Les systèmes de numération (binaire, hexadécimal)

## Objectifs et prérequis **Objectifs** : À la fin de ce chapitre, l’élève sera capable de : 1. Définir précisément les systèmes de numération binaire et hexadécimal et expliquer leur rôle en informatique. 2. Convertir un nombre entier positif ou négatif du système décimal vers le binaire et l’hexadécimal, et inversement, en maîtrisant les méthodes de division successive, de reste et de regroupement de bits. 3. Réaliser les opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, multiplication, division) directement en binaire et en hexadécimal, en justifiant chaque étape. 4. Utiliser la représentation en complément à deux pour les nombres négatifs en binaire et expliquer son intérêt pour le traitement des entiers dans les processeurs. 5. Effectuer les conversions binaire ↔ hexadécimal en regroupant les bits par paquets de quatre, et expliquer pourquoi cette correspondance est fondamentale en programmation bas niveau. 6. Identifier et éviter les erreurs fréquentes liées aux conversions et aux retenues. 7. Résoudre des problèmes typiques du Probatoire camerounais (sujets de type BAC) en montrant clairement le raisonnement et les calculs. **Prérequis** : L’élève doit maîtriser : - Le système de numération décimal (base 10) et la notion de valeur positionnelle. - Les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication et de division entières en base 10. - La notion de puissance d’un entier (notamment $2^n$ et $16^n$). - La lecture et l’écriture de nombres entiers positifs. - La manipulation de tableaux simples (pour organiser les restes lors des conversions). --- ## Introduction contextualisée Depuis l’apparition des premiers ordinateurs électroniques dans les années 1940, la représentation interne de l’information repose sur des états physiques binaires : un transistor est soit conducteur (état 1) soit non conducteur (état 0). Cette dualité a naturellement conduit à l’adoption du **système de numération binaire** (base 2) comme langage fondamental des machines. Toutefois, écrire de longues suites de 0 et de 1 est fastidieux pour l’humain ; on a donc introduit le **système hexadécimal** (base 16) qui permet de regrouper quatre bits binaires en un seul symbole (0‑9, A‑F). Cette correspondance est exploitée partout : adresses mémoire, codes couleur HTML/CSS, représentation des instructions machine, etc. Au Cameroun, le programme officiel du Probatoire (série C, A1‑A5, D, E, TI) insiste sur la maîtrise de ces deux systèmes parce qu’ils constituent la base de la compréhension de l’architecture des ordinateurs, de la programmation basse niveau et de la logique numérique. Ce chapitre propose donc une étude approfondie, avec démonstrations, exemples détaillés et exercices corrigés, afin que l’élève puisse travailler en autonomie et se préparer efficacement à l’examen. --- ## I. Système de numération binaire ### 1. Définition et principe > **Définition** : Un système de numération de base $b$ représente tout entier positif $N$ comme une somme de puissances de $b$ : > $$ N = a_k b^{k} + a_{k-1} b^{k-1} + \dots + a_1 b^{1} + a_0 b^{0}, \qquad 0 \le a_i < b $$ > Les coefficients $a_i$ sont appelés **chiffres** du nombre dans la base $b$. En base 2, les seuls chiffres possibles sont $0$ et $1$. Chaque chiffre s’appelle un **bit** (contraction de *binary digit*). La valeur d’un bit dépend de sa position : le bit de poids faible (le plus à droite) correspond à $2^{0}=1$, le suivant à $2^{1}=2$, puis $2^{2}=4$, etc. > **À retenir** : La valeur d’un nombre binaire $a_k a_{k-1}\dots a_0$ (lu de gauche à droite) est > $$ \displaystyle \sum_{i=0}^{k} a_i \, 2^{i}. $$ ### 2. Propriétés fondamentales - **Unicité de la représentation** : Tout entier positif possède une représentation binaire unique (si l’on interdit les zéros non significatifs à gauche). - **Relation avec les puissances de deux** : Un nombre binaire composé d’un seul $1$ suivi de $n$ zéros vaut exactement $2^{n}$. - **Parité** : Le bit de poids faible détermine la parité : si il vaut $0$, le nombre est pair ; s’il vaut $1$, le nombre est impair. ### 3. Conversion décimal → binaire #### Méthode des divisions successives Pour convertir un entier décimal $N$ en binaire, on divise successivement $N$ par $2$ en conservant le reste à chaque étape. Les restes, lus de bas en haut (du dernier obtenu au premier), forment la représentation binaire. > **À retenir** : Si $N = 2q + r$ avec $r\in\{0,1\}$, alors le bit de poids faible de $N$ en binaire est $r$, et le reste du nombre à convertir est $q$. #### Exemple 1 – Conversion simple Convertir $N=57_{10}$ en binaire. | Étape | $N$ | $q = \left\lfloor N/2 \right\rfloor$ | $r = N \bmod 2$ | |------|-----|--------------------------------------|-----------------| | 1 | 57 | 28 | 1 | | 2 | 28 | 14 | 0 | | 3 | 14 | 7 | 0 | | 4 | 7 | 3 | 1 | | 5 | 3 | 1 | 1 | | 6 | 1 | 0 | 1 | Lecture des restes de bas en haut : $111001_{2}$. Vérification : $1\cdot2^{5}+1\cdot2^{4}+1\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+0\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=32+16+8+0+0+1=57$. #### Exemple 2 – Conversion avec zéro initial Convertir $N=0_{10}$ en binaire. La méthode donne immédiatement un quotient $0$ et un reste $0$ ; la représentation est donc $0_{2}$ (on ne garde qu’un seul zéro pour éviter l’ambiguïté). ### 4. Conversion binaire → décimal On applique directement la définition : chaque bit multiplié par la puissance de deux correspondant à sa position, puis on somme. #### Exemple 3 Convertir $101101_{2}$ en décimal. Positions (de droite à gauche, commençant à 0) : - bit 0 : $1 \times 2^{0}=1$ - bit 1 : $0 \times 2^{1}=0$ - bit 2 : $1 \times 2^{2}=4$ - bit 3 : $1 \times 2^{3}=8$ - bit 4 : $0 \times 2^{4}=0$ - bit 5 : $1 \times 2^{5}=32$ Somme : $1+0+4+8+0+32 = 45$. Donc $101101_{2}=45_{10}$. ### 5. Opérations arithmétiques en binaire Les règles sont identiques à celles du décimal, mais la base est $2$ ; donc une retenue apparaît lorsque la somme d’une colonne dépasse $1$. #### Addition Explication pas à pas (exemple $1011_{2}+1101_{2}$) : - Colonne 0 (poids faible) : $1+1=0$ avec retenue $1$. - Colonne 1 : $1+0+1_{\text{retenue}}=0$ avec retenue $1$. - Colonne 2 : $0+1+1_{\text{retenue}}=0$ avec retenue $1$. - Colonne 3 : $1+1+1_{\text{retenue}}=1$ avec retenue $1$. - Colonne 4 (reste de la retenue) : $1$. Résultat : $11000_{2}$ (vérif. déc. : $11+13=24$ → $11000_{2}=24_{10}$). #### Soustraction (méthode du complément à deux) > **À retenir** : Le complément à deux d’un nombre binaire $x$ sur $n$ bits est obtenu en : > 1. Inversant tous les bits (complément à un). > 2. Ajoutant $1$ au résultat. Le complément à deux de $x$ représente $-x$ dans un registre de $n$ bits (en supposant un encodage signé). #### Exemple 4 – Soustraction $1010_{2}-0110_{2}$ 1. Complément à deux de $0110_{2}$ sur 4 bits : - Inversion : $1001$ - Ajout de $1$ : $1010$ 2. Addition : $1010 + 1010 = 1\,0100$ (on garde seulement les 4 bits de poids faible → $0100$). 3. Résultat : $0100_{2}=4_{10}$, ce qui correspond bien à $10-6=4$. #### Multiplication La multiplication binaire ressemble à celle du décimal : on effectue des décalages (équivalents à des multiplications par $2$) et on additionne les parties partielles. #### Exemple 5 – $101_{2}\times 11_{2}$ ``` 101 × 11 ----- 101 (101 × 1) + 1010 (101 × 1, décalé d’un rang) ----- 1111 ``` Résultat : $1111_{2}=15_{10}$ (vérif. : $5\times3=15$). #### Division On utilise l’algorithme de soustraction successive similaire à la division décimale, mais en base 2. #### Exemple 6 – $11000_{2} \div 10_{2}$ $11000_{2}=24_{10}$, $10_{2}=2_{10}$. Le quotient attendu est $12_{10}=1100_{2}$. On effectue la division bit à bit : - On prend les deux premiers bits du dividende : $11$ (3 en décimal) ≥ $10$ → on écrit $1$ dans le quotient, on soustrait $10$ → reste $1$. - On abaisse le prochain bit → $10$ (2) ≥ $10$ → quotient bit $1$, soustraction $10$ → reste $0$. - On abaisse le prochain bit → $00$ (0) < $10$ → quotient bit $0$. - On abaisse le dernier bit → $00$ (0) < $10$ → quotient bit $0$. Quotient : $1100_{2}$, reste $0$. ### 6. Représentation des nombres négatifs – complément à deux Dans les processeurs, les entiers sont stockés sur un nombre fixe de bits (souvent 8, 16, 32 ou 64). Pour représenter les négatifs, on utilise le **complément à deux** : > **À retenir** : Pour un entier signé sur $n$ bits, la valeur du bit de poids fort (bit de signe) vaut $-2^{n-1}$ au lieu de $+2^{n-1}$. La valeur totale est donc > $$ -a_{n-1}2^{n-1} + \sum_{i=0}^{n-2} a_i 2^{i}. $$ #### Exemple 7 – Complément à deux de $-5$ sur 8 bits 1. Représentation de $+5$ : $00000101_{2}$. 2. Inversion des bits : $11111010_{2}$. 3. Ajout de $1$ : $11111011_{2}$. Vérification : le bit de poids fort vaut $-2^{7}=-128$ ; les autres bits donnent $+64+32+8+2+1=107$ ; somme $-128+64+32+16+8+0+2+1 = -5$. Correct. --- ## II. Système de numération hexadécimal ### 1. Définition et principe > **Définition** : En base $16$, les chiffres autorisés sont $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F$, où $A=10$, $B=11$, $C=12$, $D=13$, $E=14$, $F=15$ en décimal. Un nombre hexadécimal $h_k h_{k-1}\dots h_0$ vaut $$ \displaystyle \sum_{i=0}^{k} h_i \, 16^{i}. $$ Chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à un groupe de **quatre bits** binaires, car $2^{4}=16$. Cette propriété rend la conversion binaire ↔ hexadécimal triviale. > **À retenir** : La table de correspondance binaire ↔ hexadécimal est : | Hex | Binaire (4 bits) | |-----|------------------| | 0 | 0000 | | 1 | 0001 | | 2 | 0010 | | 3 | 0011 | | 4 | 0100 | | 5 | 0101 | | 6 | 0110 | | 7 | 0111 | | 8 | 1000 | | 9 | 1001 | | A | 1010 | | B | 1011 | | C | 1100 | | D | 1101 | | E | 1110 | | F | 1111 | ### 2. Conversion décimal → hexadécimal On utilise la même méthode des divisions successives, mais en divisant par $16$ au lieu de $2$. Les restes (0‑15) sont ensuite traduits en symboles hexadécimaux. #### Exemple 8 – Convertir $2023_{10}$ en hexadécimal | Étape | $N$ | $q = \left\lfloor N/16 \right\rfloor$ | $r = N \bmod 16$ | Symbole | |------|-----|----------------------------------------|------------------|---------| | 1 | 2023| 126 | 7 | 7 | | 2 | 126 | 7 | 14 | E | | 3 | 7 | 0 | 7 | 7 | Lecture des restes de bas en haut : $7E7_{16}$. Vérification : $7\cdot16^{2}+14\cdot16^{1}+7\cdot16^{0}=7\cdot256+14\cdot16+7=1792+224+7=2023$. #### Exemple 9 – Convertir $0_{10}$ en hexadécimal Résultat immédiat : $0_{16}$. ### 3. Conversion hexadécimal → décimal On applique la définition directe. #### Exemple 10 – Convertir $3F_{A}_{16}$ en décimal Positions : - $A$ (poids faible) : $10 \times 16^{0}=10$ - $F$ : $15 \times 16^{1}=240$ - $3$ : $3 \times 16^{2}=3 \times 256=768$ Somme : $10+240+768=1018$. Donc $3FA_{16}=1018_{10}$. ### 4. Conversion binaire ↔ hexadécimal Comme chaque groupe de quatre bits vaut un chiffre hexadécimal, on partitionne la chaîne binaire en blocs de quatre à partir de la droite (ajoutant des zéros à gauche si nécessaire). #### Exemple 11 – Convertir $110101101011_{2}$ en hexadécimal Partitionnement : $1101\;0110\;1011$ - $1101_{2}=D_{16}$ - $0110_{2}=6_{16}$ - $1011_{2}=B_{16}$ Résultat : $D6B_{16}$. Vérification décimale : $D6B_{16}=13\cdot16^{2}+6\cdot16^{1}+11=13\cdot256+96+11=3328+96+11=3435$. Conversion directe du binaire : $1\cdot2^{11}+1\cdot2^{10}+0\cdot2^{9}+1\cdot2^{8}+0\cdot2^{7}+1\cdot2^{6}+0\cdot2^{5}+1\cdot2^{4}+0\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=2048+1024+0+256+0+64+0+16+0+4+2+1=3435$. Concordance. #### Exemple 12 – Convertir $7C_{16}$ en binaire $7_{16}=0111_{2}$, $C_{16}=1100_{2}$ → $0111\;1100_{2}=1111100_{2}$ (on peut supprimer le zéro de tête non significatif). ### 5. Opérations arithmétiques en hexadécimal Les règles sont identiques à celles du décimal, mais la base est $16$ ; une retenue apparaît lorsque la somme d’une colonne dépasse $15$ (c’est‑à‑dire $F$). #### Addition Exemple : $1A3_{16}+2F7_{16}$ | | 1 | A | 3 | |---|---|---|---| | + | 2 | F | 7 | |---|---|---|---| | | | | | - Colonne 0 : $3+7= A$ (10) → écrit $A$, retenue $0$ (car $10<16$). - Colonne 1 : $A+F = 10+15=25$. $25-16=9$ avec retenue $1$. - Colonne 2 : $1+2+1_{\text{retenue}}=4$. Résultat : $49A_{16}$. Vérification décimale : $1A3_{16}=419$, $2F7_{16}=759$, somme $=1178$. $49A_{16}=4\cdot256+9\cdot16+10=1024+144+10=1178$. #### Soustraction (via complément à deux) On peut aussi convertir en binaire, faire le complément à deux, puis revenir en hexadécimal, mais il est plus simple d’utiliser la méthode des emprunts en base 16. Exemple : $5F_{16}-2C_{16}$ - Colonne 0 : $F-C = 15-12=3$ (pas d’emprunt). - Colonne 1 : $5-2=3$. Résultat : $33_{16}=51_{10}$ (vérif. : $95-44=51$). Si un emprunt est nécessaire, on emprunte $16$ (comme on emprunte $10$ en décimal). Exemple : $20_{16}-15_{16}$ - Colonne 0 : $0-5$ impossible → emprunter $1$ de la colonne de poids $16$ : la colonne de poids $16$ passe de $2$ à $1$, et la colonne des unités devient $0+16=16$. - Maintenant $16-5 = B$ (11). - Colonne de poids $16$ : $1-1=0$. Résultat : $0B_{16}=B_{16}=11_{10}$ (vérif. : $32-21=11$). #### Multiplication et division On peut effectuer ces opérations en convertissant temporairement en décimal ou en binaire, mais il est aussi possible de les faire directement en hexadécimal en utilisant les tables de multiplication de base 16 (peu utilisées en pratique). Pour le Probatoire, il suffit de savoir que l’on peut convertir, opérer, puis reconvertir. --- ## III. Conversions entre systèmes et applications ### 1. Conversion binaire ↔ octal (rappel utile) Bien que non explicitement demandé, l’octal (base 8) apparaît souvent dans les anciens systèmes et facilite la lecture de groupes de trois bits ($2^{3}=8$). > **À retenir** : Pour passer du binaire à l’octal, on regroupe les bits par paquets de trois à partir de la droite (ajoutant des zéros à gauche si nécessaire). Chaque triplet se traduit directement en un chiffre octal (0‑7). #### Exemple 13 – $101100111_{2}$ en octal Groupes : $101\;100\;111$ → $5\;4\;7$ → $547_{8}$. Vérification : $5\cdot8^{2}+4\cdot8^{1}+7=5\cdot64+32+7=320+32+7=359_{10}$. Conversion directe du binaire : $1\cdot2^{8}+0\cdot2^{7}+1\cdot2^{6}+1\cdot2^{5}+0\cdot2^{4}+0\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=256+0+64+32+0+0+4+2+1=359$. ### 2. Utilisation en informatique - **Adresses mémoire** : Sur une machine 32 bits, une adresse est représentée par un nombre hexadécimal de 8 chiffres (ex. $0x00AF3C20$). - **Couleurs HTML/CSS** : Une couleur est codée par trois octets (rouge, vert, bleu) → notation hexadécimale `#RRGGBB` (ex. `#FF5733`). - **Codes ASCII/Unicode** : Chaque caractère possède un code décimal qui se traduit facilement en hexadécimal (ex. `'A'` = $65_{10}=0x41$). - **Représentation des entiers signés** : Le complément à deux permet d’effectuer des soustractions par simple addition, ce qui est implémenté directement dans l’ALU (Arithmetic Logic Unit) des processeurs. ### 3. Exemple d’application complète **Problème** : Un microcontrôleur possède une registre de 16 bits. On veut y stocker la valeur $-1234_{10}$. Déterminer la représentation hexadécimale du contenu du registre après écriture. **Étapes** : 1. Convertir $+1234_{10}$ en hexadécimal. - $1234 ÷ 16 = 77$ reste $2$ → $2$ - $77 ÷ 16 = 4$ reste $13$ → $D$ - $4 ÷ 16 = 0$ reste $4$ → $4$ → $+1234_{10}=0x04D2$. 2. Représenter sur 16 bits : $0x04D2 = 0000\;0100\;1101\;0010_{2}$. 3. Complément à deux pour obtenir $-1234$ : - Inversion des bits : $1111\;1011\;0010\;1101_{2}$ - Ajout de $1$ : $1111\;1011\;0010\;1110_{2}$ 4. Regrouper par quatre bits pour obtenir l’hexadécimal : - $1111\;1011\;0010\;1110_{2}=F\;B\;2\;E_{16}$ **Résultat** : Le registre contient $0xFB2E$. Vérification rapide : interpréter $0xFB2E$ comme signé sur 16 bits → bit de poids fort $1$ → valeur négative. Valeur magnitude = complément à deux de $0xFB2E$ : - Inversion : $0x04D1$ - +1 → $0x04D2 = 1234_{10}$ Donc valeur = $-1234_{10}$, conforme. --- ## IV. Synthèse du chapitre - **Système binaire (base 2)** : chiffres $0,1$ ; valeur $=\sum a_i2^{i}$. - **Conversion décimal↔binaire** : divisions successives par $2$ (reste = bit de poids faible). - **Opérations binaires** : mêmes règles que décimal, retenue lorsqu’une colonne dépasse $1$. - **Complément à deux** : représentation des négatifs sur $n$ bits ; bit de poids fort vaut $-2^{n-1}$. - **Système hexadécimal (base 16)** : chiffres $0-9,A-F$ ; valeur $=\sum h_i16^{i}$. - **Conversion décimal↔hexadécimal** : divisions successives par $16$ (reste = chiffre hexadécimal). - **Conversion binaire↔hexadécimal** : regroupement de bits par paquets de quatre (chaque paquet = un chiffre hexadécimal). - **Opérations hexadécimales** : mêmes règles que décimal, retenue lorsqu’une colonne dépasse $F$ (15). - **Applications** : adresses mémoire, couleurs HTML, codes ASCII, représentation des entiers signés. - **Relation binaire‑octal** : regroupement par trois bits (utile pour rappel). --- ## V. Glossaire | Terme | Définition | |-------|------------| | **Bit** | Chiffre binaire, soit $0$ soit $1$. | | **Base** | Nombre de chiffres différents utilisés dans un système de numération (ex. $2$ pour binaire, $16$ pour hexadécimal). | | **Valeur positionnelle** | Valeur d’un chiffre dépendant de sa rangée : $a_i \times base^{i}$, où $a_i$ est le chiffre et $i$ la position à partir de la droite (poids faible). | | **Complément à deux** | Méthode de représentation des entiers négatifs en binaire : inversion des bits + $1$. | | **Retenue** | Valeur reportée à la colonne supérieure lorsqu’une somme dépasse la base‑1. | | **Chiffre hexadécimal** | Symbole parmi $0-9,A-F$ représentant une valeur de $0$ à $15$. | | **Octet** | Groupe de $8$ bits, souvent représenté par deux chiffres hexadécimaux. | | **MSB** | *Most Significant Bit* – bit de poids fort (à gauche). | | **LSB** | *Least Significant Bit* – bit de poids faible (à droite). | | **Word** | Mot machine, taille naturelle d’un registre (souvent $16$, $32$ ou $64$ bits). | | **ASCII** | Code américain d’échange d’information inter‑systèmes, attribue un numéro de $0$ à $127$ à chaque caractère. | | **Unicode** | Norme universelle de codage des caractères, utilisant jusqu’à $4$ octets par caractère. | | **Registre** | Petite zone de mémoire très rapide située dans le processeur, utilisée pour tenir des opérandes et des résultats. | | **ALU** | *Arithmetic Logic Unit* – unité du processeur qui effectue les opérations arithmétiques et logiques. | | **Microcontrôleur** | Circuit intégré contenant un processeur, de la mémoire et des périphériques, destiné à des systèmes embarqués. | --- ## VI. Erreurs fréquentes 1. **Oublier d’ajouter des zéros de tête lors du regroupement** - *Piège* : Lors de la conversion binaire→hexadécimal, oublier de compléter le groupe de gauche avec des zéros peut produire un chiffre erroné. - *Solution* : Toujours partir de la droite et ajouter des zéros à gauche jusqu’à ce que le nombre de bits soit un multiple de $4$ (ou $3$ pour l’octal). 2. **Confondre le reste et le quotient lors de la conversion décimal→binaire** - *Piège* : Écrire les restes dans l’ordre de la division (de haut en bas) au lieu de les lire de bas en haut. - *Solution* : Se rappeler que le premier reste obtenu correspond au bit de poids faible ; il faut donc inverser la liste. 3. **Mauvais maniement du complément à deux (oubli du +1)** - *Piège* : Inverser les bits seulement et croire que le résultat représente le négatif. - *Solution* : Rappeler la règle complète : inversion **puis** ajout de $1$. Vérifier en reconvertissant le résultat en positif pour s’assurer de la valeur absolue. 4. **Erreur de retenue en addition hexadécimale** - *Piège* : Oublier de reporter le retenue lorsque la somme d’une colonne dépasse $F$ (15). - *Solution* : Travailler colonne par colonne, soustraire $16$ chaque fois que la somme ≥ $16$, et reporter le nombre de fois où l’on a soustrait $16$ (soit $0$ ou $1$ dans le cas d’une addition de deux chiffres). 5. **Mauvaise interprétation du bit de signe dans un nombre signé** - *Piège* : Lire le bit de poids fort comme un simple poids positif $2^{n-1}$ alors qu’il vaut $-2^{n-1}$ en complément à deux. - *Solution* : Toujours vérifier si le nombre est signé ; si oui, appliquer la formule $-a_{n-1}2^{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}a_i2^{i}$. 6. **Confusion entre octal et hexadécimal lors du regroupement** - *Piège* : Regrouper les bits par trois alors qu’on cherche l’hexadécimal, ou vice‑versa. - *Solution* : Rappeler que $2^{3}=8$ (octal) → groupes de trois bits ; $2^{4}=16$ (hexadécimal) → groupes de quatre bits. --- ## VII. Exercices d'application corrigés ### Exercice 1 – Conversion décimal → binaire **Convertir** $N=135_{10}$ en binaire. **Corrigé** : | Étape | $N$ | $q=\left\lfloor N/2\right\rfloor$ | $r=N\bmod 2$ | |------|-----|-----------------------------------|--------------| | 1 | 135 | 67 | 1 | | 2 | 67 | 33 | 1 | | 3 | 33 | 16 | 1 | | 4 | 16 | 8 | 0 | | 5 | 8 | 4 | 0 | | 6 | 4 | 2 | 0 | | 7 | 2 | 1 | 0 | | 8 | 1 | 0 | 1 | Lecture des restes de bas en haut : $10000111_{2}$. Vérification : $1\cdot2^{7}+0\cdot2^{6}+0\cdot2^{5}+0\cdot2^{4}+0\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=128+0+0+0+0+4+2+1=135$. **Réponse** : $135_{10}=10000111_{2}$. --- ### Exercice 2 – Conversion binaire → décimal **Convertir** $B=1101011_{2}$ en décimal. **Corrigé** : Positions (de droite à gauche, commençant à 0) : - $b_0=1 \times 2^{0}=1$ - $b_1=1 \times 2^{1}=2$ - $b_2=0 \times 2^{2}=0$ - $b_3=1 \times 2^{3}=8$ - $b_4=0 \times 2^{4}=0$ - $b_5=1 \times 2^{5}=32$ - $b_6=1 \times 2^{6}=64$ Somme : $1+2+0+8+0+32+64=107$. **Réponse** : $1101011_{2}=107_{10}$. --- ### Exercice 3 – Conversion décimal → hexadécimal **Convertir** $N=2025_{10}$ en hexadécimal. **Corrigé** : | Étape | $N$ | $q=\left\lfloor N/16\right\rfloor$ | $r=N\bmod 16$ | Symbole | |------|-----|------------------------------------|---------------|---------| | 1 | 2025| 126 | 9 | 9 | | 2 | 126 | 7 | 14 | E | | 3 | 7 | 0 | 7 | 7 | Lecture de bas en haut : $7E9_{16}$. Vérification : $7\cdot16^{2}+14\cdot16^{1}+9=7\cdot256+224+9=1792+224+9=2025$. **Réponse** : $2025_{10}=7E9_{16}$. --- ### Exercice 4 – Conversion hexadécimal → binaire **Convertir** $H=3F4_{16}$ en binaire. **Corrigé** : - $3_{16}=0011_{2}$ - $F_{16}=1111_{2}$ - $4_{16}=0100_{2}$ Regroupement : $0011\;1111\;0100_{2}=1111110100_{2}$ (on peut supprimer le zéro de tête non significatif). **Réponse** : $3F4_{16}=1111110100_{2}$. --- ### Exercice 5 – Addition binaire avec retenue **Calculer** $10110_{2}+1101_{2}$. **Corrigé** : On aligne à droite : ``` 10110 + 01101 --------- ``` Colonne 0 (poids faible) : $0+1=1$, retenue $0$. Colonne 1 : $1+0=1$, retenue $0$. Colonne 2 : $1+1=0$, retenue $1$. Colonne 3 : $0+1+1_{\text{retenue}}=0$, retenue $1$. Colonne 4 : $1+0+1_{\text{retenue}}=0$, retenue $1$. Colonne 5 (reste de retenue) : $1$. Résultat : $100011_{2}$. Vérification décimale : $10110_{2}=22$, $1101_{2}=13$, somme $=35$. $100011_{2}=32+0+0+0+2+1=35$. **Réponse** : $10110_{2}+1101_{2}=100011_{2}$. --- ### Exercice 6 – Soustraction par complément à deux (8 bits) **Effectuer** $45_{10}-27_{10}$ en utilisant le complément à deux sur 8 bits, puis donner le résultat en binaire et en hexadécimal. **Corrigé** : 1. Convertir les deux nombres en binaire sur 8 bits : - $45_{10}=00101101_{2}$ - $27_{10}=00011011_{2}$ 2. Complément à deux de $27$ (pour représenter $-27$) : - Inversion : $11100100_{2}$ - Ajout de $1$ : $11100101_{2}$ 3. Addition : $00101101 + 11100101 = 1\;00010010_{2}$. On ne garde que les 8 bits de poids faible → $00010010_{2}$. 4. Interprétation : bit de poids fort $0$ → résultat positif. - Valeur : $0\cdot2^{7}+0\cdot2^{6}+0\cdot2^{5}+1\cdot2^{4}+0\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+0\cdot2^{0}=16+2=18$. 5. Conversion hexadécimale : regrouper par quatre bits → $0001\;0010_{2}=12_{16}$. **Réponse** : - Binaire : $00010010_{2}$ (ou $10010_{2}$ après suppression des zéros de tête). - Hexadécimal : $12_{16}$. - Vérification décimale : $45-27=18$, bien trouvé. --- ## Conclusion Ce cours a présenté de façon exhaustive les systèmes de numération binaire et hexadécimal, en insistant sur les définitions, les propriétés, les démonstrations des résultats clés, les conversions, les opérations arithmétiques et leurs applications concrètes en informatique. Les nombreux exemples détaillés, les encadrés « à retenir » et les exercices corrigés permettent à l’élève de travailler en autonomie et de se préparer efficacement aux épreuves du Probatoire camerounais. Bonne révision et bon succès à l’examen !