Équation aux dimensions

# Fiche de cours : Équation aux dimensions **Matière** : Physique **Niveau** : Terminale Scientifique (Séries C, D, E, TI) **Programme officiel** : MINESEC Cameroun --- ## Introduction Toute mesure physique s'exprime par un nombre accompagné d'une unité. Mais derrière cette unité se cache une nature plus profonde : la **dimension** de la grandeur mesurée. Comprendre la dimension d'une grandeur, c'est comprendre sa nature physique fondamentale, indépendamment du système d'unités choisi. L'analyse dimensionnelle est un outil puissant qui permet de vérifier la cohérence des équations, de retrouver des lois physiques et de convertir des unités. Ce chapitre pose les fondements de cette démarche en s'appuyant sur le Système international d'unités (SI). --- ## I. Le Système International (SI) : unités de base et unités dérivées ### I.1. Généralités Le **Système international d'unités (SI)** est le système d'unités adopté par la quasi-totalité des pays, y compris le Cameroun. Il repose sur **sept unités de base**, définies de manière indépendante, à partir desquelles toutes les autres unités (dites **dérivées**) sont construites. ### I.2. Les sept unités de base du SI Chaque unité de base correspond à une grandeur physique fondamentale. Le tableau ci-dessous les récapitule : | Grandeur physique | Nom de l'unité | Symbole de l'unité | |---|---|---| | Longueur | mètre | m | | Masse | kilogramme | kg | | Temps | seconde | s | | Intensité de courant électrique | ampère | A | | Température thermodynamique | kelvin | K | | Quantité de matière | mole | mol | | Intensité lumineuse | candela | cd | > **À RETENIR** : Les sept unités de base du SI sont : le mètre (m), le kilogramme (kg), la seconde (s), l'ampère (A), le kelvin (K), la mole (mol) et la candela (cd). Toute autre unité du SI est une unité dérivée. ### I.3. Unités dérivées Une **unité dérivée** est une unité obtenue par combinaison (produit ou quotient) des unités de base, avec éventuellement des facteurs numériques. Certaines unités dérivées portent un nom spécial et un symbole particulier, mais elles restent exprimables en unités de base. **Exemples fondamentaux :** - **Vitesse** : unité dérivée $\text{m/s}$ (mètre par seconde). $$[v] = \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$$ - **Accélération** : unité dérivée $\text{m/s}^2$. $$[a] = \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$$ - **Force** : unité dérivée portant le nom de **newton** (N). $$1\ \text{N} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$$ - **Énergie** : unité dérivée portant le nom de **joule** (J). $$1\ \text{J} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}$$ - **Puissance** : unité dérivée portant le nom de **watt** (W). $$1\ \text{W} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3}$$ - **Pression** : unité dérivée portant le nom de **pascal** (Pa). $$1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$$ - **Charge électrique** : unité dérivée portant le nom de **coulomb** (C). $$1\ \text{C} = 1\ \text{A} \cdot \text{s}$$ - **Tension électrique** : unité dérivée portant le nom de **volt** (V). $$1\ \text{V} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3} \cdot \text{A}^{-1}$$ - **Résistance électrique** : unité dérivée portant le nom d'**ohm** (Ω). $$1\ \Omega = 1\ \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3} \cdot \text{A}^{-2}$$ > **À RETENIR** : Une unité dérivée s'exprime toujours comme un produit de puissances des unités de base. Par exemple : $1\ \text{N} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$. ### I.4. Multiples et sous-multiples Le SI utilise des **préfixes** pour former des multiples et sous-multiples décimaux des unités. Les plus courants sont : | Préfixe | Symbole | Facteur multiplicatif | |---|---|---| | giga | G | $10^9$ | | méga | M | $10^6$ | | kilo | k | $10^3$ | | hecto | h | $10^2$ | | déca | da | $10^1$ | | déci | d | $10^{-1}$ | | centi | c | $10^{-2}$ | | milli | m | $10^{-3}$ | | micro | μ | $10^{-6}$ | | nano | n | $10^{-9}$ | | pico | p | $10^{-12}$ | **Exemple** : $1\ \text{km} = 10^3\ \text{m}$ ; $1\ \text{mg} = 10^{-3}\ \text{g} = 10^{-6}\ \text{kg}$ ; $1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$. > **À RETENIR** : Le kilogramme est la seule unité de base possédant un préfixe. Les multiples et sous-multiples du kilogramme se forment à partir du gramme : $1\ \text{mg} = 10^{-6}\ \text{kg}$. --- ## II. Dimensions d'une grandeur physique ### II.1. Notion de dimension La **dimension** d'une grandeur physique exprime sa nature en fonction des grandeurs fondamentales. On note la dimension d'une grandeur $G$ entre crochets : $[G]$. Les dimensions des sept grandeurs fondamentales sont notées par des lettres majuscules : - Longueur : $L$ - Masse : $M$ - Temps : $T$ - Intensité de courant électrique : $I$ - Température thermodynamique : $\Theta$ (thêta) - Quantité de matière : $N$ - Intensité lumineuse : $J$ Ainsi, pour une grandeur $G$ quelconque, sa dimension s'écrit sous la forme d'un **monôme** : $$[G] = L^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot T^{\gamma} \cdot I^{\delta} \cdot \Theta^{\varepsilon} \cdot N^{\zeta} \cdot J^{\eta}$$ où $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \zeta, \eta$ sont des nombres réels (généralement entiers ou fractions simples), appelés **exposants dimensionnels**. ### II.2. Équation aux dimensions L'**équation aux dimensions** d'une grandeur $G$ est l'expression de sa dimension en fonction des dimensions des grandeurs fondamentales. Elle s'écrit : $$[G] = L^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot T^{\gamma} \cdot I^{\delta} \cdot \Theta^{\varepsilon} \cdot N^{\zeta} \cdot J^{\eta}$$ **Exemples d'équations aux dimensions :** - **Vitesse** $v$ : $$[v] = L \cdot T^{-1}$$ - **Accélération** $a$ : $$[a] = L \cdot T^{-2}$$ - **Force** $F$ : d'après la deuxième loi de Newton $F = m \cdot a$, $$[F] = M \cdot L \cdot T^{-2}$$ - **Énergie** $E$ : d'après $E = F \cdot d$ (travail d'une force), $$[E] = M \cdot L^2 \cdot T^{-2}$$ - **Puissance** $P$ : d'après $P = \dfrac{E}{t}$, $$[P] = M \cdot L^2 \cdot T^{-3}$$ - **Pression** $p$ : d'après $p = \dfrac{F}{S}$, $$[p] = M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}$$ - **Charge électrique** $q$ : d'après $q = I \cdot t$, $$[q] = I \cdot T$$ - **Tension électrique** $U$ : d'après $U = \dfrac{E}{q}$, $$[U] = M \cdot L^2 \cdot T^{-3} \cdot I^{-1}$$ - **Résistance électrique** $R$ : d'après la loi d'Ohm $U = R \cdot I$, $$[R] = M \cdot L^2 \cdot T^{-3} \cdot I^{-2}$$ > **À RETENIR** : L'équation aux dimensions d'une grandeur $G$ s'écrit $[G] = L^{\alpha} M^{\beta} T^{\gamma} I^{\delta} \Theta^{\varepsilon} N^{\zeta} J^{\eta}$. Elle exprime la nature de la grandeur indépendamment de tout système d'unités. ### II.3. Grandeurs sans dimension Une grandeur dont tous les exposants dimensionnels sont nuls est dite **sans dimension** (ou de dimension 1). Son équation aux dimensions s'écrit : $$[G] = L^0 \cdot M^0 \cdot T^0 \cdot I^0 \cdot \Theta^0 \cdot N^0 \cdot J^0 = 1$$ **Exemples de grandeurs sans dimension :** - Les angles (exprimés en radians, qui sont des unités sans dimension) : $[\theta] = 1$. - Les indices de réfraction : $[n] = 1$. - Les rendements : $[\eta] = 1$. - Les nombres sans dimension de la physique (nombre de Reynolds, nombre de Mach, etc.). > **À RETENIR** : Une grandeur sans dimension a pour équation aux dimensions $[G] = 1$. Les angles, les rendements et les indices sont des grandeurs sans dimension. ### II.4. Méthode pour établir une équation aux dimensions Pour déterminer l'équation aux dimensions d'une grandeur, on suit les étapes suivantes : 1. **Identifier** la relation physique qui définit la grandeur (loi, définition, théorème). 2. **Remplacer** chaque grandeur de la relation par sa dimension connue. 3. **Appliquer** les règles de calcul sur les puissances (produit, quotient, puissance). 4. **Simplifier** pour obtenir la forme $[G] = L^{\alpha} M^{\beta} T^{\gamma} I^{\delta} \Theta^{\varepsilon} N^{\zeta} J^{\eta}$. **Exemple détaillé** : Déterminons l'équation aux dimensions de la constante de gravitation universelle $G$ (à ne pas confondre avec la grandeur $G$). La loi de gravitation universelle s'écrit : $$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$$ On en déduit : $$G = \frac{F \cdot d^2}{m_1 \cdot m_2}$$ En remplaçant par les dimensions : $$[G] = \frac{[F] \cdot [d]^2}{[m_1] \cdot [m_2]} = \frac{(M \cdot L \cdot T^{-2}) \cdot L^2}{M \cdot M} = M^{-1} \cdot L^3 \cdot T^{-2}$$ Ainsi : $$[G] = M^{-1} \cdot L^3 \cdot T^{-2}$$ L'unité SI correspondante est : $\text{m}^3 \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}$. --- ## III. Homogénéité d'une relation ### III.1. Principe d'homogénéité Une relation physique est dite **homogène** si ses deux membres ont la même dimension. Ce principe fondamental découle du fait qu'on ne peut comparer ou additionner que des grandeurs de même nature. > **À RETENIR** : Une équation physique n'est valable que si elle est **homogène**, c'est-à-dire si les deux membres ont la même équation aux dimensions. On ne peut additionner que des grandeurs de même dimension. ### III.2. Vérification de l'homogénéité d'une relation Pour vérifier qu'une relation est homogène, on calcule l'équation aux dimensions de chaque membre séparément, puis on compare. **Exemple 1** : Vérifions l'homogénéité de la relation donnant la période d'un pendule simple : $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$ où $T$ est la période, $l$ la longueur du fil et $g$ l'accélération de la pesanteur. - Dimension du membre de gauche : $[T] = T$ (le temps). - Dimension du membre de droite : $2\pi$ est sans dimension, donc : $$[T_{\text{droite}}] = \sqrt{\frac{[l]}{[g]}} = \sqrt{\frac{L}{L \cdot T^{-2}}} = \sqrt{T^2} = T$$ Les deux membres ont la dimension $T$. La relation est **homogène**. **Exemple 2** : Vérifions l'homogénéité de la relation de l'énergie cinétique : $$E_c = \frac{1}{2} m v^2$$ - Membre de gauche : $[E_c] = M \cdot L^2 \cdot T^{-2}$. - Membre de droite : $\frac{1}{2}$ est sans dimension, donc : $$[E_c] = [m] \cdot [v]^2 = M \cdot (L \cdot T^{-1})^2 = M \cdot L^2 \cdot T^{-2}$$ La relation est **homogène**. **Exemple 3** : Vérifions l'homogénéité de la loi d'Ohm locale $U = R \cdot I$ : - Membre de gauche : $[U] = M \cdot L^2 \cdot T^{-3} \cdot I^{-1}$. - Membre de droite : $[R] \cdot [I] = (M \cdot L^2 \cdot T^{-3} \cdot I^{-2}) \cdot I = M \cdot L^2 \cdot T^{-3} \cdot I^{-1}$. La relation est **homogène**. ### III.3. Utilisation de l'homogénéité pour retrouver une formule L'analyse dimensionnelle permet de **retrouver la forme** d'une loi physique, à un facteur numérique près. **Exemple** : Retrouvons la forme de la période d'un pendule simple. On suppose que la période $T$ dépend de la longueur $l$, de la masse $m$ et de l'accélération de la pesanteur $g$. On cherche une relation de la forme : $$T = k \cdot l^{\alpha} \cdot m^{\beta} \cdot g^{\gamma}$$ où $k$ est une constante sans dimension. L'équation aux dimensions donne : $$[T] = [l]^{\alpha} \cdot [m]^{\beta} \cdot [g]^{\gamma}$$ Soit : $$T = L^{\alpha} \cdot M^{\beta} \cdot (L \cdot T^{-2})^{\gamma} = L^{\alpha + \gamma} \cdot M^{\beta} \cdot T^{-2\gamma}$$ Par identification avec $[T] = T = L^0 \cdot M^0 \cdot T^1$, on obtient le système : $$\begin{cases} \alpha + \gamma = 0 \\ \beta = 0 \\ -2\gamma = 1 \end{cases}$$ D'où : $$\gamma = -\frac{1}{2}, \quad \alpha = \frac{1}{2}, \quad \beta = 0$$ La période ne dépend donc pas de la masse. On obtient : $$T = k \cdot l^{1/2} \cdot g^{-1/2} = k \sqrt{\frac{l}{g}}$$ La valeur exacte de $k$ (qui vaut $2\pi$) ne peut pas être déterminée par l'analyse dimensionnelle ; elle nécessite une étude plus fine. > **À RETENIR** : L'analyse dimensionnelle permet de déterminer la forme d'une loi physique à une constante numérique près. Elle ne donne jamais la valeur des constantes sans dimension (comme $2\pi$, $\frac{1}{2}$, etc.). ### III.4. Exemple numérique entièrement résolu **Énoncé** : On considère la relation donnant la vitesse du son dans un gaz : $$v = \sqrt{\frac{\gamma \cdot p}{\rho}}$$ où $v$ est la vitesse du son, $\gamma$ un coefficient sans dimension (rapport des capacités thermiques), $p$ la pression et $\rho$ la masse volumique. **Question 1** : Vérifier l'homogénéité de cette relation. **Question 2** : Calculer la vitesse du son dans l'air à pression $p = 1{,}013 \times 10^5\ \text{Pa}$ et de masse volumique $\rho = 1{,}29\ \text{kg/m}^3$, avec $\gamma = 1{,}4$. **Solution** : **Question 1** : Vérifions l'homogénéité. - Dimension de $v$ : $[v] = L \cdot T^{-1}$. - Dimension de $p$ : $[p] = M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}$. - Dimension de $\rho$ : $[\rho] = M \cdot L^{-3}$. - Dimension de $\dfrac{p}{\rho}$ : $$\left[\frac{p}{\rho}\right] = \frac{M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2}}{M \cdot L^{-3}} = L^2 \cdot T^{-2}$$ - Dimension de $\sqrt{\dfrac{\gamma p}{\rho}}$ : $\gamma$ est sans dimension, donc : $$\left[\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}}\right] = \sqrt{L^2 \cdot T^{-2}} = L \cdot T^{-1}$$ On a bien $[v] = L \cdot T^{-1}$. La relation est **homogène**. **Question 2** : Application numérique. $$v = \sqrt{\frac{1{,}4 \times 1{,}013 \times 10^5}{1{,}29}}$$ Calculons d'abord le numérateur : $$1{,}4 \times 1{,}013 \times 10^5 = 1{,}4182 \times 10^5\ \text{Pa}$$ Puis le rapport : $$\frac{1{,}4182 \times 10^5}{1{,}29} = 1{,}0994 \times 10^5\ \text{m}^2/\text{s}^2$$ Enfin la racine carrée : $$v = \sqrt{1{,}0994 \times 10^5} = 331{,}6\ \text{m/s}$$ La vitesse du son dans l'air dans ces conditions est : $$v \approx 332\ \text{m/s}$$ **Vérification des unités** : $\sqrt{\dfrac{\text{Pa}}{\text{kg/m}^3}} = \sqrt{\dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2}}{\text{kg} \cdot \text{m}^{-3}}} = \sqrt{\text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}} = \text{m/s}$. L'unité est bien le mètre par seconde. ### III.5. Schéma illustratif : chaîne de conversion d'unités Le schéma ci-dessous illustre la démarche de conversion d'une unité dérivée en unités de base, en passant par l'équation aux dimensions. ```onbuch-svg <svg width="600" height="300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Fond --> <rect width="600" height="300" fill="#f8f9fa" rx="10"/> <!-- Titre --> <text x="300" y="30" text-anchor="middle" font-size="16" font-weight="bold" fill="#1a237e">Démarche : de la grandeur à l'unité SI</text> <!-- Boîte 1 : Grandeur physique --> <rect x="20" y="60" width="160" height="60" rx="8" fill="#e3f2fd" stroke="#1a237e" stroke-width="2"/> <text x="100" y="85" text-anchor="middle" font-size="13" font-weight="bold" fill="#1a237e">Grandeur</text> <text x="100" y="105" text-anchor="middle" font-size="12" fill="#333">Ex : Force (F)</text> <!-- Flèche 1 --> <line x1="180" y1="90" x2="230" y2="90" stroke="#1a237e" stroke-width="2" marker-end="url(#fleche)"/> <text x="205" y="80" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">Définition</text> <!-- Boîte 2 : Équation aux dimensions --> <rect x="230" y="60" width="170" height="60" rx="8" fill="#fff3e0" stroke="#e65100" stroke-width="2"/> <text x="315" y="85" text-anchor="middle" font-size="13" font-weight="bold" fill="#e65100">Équation aux dimensions</text> <text x="315" y="105" text-anchor="middle" font-size="12" fill="#333">[F] = M·L·T⁻²</text> <!-- Flèche 2 --> <line x1="400" y1="90" x2="450" y2="90" stroke="#1a237e" stroke-width="2" marker-end="url(#fleche)"/> <text x="425" y="80" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#555">Substitution</text> <!-- Boîte 3 : Unité SI --> <rect x="450" y="60" width="130" height="60" rx="8" fill="#e8f5e9" stroke="#2e7d32" stroke-width="2"/> <text x="515" y="85" text-anchor="middle" font-size="13" font-weight="bold" fill="#2e7d32">Unité SI</text> <text x="515" y="105" text-anchor="middle" font-size="12" fill="#333">kg·m·s⁻² = N</text> <!-- Flèches descendantes --> <line x1="100" y1="120" x2="100" y2="170" stroke="#555" stroke-width="1.5" marker-end="url(#fleche)"/> <line x1="315" y1="120" x2="315" y2="170" stroke="#555" stroke-width="1.5" marker-end="url(#fleche)"/> <line x1="515" y1="120" x2="515" y2="170" stroke="#555" stroke-width="1.5" marker-end="url(#fleche)"/> <!-- Boîtes inférieures --> <rect x="20" y="170" width="160" height="50" rx="8" fill="#fce4ec" stroke="#c62828" stroke-width="1.5"/> <text x="100" y="190" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#c62828">F = m × a</text> <text x="100" y="208" text-anchor="middle" font-size="10" fill="#555">(2e loi de Newton)</text> <rect x="230" y="170" width="170" height="50" rx="8" fill="#fce4ec" stroke="#c62828" stroke-width="1.5"/> <text x="315" y="190" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#c62828">[m]=M ; [a]=L·T⁻²</text> <text x="315" y="208" text-anchor="middle" font-size="10" fill="#555">(dimensions connues)</text> <rect x="450" y="170" width="130" height="50" rx="8" fill="#fce4ec" stroke="#c62828" stroke-width="1.5"/> <text x="515" y="190" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#c62828">kg × m/s²</text> <text x="515" y="208" text-anchor="middle" font-size="10" fill="#555">= newton (N)</text> <!-- Exemple en bas --> <rect x="80" y="245" width="440" height="40" rx="8" fill="#fff8e1" stroke="#f9a825" stroke-width="1.5"/> <text x="300" y="262" text-anchor="middle" font-size="12" fill="#333">Exemple : F = 10 N = 10 kg·m·s⁻²</text> <text x="300" y="278" text-anchor="middle" font-size="11" fill="#666">L'unité dérivée (N) se décompose en unités de base</text> <!-- Définition des flèches --> <defs> <marker id="fleche" markerWidth="10" markerHeight="7" refX="10" refY="3.5" orient="auto"> <polygon points="0 0, 10 3.5, 0 7" fill="#1a237e"/> </marker> </defs> </svg> ``` ### III.6. Pièges à éviter 1. **Ne pas confondre dimension et unité** : la dimension est une notion abstraite (indépendante du système d'unités), tandis que l'unité est une convention de mesure. Par exemple, la longueur a pour dimension $L$, mais peut se mesurer en mètres, kilomètres, pieds, etc. 2. **Ne pas additionner des grandeurs de dimensions différentes** : l'expression $5\ \text{m} + 3\ \text{s}$ n'a aucun sens physique. 3. **Les fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques** ne s'appliquent qu'à des grandeurs sans dimension. Par exemple, dans $\sin(\theta)$, l'angle $\theta$ doit être sans dimension (exprimé en radians). 4. **Les constantes numériques pures** (comme $2\pi$, $\frac{1}{2}$, $e$) sont sans dimension. 5. **Vérifier systématiquement l'homogénéité** de toute relation avant de l'utiliser pour un calcul numérique. > **À RETENIR** : Les arguments des fonctions $\sin$, $\cos$, $\tan$, $\exp$, $\ln$ doivent être sans dimension. Une relation contenant $\sin(x)$ où $x$ a une dimension est nécessairement fausse. ### III.7. Exercice d'application résolu **Énoncé** : La période de révolution $T$ d'une planète autour du Soleil est donnée par la troisième loi de Kepler : $$T^2 = \frac{4\pi^2 \cdot a^3}{G \cdot M_S}$$ où $a$ est le demi-grand axe de l'orbite, $G$ la constante de gravitation universelle et $M_S$ la masse du Soleil. **Question** : Vérifier l'homogénéité de cette relation. **Solution** : - Dimension de $T^2$ : $[T^2] = T^2$. - Dimension de $a^3$ : $[a^3] = L^3$. - Dimension de $G$ : $[G] = M^{-1} \cdot L^3 \cdot T^{-2}$ (établie précédemment). - Dimension de $M_S$ : $[M_S] = M$. - Dimension du dénominateur : $[G \cdot M_S] = (M^{-1} \cdot L^3 \cdot T^{-2}) \cdot M = L^3 \cdot T^{-2}$. - Dimension du membre de droite : $$\left[\frac{4\pi^2 \cdot a^3}{G \cdot M_S}\right] = \frac{L^3}{L^3 \cdot T^{-2}} = T^2$$ On obtient bien $[T^2] = T^2$. La relation est **homogène**. --- ## Conclusion L'équation aux dimensions est un outil fondamental de la physique. Elle permet de : 1. **Comprendre la nature** des grandeurs physiques en les exprimant en fonction des sept grandeurs fondamentales du Système international. 2. **Vérifier la cohérence** des relations physiques grâce au principe d'homogénéité. 3. **Retrouver la forme** de lois physiques lorsque la dépendance entre grandeurs est inconnue. 4. **Convertir** des unités d'un système à un autre. La maîtrise de l'analyse dimensionnelle est indispensable pour tout scientifique : elle constitue un premier filtre de validation des calculs et des raisonnements. Dans la suite du programme, cette méthode sera utilisée systématiquement pour vérifier les formules rencontrées en mécanique, en électricité, en thermodynamique et en physique moderne.