placée à \( 1 ext{ m} \) de l'appui A. Calculez les forces de réaction \( R_A \) et \( R_B \) aux appuis. 3. Un objet est soumis à trois forces coplanaires : \( F_1 = 10 ext{ N} \) vers le haut, \( F_2 = 15 ext{ N} \) vers le bas, et \( F_3 = 5 ext{ N} \) vers le haut. L'objet est-il en équilibre en translation verticale ? Justifiez votre réponse. ### Devoirs 1. Une planche de \( 4 ext{ m} \) de long pèse \( 80 ext{ N} \) (son poids agit en son centre). Elle est posée sur deux tréteaux. Le premier tréteau est à \( 0.5 ext{ m} \) de l'extrémité gauche et le second est à \( 0.5 ext{ m} \) de l'extrémité droite. Un enfant de \( 200 ext{ N} \) se tient à \( 1 ext{ m} \) de l'extrémité gauche de la planche. Calculez les forces de réaction supportées par chaque tréteau. 2. Un levier de \( 1.5 ext{ m} \) est articulé à son extrémité gauche (point O). Une charge de \( 300 ext{ N} \) est appliquée à \( 1 ext{ m} \) du point O. Pour maintenir le levier à l'horizontale, une force \( F \) est appliquée à l'extrémité droite. Quelle est l'intensité de cette force \( F \) ? (Négliger le poids du levier). ### Résumé Le **Principe Fondamental de la Statique (PFS)** est essentiel en mécanique pour assurer la stabilité des structures. Il repose sur deux conditions clés : 1. **Équilibre en translation :** La somme vectorielle de toutes les forces extérieures agissant sur le corps doit être nulle (\( \sum \vec{F} = \vec{0} \)). 2. **Équilibre en rotation :** La somme des moments de toutes les forces extérieures par rapport à n'importe quel point doit être nulle (\( \sum M = 0 \)). En appliquant ces deux conditions, nous pouvons déterminer les forces inconnues (comme les réactions d'appuis) et vérifier si un corps solide est stable ou non. La maîtrise de ces concepts est fondamentale pour toute conception mécanique fiable et sûre.