Les ondes mécaniques

# Les ondes mécaniques ## Introduction Une onde mécanique est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel élastique, sans transport de matière mais avec transport d'énergie. Ce phénomène est omniprésent dans notre environnement : les vagues à la surface de l'eau, les vibrations d'une corde de guitare, les ondes sismiques lors d'un tremblement de terre, ou encore le son qui se propage dans l'air. Comprendre les ondes mécaniques, c'est comprendre comment l'énergie se transmet à travers la matière. Ce chapitre, conforme au programme officiel du MINESEC pour les classes de Terminale C, D, E et TI, vous permettra de maîtriser les concepts fondamentaux : la distinction entre ondes transversales et longitudinales, les grandeurs caractéristiques (période, fréquence, célérité, longueur d'onde) et leurs relations. --- ## I. Ondes progressives transversales et longitudinales ### I.1. Définition d'une onde progressive Une **onde progressive** est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel, de proche en proche, sans transport de matière. Chaque point du milieu reproduit le mouvement de la source avec un retard temporel $\tau$ appelé **retard**. > **À retenir** : Une onde mécanique est la propagation d'une perturbation dans un milieu matériel élastique, caractérisée par un transport d'énergie sans transport de matière. Considérons une source $S$ qui vibre à l'origine d'un axe $Ox$. Un point $M$ situé à l'abscisse $x$ reproduit le mouvement de la source avec un retard : $$\tau = \frac{x}{v}$$ où $v$ est la célérité de l'onde (en mètres par seconde, $\text{m·s}^{-1}$) et $x$ la distance parcourue (en mètres, $\text{m}$). Si la source a pour élongation $y_S(t)$, alors l'élongation du point $M$ est : $$y_M(t) = y_S(t - \tau) = y_S\left(t - \frac{x}{v}\right)$$ ### I.2. Onde progressive transversale > **À retenir** : Une onde est dite **transversale** lorsque la direction de la perturbation (déformation du milieu) est **perpendiculaire** à la direction de propagation de l'onde. **Exemples caractéristiques :** - **Onde le long d'une corde tendue** : si on imprime un mouvement vertical à une extrémité d'une corde horizontale, la déformation se propage horizontalement tandis que les points de la corde se déplacent verticalement. - **Onde à la surface de l'eau** : les molécules d'eau oscillent verticalement tandis que l'onde se propage horizontalement à la surface. - **Onde le long d'un ressort** : si on déplace latéralement une spire d'un ressort tendu horizontalement, la perturbation se propage le long du ressort. **Schéma d'une onde transversale sur une corde :** ```onbuch-svg <svg width="600" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Axe de propagation --> <line x1="20" y1="100" x2="580" y2="100" stroke="black" stroke-width="2"/> <polygon points="580,100 570,95 570,105" fill="black"/> <text x="560" y="120" font-size="14" font-family="Arial">x (direction de propagation)</text> <!-- Corde déformée (sinusoïde) --> <path d="M 20,100 Q 60,100 80,100 Q 100,100 120,100 Q 140,100 160,100 Q 180,100 200,100 Q 220,100 240,100 Q 260,100 280,100 Q 300,100 320,100 Q 340,100 360,100 Q 380,100 400,100 Q 420,100 440,100 Q 460,100 480,100 Q 500,100 520,100 Q 540,100 560,100" stroke="none" fill="none"/> <!-- Sinusoïde représentant la déformation --> <path d="M 20,100 C 40,30 60,30 80,100 C 100,170 120,170 140,100 C 160,30 180,30 200,100 C 220,170 240,170 260,100 C 280,30 300,30 320,100 C 340,170 360,170 380,100 C 400,30 420,30 440,100 C 460,170 480,170 500,100 C 520,30 540,30 560,100" stroke="blue" stroke-width="3" fill="none"/> <!-- Flèche verticale montrant la direction de perturbation --> <line x1="200" y1="100" x2="200" y2="30" stroke="red" stroke-width="2" stroke-dasharray="5,5"/> <polygon points="200,30 195,45 205,45" fill="red"/> <text x="210" y="55" font-size="14" font-family="Arial" fill="red">Direction de la perturbation (y)</text> <!-- Flèche horizontale montrant la propagation --> <line x1="200" y1="130" x2="300" y2="130" stroke="green" stroke-width="2"/> <polygon points="300,130 290,125 290,135" fill="green"/> <text x="220" y="150" font-size="14" font-family="Arial" fill="green">Direction de propagation (x)</text> <!-- Angle droit --> <rect x="200" y="100" width="15" height="15" fill="none" stroke="black" stroke-width="1"/> <text x="30" y="30" font-size="16" font-family="Arial" font-weight="bold">Onde transversale : perturbation ⊥ propagation</text> </svg> ``` ### I.3. Onde progressive longitudinale > **À retenir** : Une onde est dite **longitudinale** lorsque la direction de la perturbation (déformation du milieu) est **parallèle** à la direction de propagation de l'onde. **Exemples caractéristiques :** - **Onde sonore dans l'air** : les molécules d'air oscillent parallèlement à la direction de propagation du son, créant des zones de compression et de dilatation. - **Onde le long d'un ressort** : si on comprime puis relâche une extrémité d'un ressort horizontal, les spires oscillent parallèlement à l'axe du ressort. - **Onde sismique P (primaire)** : les ondes de compression qui traversent la Terre. **Schéma d'une onde longitudinale dans un ressort :** ```onbuch-svg <svg width="600" height="180" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <text x="30" y="30" font-size="16" font-family="Arial" font-weight="bold">Onde longitudinale : perturbation ∥ propagation</text> <!-- Ressort au repos (spires régulièrement espacées) --> <text x="20" y="60" font-size="14" font-family="Arial">État au repos :</text> <line x1="20" y1="80" x2="580" y2="80" stroke="black" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,3"/> <g stroke="brown" stroke-width="3"> <line x1="40" y1="70" x2="40" y2="90"/> <line x1="70" y1="70" x2="70" y2="90"/> <line x1="100" y1="70" x2="100" y2="90"/> <line x1="130" y1="70" x2="130" y2="90"/> <line x1="160" y1="70" x2="160" y2="90"/> <line x1="190" y1="70" x2="190" y2="90"/> <line x1="220" y1="70" x2="220" y2="90"/> <line x1="250" y1="70" x2="250" y2="90"/> <line x1="280" y1="70" x2="280" y2="90"/> <line x1="310" y1="70" x2="310" y2="90"/> <line x1="340" y1="70" x2="340" y2="90"/> <line x1="370" y1="70" x2="370" y2="90"/> <line x1="400" y1="70" x2="400" y2="90"/> <line x1="430" y1="70" x2="430" y2="90"/> <line x1="460" y1="70" x2="460" y2="90"/> <line x1="490" y1="70" x2="490" y2="90"/> <line x1="520" y1="70" x2="520" y2="90"/> <line x1="550" y1="70" x2="550" y2="90"/> </g> <!-- Ressort déformé (compressions et dilatations) --> <text x="20" y="120" font-size="14" font-family="Arial">État déformé :</text> <line x1="20" y1="140" x2="580" y2="140" stroke="black" stroke-width="1" stroke-dasharray="3,3"/> <g stroke="blue" stroke-width="3"> <!-- Zone de compression (spires rapprochées) --> <line x1="40" y1="130" x2="40" y2="150"/> <line x1="48" y1="130" x2="48" y2="150"/> <line x1="56" y1="130" x2="56" y2="150"/> <line x1="64" y1="130" x2="64" y2="150"/> <line x1="72" y1="130" x2="72" y2="150"/> <!-- Zone de dilatation (spires écartées) --> <line x1="120" y1="130" x2="120" y2="150"/> <line x1="160" y1="130" x2="160" y2="150"/> <line x1="200" y1="130" x2="200" y2="150"/> <!-- Zone de compression --> <line x1="260" y1="130" x2="260" y2="150"/> <line x1="268" y1="130" x2="268" y2="150"/> <line x1="276" y1="130" x2="276" y2="150"/> <line x1="284" y1="130" x2="284" y2="150"/> <!-- Zone de dilatation --> <line x1="330" y1="130" x2="330" y2="150"/> <line x1="370" y1="130" x2="370" y2="150"/> <line x1="410" y1="130" x2="410" y2="150"/> <!-- Zone de compression --> <line x1="470" y1="130" x2="470" y2="150"/> <line x1="478" y1="130" x2="478" y2="150"/> <line x1="486" y1="130" x2="486" y2="150"/> <line x1="494" y1="130" x2="494" y2="150"/> <line x1="502" y1="130" x2="502" y2="150"/> </g> <!-- Flèche de propagation --> <line x1="40" y1="165" x2="200" y2="165" stroke="green" stroke-width="2"/> <polygon points="200,165 190,160 190,170" fill="green"/> <text x="80" y="175" font-size="12" font-family="Arial" fill="green">Propagation</text> <!-- Flèche de perturbation --> <line x1="200" y1="165" x2="360" y2="165" stroke="red" stroke-width="2" stroke-dasharray="5,5"/> <polygon points="360,165 350,160 350,170" fill="red"/> <text x="240" y="175" font-size="12" font-family="Arial" fill="red">Perturbation (oscillation des spires)</text> </svg> ``` ### I.4. Comparaison et distinction | Caractéristique | Onde transversale | Onde longitudinale | |-----------------|-------------------|-------------------| | Direction de la perturbation | Perpendiculaire à la propagation | Parallèle à la propagation | | Milieu de propagation | Solides (corde, ressort), surface des liquides | Solides, liquides, gaz | | Exemples | Corde vibrante, vagues, ondes sismiques S | Son, ondes sismiques P, ressort comprimé | > **À retenir** : Pour identifier le type d'onde, on compare la direction de la perturbation (déplacement des points du milieu) à la direction de propagation. Si elles sont perpendiculaires, l'onde est transversale ; si elles sont parallèles, l'onde est longitudinale. --- ## II. Exemples d'ondes mécaniques ### II.1. Onde le long d'une corde tendue Une corde élastique tendue horizontalement est frappée verticalement à une extrémité. La déformation se propage le long de la corde avec une célérité $v$ qui dépend de la tension $T$ (en newtons, $\text{N}$) et de la masse linéique $\mu$ (en kilogrammes par mètre, $\text{kg·m}^{-1}$) : $$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$$ **Démonstration :** Considérons un élément de corde de longueur $\text{d}s$ soumis à la tension $T$. La force de rappel transverse est proportionnelle à la courbure de la corde. En appliquant la deuxième loi de Newton à cet élément et en utilisant l'équation de propagation, on aboutit à la relation ci-dessus. Cette formule montre que la célérité augmente avec la tension et diminue lorsque la masse linéique augmente. **Exemple numérique :** Une corde de guitare a une masse linéique $\mu = 5{,}0 \times 10^{-3}\ \text{kg·m}^{-1}$ et est soumise à une tension $T = 80\ \text{N}$. Calculons la célérité : $$v = \sqrt{\frac{80}{5{,}0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{16\,000} = 126\ \text{m·s}^{-1}$$ ### II.2. Onde sonore dans l'air Le son est une onde mécanique longitudinale qui se propage dans les milieux matériels (gaz, liquides, solides). Dans un gaz parfait, la célérité du son est donnée par la relation de Laplace : $$v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$$ où $\gamma$ est le coefficient adiabatique (sans dimension, $\gamma \approx 1{,}4$ pour l'air), $R = 8{,}314\ \text{J·mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ la constante des gaz parfaits, $T$ la température absolue (en kelvins, $\text{K}$) et $M$ la masse molaire du gaz (en $\text{kg·mol}^{-1}$). > **À retenir** : Dans l'air à $20\ \text{°C}$ (soit $T = 293\ \text{K}$), la célérité du son est d'environ $v \approx 340\ \text{m·s}^{-1}$. Elle augmente avec la température. **Exemple numérique :** Calculons la célérité du son dans l'air à $20\ \text{°C}$. Pour l'air, $M = 29 \times 10^{-3}\ \text{kg·mol}^{-1}$ et $\gamma = 1{,}4$ : $$v = \sqrt{\frac{1{,}4 \times 8{,}314 \times 293}{29 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{3\,410}{0{,}029}} = \sqrt{117\,586} \approx 343\ \text{m·s}^{-1}$$ ### II.3. Onde à la surface de l'eau Les vagues à la surface de l'eau sont des ondes transversales (le déplacement vertical des molécules d'eau est perpendiculaire à la direction horizontale de propagation). Pour les ondes à la surface d'un liquide, la célérité dépend de la profondeur $h$ et de l'accélération de la pesanteur $g$ : $$v = \sqrt{gh} \quad \text{(en eau peu profonde)}$$ **Exemple numérique :** Une vague se propage à la surface de l'eau dans une zone où la profondeur est $h = 4{,}0\ \text{m}$. Avec $g = 9{,}81\ \text{m·s}^{-2}$ : $$v = \sqrt{9{,}81 \times 4{,}0} = \sqrt{39{,}24} \approx 6{,}3\ \text{m·s}^{-1}$$ ### II.4. Ondes sismiques Les séismes génèrent deux types d'ondes mécaniques qui se propagent dans la Terre : - **Ondes P (primaires)** : ondes longitudinales, les plus rapides ($v_P \approx 6\ \text{km·s}^{-1}$ dans la croûte terrestre). Elles traversent les solides et les liquides. - **Ondes S (secondaires)** : ondes transversales, plus lentes ($v_S \approx 3{,}5\ \text{km·s}^{-1}$ dans la croûte terrestre). Elles ne se propagent que dans les solides. > **À retenir** : La différence de vitesse entre les ondes P et S permet de déterminer la distance de l'épicentre d'un séisme. En mesurant le délai $\Delta t$ entre l'arrivée des ondes P et S, on calcule la distance $d$ par : $d = \dfrac{v_P \cdot v_S}{v_P - v_S} \cdot \Delta t$. **Exemple numérique :** Un sismographe enregistre un délai de $\Delta t = 12\ \text{s}$ entre l'arrivée des ondes P ($v_P = 6{,}0\ \text{km·s}^{-1}$) et des ondes S ($v_S = 3{,}5\ \text{km·s}^{-1}$). La distance à l'épicentre est : $$d = \frac{6{,}0 \times 3{,}5}{6{,}0 - 3{,}5} \times 12 = \frac{21}{2{,}5} \times 12 = 8{,}4 \times 12 = 100{,}8\ \text{km}$$ --- ## III. Période, fréquence, célérité de propagation, longueur d'onde ### III.1. Période et fréquence > **À retenir** : La **période** $T$ d'une onde est la durée minimale au bout de laquelle un point du milieu retrouve le même état vibratoire. Elle s'exprime en secondes ($\text{s}$). La **fréquence** $f$ est le nombre de vibrations par seconde : $f = \dfrac{1}{T}$, exprimée en hertz ($\text{Hz}$). La période et la fréquence sont des grandeurs caractéristiques de la source qui émet l'onde. Elles ne dépendent pas du milieu de propagation. **Relation fondamentale :** $$f = \frac{1}{T} \quad \text{ou} \quad T = \frac{1}{f}$$ **Exemple numérique :** Une source vibre avec une fréquence $f = 50\ \text{Hz}$. Sa période est : $$T = \frac{1}{50} = 0{,}020\ \text{s} = 20\ \text{ms}$$ ### III.2. Célérité de propagation > **À retenir** : La **célérité** $v$ (ou vitesse de propagation) d'une onde est la distance parcourue par le front d'onde par unité de temps. Elle s'exprime en mètres par seconde ($\text{m·s}^{-1}$). La célérité dépend du milieu de propagation et de ses propriétés physiques (température, tension, densité...). La célérité est une grandeur qui caractérise le milieu de propagation, pas la source. Elle peut être mesurée expérimentalement en mesurant le temps $\Delta t$ mis par l'onde pour parcourir une distance $d$ : $$v = \frac{d}{\Delta t}$$ **Exemple numérique :** Une onde sonore met $\Delta t = 0{,}50\ \text{s}$ pour parcourir une distance $d = 170\ \text{m}$ dans l'air. Sa célérité est : $$v = \frac{170}{0{,}50} = 340\ \text{m·s}^{-1}$$ ### III.3. Longueur d'onde > **À retenir** : La **longueur d'onde** $\lambda$ (lambda) est la distance minimale entre deux points du milieu qui vibrent en phase (c'est-à-dire qui ont le même état vibratoire au même instant). Elle s'exprime en mètres ($\text{m}$). C'est aussi la distance parcourue par l'onde pendant une période. La longueur d'onde est liée à la célérité et à la période (ou la fréquence) par la relation fondamentale : $$\lambda = v \cdot T = \frac{v}{f}$$ **Démonstration :** Pendant une période $T$, l'onde parcourt une distance égale à la longueur d'onde $\lambda$. Comme la célérité est la distance parcourue par unité de temps, on a : $$v = \frac{\lambda}{T} \quad \Longrightarrow \quad \lambda = v \cdot T = \frac{v}{f}$$ **Exemple numérique :** Une onde sonore de fréquence $f = 440\ \text{Hz}$ (note « la ») se propage dans l'air à la célérité $v = 340\ \text{m·s}^{-1}$. Sa longueur d'onde est : $$\lambda = \frac{340}{440} = 0{,}773\ \text{m} \approx 77\ \text{cm}$$ ### III.4. Relation entre retard et distance Pour un point $M$ situé à la distance $x$ de la source, le retard $\tau$ est : $$\tau = \frac{x}{v} = \frac{x}{f \cdot \lambda} = \frac{x \cdot T}{\lambda}$$ **Exemple numérique :** Une onde de période $T = 0{,}020\ \text{s}$ et de célérité $v = 10\ \text{m·s}^{-1}$ atteint un point situé à $x = 2{,}5\ \text{m}$ de la source. Le retard est : $$\tau = \frac{2{,}5}{10} = 0{,}25\ \text{s}$$ ### III.5. Application : mesure expérimentale de la célérité **Méthode des deux capteurs :** On place deux capteurs distants de $d = 1{,}20\ \text{m}$ le long de la direction de propagation. On mesure le décalage temporel $\Delta t = 3{,}5\ \text{ms}$ entre les signaux reçus. La célérité est : $$v = \frac{d}{\Delta t} = \frac{1{,}20}{3{,}5 \times 10^{-3}} = 343\ \text{m·s}^{-1}$$ **Méthode de la mesure de la longueur d'onde :** On mesure la distance entre deux ventres consécutifs d'une onde stationnaire, qui vaut $\lambda/2$. Si cette distance est $L = 0{,}40\ \text{m}$, alors $\lambda = 0{,}80\ \text{m}$. Avec une fréquence $f = 425\ \text{Hz}$ : $$v = \lambda \cdot f = 0{,}80 \times 425 = 340\ \text{m·s}^{-1}$$ ### III.6. Tableau récapitulatif des grandeurs | Grandeur | Symbole | Unité SI | Définition | |----------|---------|----------|------------| | Période | $T$ | $\text{s}$ | Durée d'une vibration complète | | Fréquence | $f$ | $\text{Hz}$ | Nombre de vibrations par seconde | | Célérité | $v$ | $\text{m·s}^{-1}$ | Distance parcourue par l'onde par unité de temps | | Longueur d'onde | $\lambda$ | $\text{m}$ | Distance parcourue pendant une période | | Retard | $\tau$ | $\text{s}$ | Temps mis par l'onde pour atteindre un point | > **À retenir** : Les relations fondamentales à connaître : $f = \dfrac{1}{T}$, $\lambda = v \cdot T = \dfrac{v}{f}$, $v = \dfrac{d}{\Delta t}$, $\tau = \dfrac{x}{v}$. ### III.7. Exercice d'application complet **Énoncé :** Une onde progressive sinusoïdale se propage le long d'une corde tendue avec une fréquence $f = 25\ \text{Hz}$. La distance entre deux crêtes successives est mesurée : $\lambda = 0{,}80\ \text{m}$. 1. Calculer la célérité de l'onde. 2. Calculer la période de l'onde. 3. Déterminer le retard de l'onde en un point situé à $x = 2{,}0\ \text{m}$ de la source. 4. Combien de longueurs d'onde y a-t-il sur une distance de $10\ \text{m}$ ? **Solution :** 1. Célérité : $$v = \lambda \cdot f = 0{,}80 \times 25 = 20\ \text{m·s}^{-1}$$ 2. Période : $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{25} = 0{,}040\ \text{s} = 40\ \text{ms}$$ 3. Retard : $$\tau = \frac{x}{v} = \frac{2{,}0}{20} = 0{,}10\ \text{s}$$ 4. Nombre de longueurs d'onde : $$N = \frac{10}{0{,}80} = 12{,}5 \ \text{longueurs d'onde}$$ --- ## Conclusion Les ondes mécaniques constituent un phénomène fondamental de la physique, illustrant la transmission d'énergie à travers la matière sans transport de matière. Nous avons établi la distinction essentielle entre ondes transversales (perturbation perpendiculaire à la propagation) et ondes longitudinales (perturbation parallèle à la propagation), illustrée par de nombreux exemples concrets : corde vibrante, son, vagues, ondes sismiques. Les grandeurs caractéristiques — période $T$, fréquence $f$, célérité $v$ et longueur d'onde $\lambda$ — sont reliées par les relations fondamentales $f = 1/T$ et $\lambda = v \cdot T = v/f$. Ces relations permettent de résoudre de nombreux problèmes pratiques, de la mesure de la distance d'un séisme à la conception d'instruments de musique. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour aborder les chapitres suivants : les ondes progressives périodiques, les ondes stationnaires, et l'étude des ondes électromagnétiques en Terminale. Elle constitue également une base solide pour les études supérieures en physique, en ingénierie et dans les sciences appliquées.