Thème 6: Optimisation de la production et gestion des approvisionnements

# Thème 6: Optimisation de la production et gestion des approvisionnements ## Optimisation du programme de production : programmation linéaire et résolution graphique # Optimisation du programme de production : programmation linéaire et résolution graphique\n\n## Introduction\nBienvenue à cette leçon cruciale sur l'optimisation du programme de production, un défi majeur pour toute entreprise. Comprendre comment allouer au mieux ses ressources limitées pour maximiser ses profits ou minimiser ses coûts est essentiel en comptabilité et en gestion. Nous allons explorer une méthode puissante appelée la programmation linéaire, et plus spécifiquement, la résolution graphique, qui nous permet de visualiser et de résoudre ces problèmes d'optimisation.\n\n## Concepts Clés\n\n### Qu'est-ce que l'optimisation du programme de production ?\nL'optimisation du programme de production consiste à déterminer les quantités idéales de chaque produit à fabriquer, compte tenu des ressources disponibles et des contraintes, afin d'atteindre un objectif économique précis (par exemple, maximiser le profit ou minimiser le coût de production).\n* **Importance :** Permet une meilleure utilisation des ressources, une augmentation de la rentabilité et une meilleure prise de décision stratégique.\n* **Objectifs :**\n * Maximiser la marge sur coûts variables ou le profit.\n * Minimiser les coûts de production.\n * Respecter les contraintes de capacité, de matières premières, de main-d'œuvre, ou de demande du marché.\n\n### La Programmation Linéaire (PL)\n\n#### Définition et principe\nLa programmation linéaire est une technique mathématique utilisée pour optimiser une fonction linéaire (la fonction objectif) sous un ensemble de contraintes linéaires. Elle est applicable lorsque les relations entre les variables sont proportionnelles.\n* **Fonction objectif :** L'équation que l'on souhaite maximiser ou minimiser (ex: le profit total ou le coût total).\n* **Variables de décision :** Les quantités inconnues que l'on cherche à déterminer (ex: le nombre d'unités de produit A et B à produire).\n* **Contraintes :** Les limites imposées par les ressources, la capacité ou d'autres facteurs.\n* **Linéarité :** Toutes les relations (fonction objectif et contraintes) doivent être des équations ou inéquations du premier degré.\n\n#### Les composantes d'un modèle de PL\nPour formuler un problème de PL, on identifie :\n1. **Les variables de décision :** Représentent les quantités que l'on peut ajuster (souvent notées \\( x_1, x_2, ... \\)).\n2. **La fonction objectif :** Exprime l'objectif à optimiser. Elle est de la forme : Maximiser (ou Minimiser) \\( Z = c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n \\), où \\( c_i \\) sont les coefficients (marges unitaires, coûts unitaires).\n3. **Les contraintes techniques et commerciales :** Représentent les limitations. Elles sont de la forme : \\( a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n \\le b \\) (ou \\( \\ge \\) ou \\( = \\)), où \\( a_i \\) sont les coefficients de consommation de ressources et \\( b \\) la quantité de ressource disponible.\n4. **Les contraintes de non-négativité :** Les quantités produites ne peuvent pas être négatives. Elles sont toujours de la forme : \\( x_i \\ge 0 \\) pour toutes les variables de décision.\n\n### La Résolution Graphique\n\n#### Principe\nLa méthode graphique est utilisée pour résoudre les problèmes de programmation linéaire qui comportent **deux variables de décision**. Elle permet de visualiser l'ensemble des solutions possibles et de trouver graphiquement la solution optimale.\n\n#### Étapes de la résolution graphique\n1. **Formulation du problème :** Écrire clairement la fonction objectif et toutes les contraintes sous forme mathématique.\n2. **Représentation graphique des contraintes :**\n * Pour chaque inéquation de contrainte, la transformer en équation pour tracer une droite sur un système d'axes (\\( x_1 \\) et \\( x_2 \\)).\n * Déterminer la zone admissible pour chaque contrainte (généralement en testant le point (0,0)).\n3. **Détermination de la zone des solutions admissibles (polygone de contraintes) :** Cette zone est l'intersection de toutes les zones admissibles individuelles et respecte les contraintes de non-négativité (premier quadrant du graphique). Tous les points de cette zone sont des solutions valides.\n4. **Représentation de la fonction objectif :**\n * Tracer une droite isoprofit (si maximisation) ou isocoût (si minimisation) arbitraire en fixant une valeur pour \\( Z \\) dans la fonction objectif.\n * La pente de cette droite est déterminée par les coefficients de la fonction objectif.\n5. **Recherche du point optimal :**\n * Déplacer la droite isoprofit/isocoût parallèlement à elle-même dans la direction d'amélioration (vers l'extérieur pour maximiser, vers l'intérieur pour minimiser) jusqu'à ce qu'elle touche le dernier point (ou segment) du polygone de contraintes. Ce point est la solution optimale.\n6. **Calcul des coordonnées du point optimal :** Si le point optimal est à l'intersection de deux droites de contraintes, résoudre le système d'équations formé par ces deux contraintes pour trouver les valeurs exactes de \\( x_1 \\) et \\( x_2 \\).\n7. **Calcul de la valeur optimale de la fonction objectif :** Substituer les valeurs de \\( x_1 \\) et \\( x_2 \\) trouvées dans la fonction objectif pour obtenir la valeur maximale (ou minimale) recherchée.\n\n## Vocabulaire\n* **Programmation Linéaire (PL) :** Technique mathématique pour optimiser une fonction linéaire sous des contraintes linéaires.\n* **Fonction objectif :** Équation linéaire à maximiser ou minimiser (ex: profit, coût).\n* **Variables de décision :** Quantités inconnues à déterminer (ex: quantités de produits à fabriquer).\n* **Contraintes :** Limitations imposées par les ressources, la capacité ou le marché.\n* **Zone des solutions admissibles (ou polygone de contraintes) :** L'ensemble de tous les points respectant toutes les contraintes. Chaque point de cette zone est une solution réalisable.\n* **Droite isoprofit / isocoût :** Droite représentant toutes les combinaisons de variables de décision qui donnent le même niveau de profit ou de coût.\n* **Point optimal :** Le point dans la zone des solutions admissibles qui maximise (ou minimise) la fonction objectif. Il se trouve toujours sur un sommet du polygone de contraintes.\n* **Méthode graphique :** Procédure visuelle de résolution d'un problème de PL avec deux variables.\n\n## Exemples\n\n### Exemple 1 : Optimisation du profit\nUne entreprise fabrique deux produits, A et B. Voici les informations pertinentes :\n* **Profit unitaire :** 4€ pour le produit A, 5€ pour le produit B.\n* **Ressource 1 (Matière première) :** Chaque unité de A nécessite 2 kg de MP, chaque unité de B nécessite 3 kg de MP. Disponible : 60 kg.\n* **Ressource 2 (Temps machine) :** Chaque unité de A nécessite 4 heures de temps machine, chaque unité de B nécessite 2 heures de temps machine. Disponible : 80 heures.\n\n**Objectif :** Maximiser le profit.\n\n**1. Formulation du problème :**\n* **Variables de décision :**\n * \\( x_1 \\) : nombre d'unités de produit A à produire.\n * \\( x_2 \\) : nombre d'unités de produit B à produire.\n* **Fonction objectif (Maximiser le Profit \\( P \\)) :**\n \\[ P = 4x_1 + 5x_2 \\\]\n* **Contraintes :**\n * Matière première : \\( 2x_1 + 3x_2 \\le 60 \\)\n * Temps machine : \\( 4x_1 + 2x_2 \\le 80 \\)\n * Non-négativité : \\( x_1 \\ge 0, x_2 \\ge 0 \\)\n\n**2. et 3. Représentation graphique des contraintes et détermination de la zone des solutions admissibles :**\n* **Contrainte 1 (Matière première) :** \\( 2x_1 + 3x_2 = 60 \\)\n * Si \\( x_1 = 0 \\), \\( 3x_2 = 60 \\Rightarrow x_2 = 20 \\) (Point (0,20))\n * Si \\( x_2 = 0 \\), \\( 2x_1 = 60 \\Rightarrow x_1 = 30 \\) (Point (30,0))\n * Tracer la droite reliant (0,20) et (30,0). La zone admissible est sous cette droite.\n* **Contrainte 2 (Temps machine) :** \\( 4x_1 + 2x_2 = 80 \\)\n * Si \\( x_1 = 0 \\), \\( 2x_2 = 80 \\Rightarrow x_2 = 40 \\) (Point (0,40))\n * Si \\( x_2 = 0 \\), \\( 4x_1 = 80 \\Rightarrow x_1 = 20 \\) (Point (20,0))\n * Tracer la droite reliant (0,40) et (20,0). La zone admissible est sous cette droite.\n* Les contraintes \\( x_1 \\ge 0 \\) et \\( x_2 \\ge 0 \\) limitent la zone au premier quadrant.\n * La zone des solutions admissibles est le polygone défini par les points (0,0), (20,0), l'intersection des deux droites de contraintes, et (0,20).\n\n**4. et 5. Représentation et recherche du point optimal de la fonction objectif :**\n* Prenons une droite isoprofit arbitraire, par exemple \\( P = 4x_1 + 5x_2 = 100 \\).\n * Si \\( x_1 = 0 \\), \\( 5x_2 = 100 \\Rightarrow x_2 = 20 \\)\n * Si \\( x_2 = 0 \\), \\( 4x_1 = 100 \\Rightarrow x_1 = 25 \\)\n* Tracer cette droite et la déplacer parallèlement vers l'extérieur du polygone. Le dernier point touché sera le sommet optimal.\n * En observant le graphique, le point optimal semble être l'intersection des deux contraintes.\n\n**6. Calcul des coordonnées du point optimal :**\nRésolvons le système d'équations :\n1. \\( 2x_1 + 3x_2 = 60 \\)\n2. \\( 4x_1 + 2x_2 = 80 \\) (peut être simplifié en \\( 2x_1 + x_2 = 40 \\))\n\nSoustrayons (2 simplifiée) de (1) :\n\\( (2x_1 + 3x_2) - (2x_1 + x_2) = 60 - 40 \\)\n\\( 2x_2 = 20 \\Rightarrow x_2 = 10 \\)\n\nSubstituons \\( x_2 = 10 \\) dans \\( 2x_1 + x_2 = 40 \\) :\n\\( 2x_1 + 10 = 40 \\)\n\\( 2x_1 = 30 \\Rightarrow x_1 = 15 \\)\n\nLe point optimal est (15, 10). L'entreprise doit produire 15 unités de produit A et 10 unités de produit B.\n\n**7. Calcul de la valeur optimale de la fonction objectif :**\nSubstituons \\( x_1 = 15 \\) et \\( x_2 = 10 \\) dans la fonction objectif :\n\\[ P = 4(15) + 5(10) = 60 + 50 = 110 \\\]\nLe profit maximal est de 110€.\n\n## Exercices\n\n**Exercice 1 :**\nUne pâtisserie fabrique deux types de gâteaux : un gâteau au chocolat (C) et un gâteau aux fruits (F). La production est limitée par la disponibilité de farine et de sucre.\n* **Marge unitaire :** 8€ pour C, 12€ pour F.\n* **Farine disponible :** 120 kg. C nécessite 3 kg, F nécessite 4 kg.\n* **Sucre disponible :** 80 kg. C nécessite 2 kg, F nécessite 1 kg.\n\n1. Formulez le programme linéaire (variables de décision, fonction objectif, contraintes).\n2. Utilisez la méthode graphique pour déterminer le nombre optimal de chaque gâteau à produire pour maximiser la marge.\n3. Calculez la marge maximale.\n\n## Devoir\n\n**Devoir 1 :**\nUn atelier de menuiserie fabrique des tables (T) et des chaises (S). La production est contrainte par le temps de travail pour la découpe et l'assemblage.\n* **Profit unitaire :** 30€ pour T, 20€ pour S.\n* **Temps de découpe disponible :** 120 heures. T nécessite 4 heures, S nécessite 2 heures.\n* **Temps d'assemblage disponible :** 90 heures. T nécessite 3 heures, S nécessite 3 heures.\n\n1. Formulez le problème de programmation linéaire.\n2. Résolvez-le graphiquement.\n3. Déterminez le profit maximal et la combinaison de production correspondante.\n\n## Résumé\nCette leçon nous a permis de découvrir l'importance de l'optimisation en production et comment la programmation linéaire peut nous aider à résoudre ces problèmes. Nous avons appris à :\n* Identifier les variables de décision, la fonction objectif et les contraintes d'un problème d'optimisation.\n* Formuler un modèle de programmation linéaire.\n* Appliquer la méthode graphique pour trouver la solution optimale pour des problèmes à deux variables.\n* Comprendre que la solution optimale se situe aux sommets du polygone des contraintes. \nLa programmation linéaire est un outil puissant pour prendre des décisions éclairées et améliorer la performance économique des entreprises. ## Modèle de Wilson : formulation mathématique de la gestion optimale des stocks ### Introduction La gestion des stocks est un enjeu majeur pour toute entreprise. Un stock trop important coûte cher (entreposage, dépréciation, etc.), tandis qu'un stock insuffisant peut entraîner des ruptures de production ou des pertes de ventes. L'objectif est de trouver l'équilibre parfait pour minimiser les coûts. C'est là qu'intervient le Modèle de Wilson, un outil mathématique qui nous aide à déterminer la quantité optimale à commander pour minimiser le coût total de gestion des stocks. ### Concepts Clés #### Les enjeux et coûts de la gestion des stocks La gestion des stocks implique plusieurs types de coûts : * **Coût de possession (ou de stockage) :** Coût lié au fait de détenir du stock (loyer de l'entrepôt, assurances, manutention, dépréciation, obsolescence, etc.). Il est généralement exprimé par unité et par période (par exemple, par an). * **Coût de lancement (ou de passation) d'une commande :** Coût lié à la préparation et au suivi d'une commande (salaires du personnel administratif, frais de téléphone, frais de transport si non inclus dans le prix d'achat, frais de réception, etc.). Ce coût est fixe pour chaque commande, quelle que soit la quantité commandée. * **Coût de rupture de stock :** Coût engendré par le fait de ne pas pouvoir satisfaire une demande (perte de vente, pénalités de retard, perte de fidélité client, arrêt de production). L'objectif du Modèle de Wilson est de **minimiser le coût total annuel de gestion des stocks**, en équilibrant les coûts de possession et les coûts de lancement. #### Le Modèle de Wilson (Quantité Économique de Commande - QEC) Le Modèle de Wilson, également connu sous le nom de Quantité Économique de Commande (QEC), est basé sur plusieurs hypothèses simplificatrices pour calculer la quantité de commande optimale : * La demande annuelle est connue et constante. * Le délai de livraison est connu et constant. * Le prix d'achat unitaire est constant (pas de réductions pour les grandes quantités). * Il n'y a pas de rupture de stock. **Les variables utilisées :** * \( D \) : Demande annuelle totale en unités. * \( C_L \) : Coût de lancement (ou de passation) d'une commande. * \( C_P \) : Coût de possession d'une unité en stock par an. * \( Q \) : Quantité commandée par lot (c'est ce que nous cherchons à optimiser). **Les formules clés :** 1. **Nombre de commandes par an (N) :** \[ N = \frac{D}{Q} \] 2. **Coût annuel de lancement des commandes (CLC) :** \[ CLC = N \times C_L = \frac{D}{Q} \times C_L \] 3. **Stock moyen (SM) :** En supposant que le stock diminue de manière linéaire entre deux livraisons et que la livraison est instantanée, le stock moyen est la moitié de la quantité commandée. \[ SM = \frac{Q}{2} \] 4. **Coût annuel de possession des stocks (CPS) :** \[ CPS = SM \times C_P = \frac{Q}{2} \times C_P \] 5. **Coût total annuel de gestion des stocks (CT) :** C'est la somme des coûts de lancement et de possession. \[ CT = CLC + CPS = \left( \frac{D}{Q} \times C_L \right) + \left( \frac{Q}{2} \times C_P \right) \] 6. **Formule de Wilson pour la Quantité Économique de Commande (QEC ou \( Q^* \)) :** Le QEC est la quantité \( Q \) qui minimise le coût total \( CT \). Cela se produit lorsque le coût de lancement est égal au coût de possession (\( CLC = CPS \)). La formule est la suivante : \[ Q^* = \sqrt{\frac{2 \times D \times C_L}{C_P}} \] #### Le point de commande Le **point de commande** est le niveau de stock qui, une fois atteint, déclenche le lancement d'une nouvelle commande. Il prend en compte le délai de livraison pour éviter la rupture de stock. **Formule simple du point de commande :** \[ \text{Point de commande} = \text{Consommation pendant le délai de livraison} \] Si la consommation journalière est \( C_J \) et le délai de livraison est \( DL \) (en jours) : \[ \text{Point de commande} = C_J \times DL \] ### Vocabulaire * **Stock :** Ensemble des biens et matières premières qu'une entreprise possède en attente d'être vendus ou utilisés. * **Gestion des stocks :** Ensemble des techniques et méthodes visant à optimiser les niveaux de stock pour minimiser les coûts tout en assurant la disponibilité des produits. * **Coût de possession :** Frais liés à la détention des stocks. * **Coût de lancement :** Frais liés au processus de passation et de réception d'une commande. * **Coût de rupture :** Perte occasionnée par l'absence d'un produit en stock lorsque celui-ci est demandé. * **Quantité Économique de Commande (QEC) :** Quantité de commande qui minimise le coût total de gestion des stocks selon le modèle de Wilson. * **Modèle de Wilson :** Modèle mathématique permettant de calculer la QEC. * **Point de commande :** Niveau de stock qui déclenche le lancement d'une nouvelle commande. * **Délai de livraison :** Temps écoulé entre le moment où une commande est passée et le moment où elle est reçue. * **Demande annuelle :** Quantité totale de biens ou services requis sur une année. ### Exemples Une entreprise vend 1 200 unités d'un produit par an (\( D = 1200 \)). Le coût de lancement d'une commande est de 50 € (\( C_L = 50 \)). Le coût de possession d'une unité en stock par an est de 10 € (\( C_P = 10 \)). La consommation journalière moyenne est de 5 unités. Le délai de livraison est de 4 jours. **1. Calcul de la QEC :** \[ Q^* = \sqrt{\frac{2 \times 1200 \times 50}{10}} = \sqrt{\frac{120000}{10}} = \sqrt{12000} \approx 109.54 \] On arrondit à la quantité la plus proche, par exemple \( Q^* = 110 \) unités. **2. Calcul du nombre de commandes par an (avec \( Q = 110 \)) :** \[ N = \frac{1200}{110} \approx 10.91 \] L'entreprise passera environ 11 commandes par an. **3. Calcul du coût annuel de lancement des commandes :** \[ CLC = 10.91 \times 50 = 545.50 \text{ €} \] **4. Calcul du coût annuel de possession des stocks :** \[ CPS = \frac{110}{2} \times 10 = 55 \times 10 = 550 \text{ €} \] *Notez que \( CLC \) et \( CPS \) sont très proches, confirmant que nous sommes près de l'optimum.* **5. Calcul du coût total annuel de gestion des stocks :** \[ CT = 545.50 + 550 = 1095.50 \text{ €} \] **6. Calcul du point de commande :** \[ \text{Point de commande} = 5 \text{ unités/jour} \times 4 \text{ jours} = 20 \text{ unités} \] Dès que le stock atteint 20 unités, une nouvelle commande doit être passée. ### Exercices Une entreprise de vente de matériel informatique prévoit une demande annuelle de 5 000 disques durs. Le coût de passation d'une commande est de 75 €. Le coût de possession annuel d'un disque dur en stock est de 15 €. La consommation moyenne est de 20 disques durs par jour. Le délai de livraison du fournisseur est de 5 jours. 1. Calculez la Quantité Économique de Commande (QEC). 2. Déterminez le nombre de commandes que l'entreprise devra passer par an. 3. Calculez le coût annuel de lancement des commandes. 4. Calculez le coût annuel de possession des stocks. 5. Quel est le coût total annuel de gestion des stocks ? 6. Déterminez le point de commande. ### Devoir à la maison 1. En reprenant les données de l'exercice précédent, calculez le coût total annuel si l'entreprise décidait de commander par lots de 200 disques durs au lieu de la QEC. Comparez ce coût avec celui obtenu en utilisant la QEC et commentez. 2. Recherchez et expliquez deux limites du Modèle de Wilson dans le contexte réel d'une entreprise. ### Résumé Le Modèle de Wilson est un outil fondamental en gestion des stocks qui permet de déterminer la **Quantité Économique de Commande (QEC)**. Son objectif est de minimiser le **coût total annuel de gestion des stocks** en trouvant l'équilibre entre le **coût de lancement des commandes** (qui diminue avec l'augmentation de la quantité commandée) et le **coût de possession des stocks** (qui augmente avec l'augmentation de la quantité commandée). La formule clé est \( Q^* = \sqrt{\frac{2 \times D \times C_L}{C_P}} \). En complément, le **point de commande** assure que les commandes sont déclenchées à temps pour éviter les ruptures de stock en prenant en compte le délai de livraison. Maîtriser ce modèle aide les entreprises à optimiser leur logistique et leur rentabilité. ## Budgétisation des approvisionnements (méthodes à période fixe, à période variable ou à lots constants) ### Introduction La gestion efficace des approvisionnements est cruciale pour toute entreprise. Elle permet de s'assurer que les matières premières et les produits sont disponibles quand ils le faut, tout en minimisant les coûts liés au stockage et aux ruptures. Dans cette leçon, nous allons explorer différentes méthodes de budgétisation des approvisionnements qui aident les entreprises à optimiser leurs décisions d'achat et de stockage. ### Concepts Clés #### Qu'est-ce que la budgétisation des approvisionnements ? La budgétisation des approvisionnements consiste à prévoir et à planifier les achats de biens et de services nécessaires à l'activité de l'entreprise. L'objectif est de concilier la satisfaction des besoins (éviter les ruptures) avec l'optimisation des coûts (achat, transport, stockage, passation de commande). Ses principaux objectifs sont : * Assurer la continuité de la production ou de la vente. * Minimiser les coûts de possession des stocks (coûts de stockage, d'assurance, d'obsolescence). * Minimiser les coûts de passation des commandes (frais administratifs, transport). * Éviter les ruptures de stock qui peuvent entraîner des pertes de ventes ou des retards de production. #### Les différentes méthodes de budgétisation des approvisionnements ##### Méthode à période fixe (ou réapprovisionnement calendaire) Cette méthode consiste à passer des commandes à des intervalles de temps réguliers et prédéfinis (par exemple, chaque semaine, chaque mois). La quantité commandée varie en fonction du niveau de stock disponible au moment de la commande et de la consommation prévue jusqu'à la prochaine commande. L'objectif est d'atteindre un niveau de stock cible après la livraison. * **Principe :** Fréquence de commande fixe, quantité commandée variable. * **Utilisation :** Produits à consommation relativement stable et prévisible. * **Calcul de la quantité à commander :** La quantité à commander \(Q\) est celle qui permet d'atteindre un niveau de stock maximal (ou cible) \(N_c\) après réception de la commande. \[ N_c = C_p + S_s \] Où : * \(N_c\) : Niveau de stock cible (ou maximal) à atteindre. * \(C_p\) : Consommation prévue pendant la période de réapprovisionnement (jusqu'à la prochaine commande). * \(S_s\) : Stock de sécurité (pour faire face aux imprévus). La quantité à commander est alors : \[ Q = N_c - S_d \] Où : * \(Q\) : Quantité à commander. * \(S_d\) : Stock disponible au moment de la commande. ##### Méthode à période variable (ou point de commande) Avec cette méthode, la commande est déclenchée uniquement lorsque le niveau de stock atteint un seuil prédéterminé, appelé le **point de commande**. La quantité commandée est généralement fixe et correspond souvent à la quantité économique de commande (QE). * **Principe :** Fréquence de commande variable, quantité commandée fixe. * **Utilisation :** Produits à consommation irrégulière ou pour lesquels une rupture de stock est très coûteuse. * **Calcul du point de commande (PC) :** Le point de commande doit couvrir la consommation pendant le délai de livraison et le stock de sécurité. \[ PC = (C_j imes DL) + S_s \] Où : * \(PC\) : Point de commande. * \(C_j\) : Consommation journalière moyenne. * \(DL\) : Délai de livraison (en jours). * \(S_s\) : Stock de sécurité. Dès que le stock physique atteint ou descend en dessous du \(PC\), une commande de quantité fixe est passée. ##### Méthode à lots constants (ou quantité économique de commande - QE) Cette méthode vise à déterminer la quantité optimale à commander pour minimiser les coûts totaux de gestion des stocks, c'est-à-dire la somme des coûts de passation des commandes et des coûts de possession des stocks. La quantité commandée (QE) est fixe, mais la fréquence des commandes varie. Elle est basée sur la formule de Wilson (ou de Camp). * **Principe :** Quantité de commande fixe et optimale (QE), fréquence de commande variable. * **Utilisation :** Produits dont les coûts de passation et de possession sont significatifs et bien identifiés. * **Formule de Wilson (Quantité Économique de Commande - QE) :** \[ QE = \sqrt{\frac{2 \times C \times F}{P \times t}} \] Où : * \(QE\) : Quantité économique à commander (en unités). * \(C\) : Consommation annuelle (en unités). * \(F\) : Coût de passation d'une commande (en euros par commande). * \(P\) : Prix d'achat unitaire (en euros par unité). * \(t\) : Taux de possession du stock (en % du prix d'achat, par an). * **Coût total de gestion des stocks (CT) :** \[ CT = \left( \frac{C}{QE} \times F \right) + \left( \frac{QE}{2} \times P \times t \right) \] Où : * \(\frac{C}{QE} \times F\) : Coût annuel de passation des commandes. * \(\frac{QE}{2} \times P \times t\) : Coût annuel de possession du stock moyen (\(\frac{QE}{2}\) représente le stock moyen). ### Vocabulaire * **Approvisionnement :** L'acte d'acheter, de recevoir et de stocker les marchandises et les services nécessaires au fonctionnement d'une entreprise. * **Budget d'approvisionnement :** Prévision des dépenses et des quantités d'achats pour une période donnée. * **Stock de sécurité :** Niveau de stock supplémentaire maintenu pour faire face aux incertitudes de la demande ou des délais de livraison. * **Délai de livraison :** Temps écoulé entre le passage d'une commande et sa réception. * **Point de commande :** Niveau de stock qui déclenche le passage d'une nouvelle commande. * **Coût de passation d'une commande :** Ensemble des frais engagés pour passer une commande (frais administratifs, de transport, etc.). * **Coût de possession d'un stock :** Ensemble des frais liés au fait de détenir un stock (loyer de l'entrepôt, assurance, manutention, obsolescence, coût du capital immobilisé). * **Quantité économique de commande (QE) :** Quantité de commande qui minimise le coût total de gestion des stocks. * **Rupture de stock :** Situation où l'entreprise n'a plus de marchandises en stock pour satisfaire la demande. ### Exemples #### Exemple 1 : Méthode à période fixe Une entreprise commande des composants électroniques tous les 15 jours. La consommation prévue pour les 15 prochains jours est de 500 unités. Le stock de sécurité est de 100 unités. Actuellement, le stock disponible est de 250 unités. 1. **Calcul du niveau cible (maximal) :** \(N_c = C_p + S_s = 500 + 100 = 600\) unités. 2. **Calcul de la quantité à commander :** \(Q = N_c - S_d = 600 - 250 = 350\) unités. L'entreprise doit commander 350 unités. #### Exemple 2 : Méthode à période variable (Point de commande) Une usine utilise en moyenne 200 kg de matière première par jour. Le délai de livraison du fournisseur est de 5 jours. L'entreprise souhaite maintenir un stock de sécurité de 400 kg. 1. **Calcul du point de commande :** \(PC = (C_j \times DL) + S_s = (200 \text{ kg/jour} \times 5 \text{ jours}) + 400 \text{ kg} = 1000 \text{ kg} + 400 \text{ kg} = 1400 \text{ kg}\) Dès que le stock de matière première atteint 1400 kg, l'entreprise doit passer une nouvelle commande. #### Exemple 3 : Méthode à lots constants (Quantité Économique de Commande - QE) Une entreprise a une consommation annuelle (C) de 10 000 unités d'un produit. Le coût de passation d'une commande (F) est de 80 €. Le prix d'achat unitaire (P) du produit est de 15 €. Le taux de possession du stock (t) est de 20 % par an. 1. **Calcul de la Quantité Économique de Commande (QE) :** \[ QE = \sqrt{\frac{2 \times 10000 \times 80}{15 \times 0.20}} \] \[ QE = \sqrt{\frac{1600000}{3}} \] \[ QE \approx \sqrt{533333.33} \approx 730.29 \text{ unités} \] L'entreprise devrait commander des lots de 730 unités (arrondi). 2. **Calcul du nombre de commandes par an :** Nombre de commandes \(= C / QE = 10000 / 730 \approx 13.7 \) commandes. Soit environ 14 commandes par an. 3. **Calcul du coût total de gestion des stocks :** Coût de passation \(= (10000 / 730) \times 80 \approx 13.7 \times 80 \approx 1096 \text{ €}\) Coût de possession \(= (730 / 2) \times 15 \times 0.20 = 365 \times 3 = 1095 \text{ €}\) \(CT = 1096 + 1095 = 2191 \text{ €}\) Le coût total annuel de gestion des stocks est d'environ 2191 €. ### Exercices 1. **Exercice (Période fixe) :** Une librairie commande des romans toutes les deux semaines. La demande prévue pour les 15 prochains jours est de 300 livres. Le stock de sécurité est de 50 livres. Le stock actuel est de 120 livres. Quelle quantité de livres doit être commandée ? 2. **Exercice (Point de commande) :** Une quincaillerie vend en moyenne 150 boulons par jour. Le délai de livraison de son fournisseur est de 4 jours. Pour prévenir les imprévus, elle souhaite un stock de sécurité de 200 boulons. À quel niveau de stock doit-elle déclencher une commande ? 3. **Exercice (QE) :** Un fabricant de meubles consomme annuellement 5 000 planches de bois. Le coût de passation d'une commande est de 50 €. Le prix d'achat d'une planche est de 10 €. Le taux de possession du stock est de 15 % par an. Calculez la Quantité Économique de Commande (QE) et le coût total de gestion des stocks. ### Devoirs 1. Comparez les avantages et les inconvénients de la méthode à période fixe et de la méthode à période variable. Dans quelles situations une entreprise devrait-elle privilégier l'une plutôt que l'autre ? 2. Une entreprise envisage d'utiliser la formule de Wilson pour gérer ses stocks. La consommation annuelle d'un article est de 12 000 unités. Le coût de passation d'une commande est de 75 €. Le prix unitaire est de 25 €. Le taux de possession du stock est de 18 %. Suite à des augmentations de coûts, le coût de passation d'une commande passe à 90 € et le taux de possession à 20 %. Recalculez la QE et le coût total de gestion des stocks pour les deux scénarios. Analysez l'impact de ces changements sur la politique d'approvisionnement de l'entreprise. 3. Expliquez l'importance du stock de sécurité dans la budgétisation des approvisionnements. Quels sont les risques d'un stock de sécurité trop faible ou trop élevé ? ### Résumé La budgétisation des approvisionnements est une fonction essentielle pour la bonne marche d'une entreprise. Nous avons étudié trois méthodes principales : * La **méthode à période fixe** (ou réapprovisionnement calendaire) où les commandes sont passées à intervalles réguliers, la quantité variant selon le besoin. * La **méthode à période variable** (ou point de commande) où une commande de quantité fixe est déclenchée lorsque le stock atteint un seuil prédéterminé. * La **méthode à lots constants** (ou QE) qui utilise la formule de Wilson pour déterminer la quantité optimale à commander afin de minimiser les coûts de passation et de possession. Chacune de ces méthodes a ses avantages et est plus adaptée à certaines situations que d'autres, en fonction de la nature des produits, de la régularité de la demande et de la structure des coûts. L'objectif commun est toujours d'optimiser les flux d'approvisionnement pour assurer la production tout en maîtrisant les coûts.