Aspect ondulatoire de la lumière

# Aspect ondulatoire de la lumière ## Introduction La lumière présente une dualité onde-particule. Dans ce chapitre, nous étudions son comportement ondulatoire à travers trois phénomènes majeurs : la diffraction, les interférences lumineuses (dispositif des fentes de Young) et l'effet Doppler. Nous abordons également la quantification des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène, qui constitue le fondement de la physique quantique et permet d'expliquer les spectres de raies observés expérimentalement. Ces phénomènes, bien que distincts, illustrent tous la nature ondulatoire de la lumière et ouvrent la voie à la mécanique quantique. ## I. Phénomène de diffraction ### I.1. Mise en évidence expérimentale Lorsqu'un faisceau lumineux monochromatique (laser) traverse une fente fine de largeur $a$ de l'ordre du dixième de millimètre, on observe sur un écran placé à une distance $D$ de la fente une figure de diffraction : une tache centrale brillante, large, encadrée de taches secondaires plus étroites et moins lumineuses, séparées par des zones sombres (minimums d'intensité). ```onbuch-svg <svg width="600" height="300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Schéma du dispositif de diffraction --> <rect x="10" y="10" width="580" height="280" fill="white" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="300" y="30" text-anchor="middle" font-size="16" font-weight="bold">Dispositif de diffraction par une fente fine</text> <!-- Source laser --> <rect x="30" y="120" width="40" height="40" fill="red" rx="5"/> <text x="50" y="145" text-anchor="middle" font-size="12" fill="white">Laser</text> <!-- Fente --> <rect x="200" y="100" width="8" height="80" fill="black"/> <text x="204" y="210" text-anchor="middle" font-size="12">Fente de largeur a</text> <!-- Écran --> <rect x="480" y="50" width="10" height="200" fill="gray"/> <text x="485" y="270" text-anchor="middle" font-size="12">Écran</text> <!-- Rayons lumineux --> <line x1="70" y1="140" x2="200" y2="140" stroke="red" stroke-width="3"/> <line x1="204" y1="140" x2="485" y2="140" stroke="red" stroke-width="2"/> <line x1="204" y1="120" x2="485" y2="100" stroke="red" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,5"/> <line x1="204" y1="160" x2="485" y2="180" stroke="red" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="5,5"/> <!-- Figure de diffraction sur l'écran --> <rect x="490" y="130" width="6" height="40" fill="red"/> <rect x="490" y="145" width="6" height="10" fill="darkred"/> <rect x="490" y="155" width="6" height="5" fill="darkred"/> <rect x="490" y="120" width="6" height="10" fill="darkred"/> <rect x="490" y="110" width="6" height="5" fill="darkred"/> <!-- Labels --> <text x="300" y="240" text-anchor="middle" font-size="12">D (distance fente-écran)</text> <line x1="204" y1="230" x2="485" y2="230" stroke="black" stroke-width="1" marker-end="url(#arrow)"/> <defs> <marker id="arrow" markerWidth="10" markerHeight="7" refX="10" refY="3.5" orient="auto"> <polygon points="0 0, 10 3.5, 0 7" fill="black"/> </marker> </defs> <!-- Angle theta --> <path d="M 204 140 A 50 50 0 0 1 240 115" fill="none" stroke="blue" stroke-width="1.5"/> <text x="225" y="120" font-size="12" fill="blue">θ</text> </svg> ``` ### I.2. Condition de diffraction La diffraction est observable lorsque la dimension de l'obstacle (fente, fil, trou) est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde $\lambda$ de la lumière. Pour une fente de largeur $a$, le phénomène est notable si : $$a \lesssim 10^3 \cdot \lambda$$ Pour la lumière visible ($\lambda \approx 500 \text{ nm} = 5 \times 10^{-7} \text{ m}$), la diffraction est observable pour des fentes de largeur $a \lesssim 0{,}5 \text{ mm}$. ### I.3. Écart angulaire et largeur de la tache centrale L'écart angulaire $\theta$ (demi-angle sous lequel on voit la tache centrale depuis la fente) est donné par : > **Loi de la diffraction par une fente** : $$\theta = \frac{\lambda}{a}$$ > où $\theta$ est l'écart angulaire en radians (rad), $\lambda$ la longueur d'onde en mètres (m) et $a$ la largeur de la fente en mètres (m). La largeur $\ell$ de la tache centrale de diffraction sur un écran placé à la distance $D$ de la fente est : $$\ell = 2D \tan\theta \approx 2D\theta = \frac{2\lambda D}{a}$$ L'approximation $\tan\theta \approx \theta$ est valable pour les petits angles ($\theta < 0{,}1 \text{ rad}$), ce qui est généralement le cas. ### I.4. Influence des paramètres - **Si $a$ diminue** : $\theta$ augmente, la tache centrale s'élargit. La diffraction est d'autant plus marquée que la fente est fine. - **Si $\lambda$ augmente** : $\theta$ augmente également. La diffraction est plus prononcée pour les grandes longueurs d'onde (rouge) que pour les petites (bleu). - **Si $D$ augmente** : la tache s'élargit proportionnellement, mais l'écart angulaire $\theta$ reste inchangé. ### I.5. Exemple numérique résolu **Énoncé** : Un laser rouge de longueur d'onde $\lambda = 632{,}8 \text{ nm}$ éclaire une fente de largeur $a = 0{,}10 \text{ mm}$. La distance entre la fente et l'écran est $D = 2{,}00 \text{ m}$. Calculer l'écart angulaire $\theta$ et la largeur $\ell$ de la tache centrale. **Solution** : 1. Conversion en unités SI : $$\lambda = 632{,}8 \text{ nm} = 632{,}8 \times 10^{-9} \text{ m} = 6{,}328 \times 10^{-7} \text{ m}$$ $$a = 0{,}10 \text{ mm} = 0{,}10 \times 10^{-3} \text{ m} = 1{,}0 \times 10^{-4} \text{ m}$$ 2. Écart angulaire : $$\theta = \frac{\lambda}{a} = \frac{6{,}328 \times 10^{-7}}{1{,}0 \times 10^{-4}} = 6{,}328 \times 10^{-3} \text{ rad}$$ 3. Largeur de la tache centrale : $$\ell = \frac{2\lambda D}{a} = \frac{2 \times 6{,}328 \times 10^{-7} \times 2{,}00}{1{,}0 \times 10^{-4}} = 2{,}53 \times 10^{-2} \text{ m} = 2{,}53 \text{ cm}$$ La tache centrale mesure environ 2,5 cm de large. ## II. Dispositif des fentes de Young — Interférences lumineuses ### II.1. Description du dispositif Le dispositif des fentes de Young consiste en deux fentes fines $F_1$ et $F_2$, parallèles, de même largeur, séparées par une distance $b$ (distance entre les centres des fentes), appelée **distance inter-fentes**. Une source lumineuse monochromatique éclaire les deux fentes. Sur un écran placé à la distance $D$ des fentes, on observe des **franges d'interférences** : une alternance de franges brillantes (maxima d'intensité) et de franges sombres (minima d'intensité), parallèles aux fentes. > **Définition clé** : Les franges d'interférences obtenues avec les fentes de Young sont dites **non localisées** : elles sont observables dans tout l'espace où les deux ondes issues de $F_1$ et $F_2$ se superposent. Elles ne sont pas localisées sur un plan particulier. ```onbuch-svg <svg width="600" height="350" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Schéma des fentes de Young --> <rect x="10" y="10" width="580" height="330" fill="white" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="300" y="35" text-anchor="middle" font-size="16" font-weight="bold">Dispositif des fentes de Young</text> <!-- Source --> <rect x="20" y="140" width="30" height="30" fill="yellow" rx="5"/> <text x="35" y="160" text-anchor="middle" font-size="10">S</text> <!-- Écran avec fentes --> <rect x="180" y="80" width="10" height="200" fill="gray"/> <rect x="183" y="130" width="4" height="20" fill="white"/> <rect x="183" y="170" width="4" height="20" fill="white"/> <text x="185" y="300" text-anchor="middle" font-size="12">F₁ et F₂</text> <!-- Écran d'observation --> <rect x="480" y="50" width="10" height="260" fill="lightgray"/> <text x="485" y="330" text-anchor="middle" font-size="12">Écran</text> <!-- Franges sur l'écran --> <rect x="490" y="80" width="6" height="200" fill="white" stroke="black" stroke-width="0.5"/> <rect x="490" y="100" width="6" height="15" fill="black"/> <rect x="490" y="130" width="6" height="15" fill="black"/> <rect x="490" y="160" width="6" height="15" fill="black"/> <rect x="490" y="190" width="6" height="15" fill="black"/> <rect x="490" y="220" width="6" height="15" fill="black"/> <rect x="490" y="250" width="6" height="15" fill="black"/> <!-- Rayons lumineux --> <line x1="50" y1="155" x2="183" y2="140" stroke="orange" stroke-width="2"/> <line x1="50" y1="155" x2="183" y2="180" stroke="orange" stroke-width="2"/> <!-- Ondes issues de F1 --> <line x1="187" y1="140" x2="485" y2="155" stroke="red" stroke-width="1.5"/> <line x1="187" y1="140" x2="485" y2="120" stroke="red" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,4"/> <line x1="187" y1="140" x2="485" y2="190" stroke="red" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,4"/> <!-- Ondes issues de F2 --> <line x1="187" y1="180" x2="485" y2="155" stroke="blue" stroke-width="1.5"/> <line x1="187" y1="180" x2="485" y2="120" stroke="blue" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,4"/> <line x1="187" y1="180" x2="485" y2="190" stroke="blue" stroke-width="1" stroke-dasharray="4,4"/> <!-- Labels --> <text x="300" y="75" text-anchor="middle" font-size="12">b (distance inter-fentes)</text> <line x1="183" y1="125" x2="183" y2="195" stroke="black" stroke-width="1"/> <line x1="183" y1="125" x2="187" y2="125" stroke="black" stroke-width="1"/> <line x1="183" y1="195" x2="187" y2="195" stroke="black" stroke-width="1"/> <text x="340" y="310" text-anchor="middle" font-size="12">D (distance fentes-écran)</text> <line x1="185" y1="290" x2="485" y2="290" stroke="black" stroke-width="1"/> <!-- Point M sur l'écran --> <circle cx="485" cy="155" r="4" fill="black"/> <text x="500" y="150" font-size="12">M</text> </svg> ``` ### II.2. Différence de marche et interférences Considérons un point $M$ sur l'écran, situé à la distance $x$ du centre $O$ de l'écran (point d'intersection de la médiatrice de $F_1F_2$ avec l'écran). Les ondes issues de $F_1$ et $F_2$ parcourent respectivement les distances $d_1 = F_1M$ et $d_2 = F_2M$. > **Définition** : La **différence de marche** $\delta$ est la différence des chemins optiques parcourus par les deux ondes : $\delta = d_2 - d_1$. Pour $D \gg b$ et $D \gg x$ (approximation de Fraunhofer), on montre que : $$\delta = \frac{b \cdot x}{D}$$ **Démonstration** : Dans l'approximation des petits angles, les rayons $F_1M$ et $F_2M$ sont quasi parallèles. La différence de marche est alors $\delta = b \sin\theta$, où $\theta$ est l'angle entre la direction $OM$ et l'axe optique. Comme $\sin\theta \approx \tan\theta = \frac{x}{D}$, on obtient $\delta = \frac{bx}{D}$. ### II.3. Conditions d'interférences constructives et destructives Les deux ondes issues de $F_1$ et $F_2$ sont cohérentes (même source, même fréquence, déphasage constant). Elles interfèrent en $M$. - **Interférence constructive** (franges brillantes) lorsque la différence de marche est un multiple entier de la longueur d'onde : $$\delta = k\lambda \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}$$ - **Interférence destructive** (franges sombres) lorsque la différence de marche est un multiple impair de la demi-longueur d'onde : $$\delta = (2k+1)\frac{\lambda}{2} \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{Z}$$ ### II.4. Position des franges et interfrange En combinant $\delta = \frac{bx}{D}$ avec les conditions ci-dessus : - **Position des franges brillantes** (ordre $k$) : $$x_k = \frac{k\lambda D}{b}$$ - **Position des franges sombres** (ordre $k$) : $$x'_k = \frac{(2k+1)\lambda D}{2b}$$ > **Définition de l'interfrange** : L'**interfrange** $i$ est la distance séparant les centres de deux franges brillantes (ou sombres) consécutives. Son expression est : > $$i = \frac{\lambda D}{b}$$ > où $\lambda$ est la longueur d'onde (m), $D$ la distance fentes-écran (m) et $b$ la distance inter-fentes (m). L'interfrange s'exprime en mètres (m). **Démonstration** : La distance entre deux franges brillantes consécutives d'ordres $k$ et $k+1$ est : $$i = x_{k+1} - x_k = \frac{(k+1)\lambda D}{b} - \frac{k\lambda D}{b} = \frac{\lambda D}{b}$$ ### II.5. Propriétés des franges - Les franges sont **équidistantes** (interfrange constant). - La frange centrale ($k=0$) est brillante et située en $x=0$. - L'interfrange $i$ augmente avec $\lambda$ et $D$, diminue quand $b$ augmente. - Pour la lumière blanche, chaque longueur d'onde produit son propre système de franges : on observe des franges irisées, avec une frange centrale blanche (toutes les couleurs interfèrent constructivement en $x=0$). ### II.6. Exemple numérique résolu **Énoncé** : On éclaire deux fentes de Young distantes de $b = 0{,}50 \text{ mm}$ avec une lumière monochromatique de longueur d'onde $\lambda = 546 \text{ nm}$. L'écran est placé à $D = 1{,}20 \text{ m}$ des fentes. Calculer l'interfrange $i$ et la position de la 3e frange brillante. **Solution** : 1. Conversion en unités SI : $$\lambda = 546 \text{ nm} = 5{,}46 \times 10^{-7} \text{ m}$$ $$b = 0{,}50 \text{ mm} = 5{,}0 \times 10^{-4} \text{ m}$$ 2. Interfrange : $$i = \frac{\lambda D}{b} = \frac{5{,}46 \times 10^{-7} \times 1{,}20}{5{,}0 \times 10^{-4}} = 1{,}31 \times 10^{-3} \text{ m} = 1{,}31 \text{ mm}$$ 3. Position de la 3e frange brillante ($k=3$) : $$x_3 = \frac{3\lambda D}{b} = 3i = 3 \times 1{,}31 \times 10^{-3} = 3{,}93 \times 10^{-3} \text{ m} = 3{,}93 \text{ mm}$$ La 3e frange brillante est située à 3,93 mm du centre de l'écran. ## III. Effet Doppler ### III.1. Aspect qualitatif L'effet Doppler est la modification de la fréquence (et donc de la longueur d'onde) perçue d'une onde lorsque la source et l'observateur sont en mouvement relatif. > **Définition clé** : L'**effet Doppler** est le décalage en fréquence d'une onde (sonore, lumineuse, etc.) dû au mouvement relatif entre la source et l'observateur. Pour la lumière, on parle d'**effet Doppler-Fizeau**. **Cas d'une source qui s'approche de l'observateur** : la fréquence perçue augmente, la longueur d'onde diminue. Pour la lumière visible, le spectre est décalé vers le **bleu** (décalage vers les courtes longueurs d'onde). **Cas d'une source qui s'éloigne de l'observateur** : la fréquence perçue diminue, la longueur d'onde augmente. Pour la lumière visible, le spectre est décalé vers le **rouge** (décalage vers les grandes longueurs d'onde). ### III.2. Expression du décalage en fréquence (cas non relativiste) Pour une source lumineuse se déplaçant à la vitesse $v$ par rapport à l'observateur, avec $v \ll c$ (vitesse de la lumière), le décalage relatif en fréquence est : $$\frac{\Delta f}{f} = \frac{v}{c}$$ où $f$ est la fréquence émise par la source, $\Delta f = f' - f$ le décalage en fréquence perçu, $v$ la vitesse relative source-observateur (positive si la source s'approche, négative si elle s'éloigne) et $c = 3{,}00 \times 10^8 \text{ m/s}$ la vitesse de la lumière dans le vide. En termes de longueur d'onde : $$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = -\frac{v}{c}$$ où $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda$ est le décalage en longueur d'onde. > **Formule fondamentale (effet Doppler-Fizeau)** : Pour une source s'éloignant à la vitesse $v$ (avec $v \ll c$) : > $$\lambda' = \lambda \left(1 + \frac{v}{c}\right)$$ > où $\lambda$ est la longueur d'onde émise, $\lambda'$ la longueur d'onde perçue, $v$ la vitesse d'éloignement (m/s) et $c$ la vitesse de la lumière (m/s). ### III.3. Exemples et applications **Exemples quotidiens** : - **Son** : la sirène d'une ambulance qui s'approche paraît plus aiguë (fréquence plus élevée), puis plus grave lorsqu'elle s'éloigne. - **Astronomie** : la lumière des galaxies lointaines est décalée vers le rouge (redshift), indiquant qu'elles s'éloignent de nous. C'est la preuve de l'expansion de l'Univers (loi de Hubble). - **Météorologie** : les radars Doppler mesurent la vitesse des précipitations (pluie, orages) en détectant le décalage en fréquence des ondes réfléchies. **Applications technologiques** : - **Radar routier** : mesure de la vitesse des véhicules par effet Doppler sur des ondes électromagnétiques. - **Échographie Doppler** : mesure de la vitesse du sang dans les vaisseaux. - **Astronomie** : détection d'exoplanètes par la variation périodique du décalage Doppler de l'étoile. - **Télémétrie laser** : mesure de vitesses de déplacement très précises. ### III.4. Exemple numérique résolu **Énoncé** : Une galaxie lointaine émet une raie d'hydrogène de longueur d'onde $\lambda = 656{,}3 \text{ nm}$ (raie H$\alpha$). Sur Terre, on mesure cette raie à $\lambda' = 658{,}1 \text{ nm}$. Calculer la vitesse d'éloignement de la galaxie. **Solution** : 1. Décalage en longueur d'onde : $$\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 658{,}1 - 656{,}3 = 1{,}8 \text{ nm} = 1{,}8 \times 10^{-9} \text{ m}$$ 2. Application de la formule : $$\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c} \Rightarrow v = c \cdot \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$$ 3. Calcul numérique : $$v = 3{,}00 \times 10^8 \times \frac{1{,}8 \times 10^{-9}}{656{,}3 \times 10^{-9}} = 3{,}00 \times 10^8 \times \frac{1{,}8}{656{,}3}$$ $$v = 3{,}00 \times 10^8 \times 2{,}74 \times 10^{-3} = 8{,}22 \times 10^5 \text{ m/s} = 822 \text{ km/s}$$ La galaxie s'éloigne de nous à environ 822 km/s. ## IV. Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène ### IV.1. Spectre de l'atome d'hydrogène L'analyse de la lumière émise par un gaz d'hydrogène excité (tube à décharge) révèle un **spectre de raies** : des raies discrètes, caractéristiques de l'atome d'hydrogène, et non un spectre continu. Les principales séries de raies sont : - **Série de Lyman** (ultraviolet) : transitions vers le niveau $n=1$. - **Série de Balmer** (visible) : transitions vers le niveau $n=2$. - **Série de Paschen** (infrarouge) : transitions vers le niveau $n=3$. ### IV.2. Postulat de Bohr et niveaux d'énergie En 1913, Niels Bohr propose un modèle de l'atome d'hydrogène dans lequel l'électron ne peut occuper que certaines orbites circulaires de rayons bien déterminés, appelées **orbites stationnaires**. Sur ces orbites, l'électron ne rayonne pas d'énergie. > **Postulat de Bohr** : L'énergie de l'atome d'hydrogène est **quantifiée** : elle ne peut prendre que des valeurs discrètes $E_n$, appelées **niveaux d'énergie**, données par : > $$E_n = -\frac{E_0}{n^2} \quad \text{avec} \quad n = 1, 2, 3, \ldots$$ > où $E_0 = 13{,}6 \text{ eV}$ est l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène (énergie à fournir pour arracher l'électron de l'état fondamental) et $n$ le **nombre quantique principal**. En unités SI (joules) : $$E_n = -\frac{2{,}18 \times 10^{-18}}{n^2} \text{ J}$$ **Conversion** : $1 \text{ eV} = 1{,}60 \times 10^{-19} \text{ J}$, donc $E_0 = 13{,}6 \text{ eV} = 2{,}18 \times 10^{-18} \text{ J}$. ### IV.3. Diagramme des niveaux d'énergie ```onbuch-svg <svg width="500" height="400" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <!-- Diagramme des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène --> <rect x="10" y="10" width="480" height="380" fill="white" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="250" y="35" text-anchor="middle" font-size="16" font-weight="bold">Niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène</text> <!-- Axe des énergies --> <line x1="80" y1="50" x2="80" y2="350" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="60" y="60" text-anchor="end" font-size="12">E (eV)</text> <!-- Niveau n=infini --> <line x1="120" y1="60" x2="420" y2="60" stroke="black" stroke-width="2"/> <text x="430" y="65" font-size="12">n = ∞</text> <text x="100" y="65" text-anchor="end" font-size="12">0</text> <!-- Niveau n=3 --> <line x1="120" y1="120" x2="420" y2="120" stroke="blue" stroke-width="2"/> <text x="430" y="125" font-size="12">n = 3</text> <text x="100" y="125" text-anchor="end" font-size="12">-1,51</text> <!-- Niveau n=2 --> <line x1="120" y1="180" x2="420" y2="180" stroke="blue" stroke-width="2"/> <text x="430" y="185" font-size="12">n = 2</text> <text x="100" y="185" text-anchor="end" font-size="12">-3,40</text> <!-- Niveau n=1 --> <line x1="120" y1="300" x2="420" y2="300" stroke="red" stroke-width="3"/> <text x="430" y="305" font-size="12">n = 1</text> <text x="100" y="305" text-anchor="end" font-size="12">-13,6</text> <!-- Flèches de transition --> <!-- Lyman alpha (n=2 -> n=1) --> <line x1="200" y1="180" x2="200" y2="300" stroke="green" stroke-width="2" marker-end="url(#arrowhead)"/> <text x="210" y="240" font-size="11" fill="green">Lyman α (UV)</text> <!-- Balmer alpha (n=3 -> n=2) --> <line x1="300" y1="120" x2="300" y2="180" stroke="orange" stroke-width="2" marker-end="url(#arrowhead)"/> <text x="310" y="155" font-size="11" fill="orange">Balmer α (visible)</text> <!-- Balmer beta (n=4 -> n=2) --> <line x1="350" y1="90" x2="350" y2="180" stroke="purple" stroke-width="2" marker-end="url(#arrowhead)"/> <text x="360" y="140" font-size="11" fill="purple">Balmer β</text> <defs> <marker id="arrowhead" markerWidth="10" markerHeight="7" refX="10" refY="3.5" orient="auto"> <polygon points="0 0, 10 3.5, 0 7" fill="black"/> </marker> </defs> <!-- Légende --> <text x="250" y="360" text-anchor="middle" font-size="12">Énergie d'ionisation : E₀ = 13,6 eV</text> </svg> ``` ### IV.4. Transitions et émission de photons Lorsqu'un électron passe d'un niveau d'énergie $E_p$ (état excité) à un niveau d'énergie inférieure $E_n$ (avec $p > n$), l'atome émet un photon dont l'énergie est égale à la différence d'énergie entre les deux niveaux : > **Loi de conservation de l'énergie lors d'une transition** : > $$\Delta E = E_p - E_n = h \cdot f = \frac{hc}{\lambda}$$ > où $h = 6{,}63 \times 10^{-34} \text{ J·s}$ est la constante de Planck, $f$ la fréquence du photon émis (Hz), $\lambda$ sa longueur d'onde (m) et $c = 3{,}00 \times 10^8 \text{ m/s}$ la vitesse de la lumière. **Règle de sélection** : Toute transition entre deux niveaux $n$ et $p$ est a priori permise. L'émission est spontanée. **Absorption** : Inversement, un atome peut absorber un photon si son énergie correspond exactement à la différence entre deux niveaux. L'électron passe alors d'un niveau inférieur à un niveau supérieur. ### IV.5. Longueur d'onde des raies spectrales En combinant les expressions de $E_n$ et de la loi de conservation de l'énergie, on obtient la formule de Rydberg-Ritz : $$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \right)$$ où $R_H = \frac{E_0}{hc} = 1{,}097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ est la constante de Rydberg pour l'hydrogène. **Démonstration** : $$\frac{hc}{\lambda} = E_p - E_n = -\frac{E_0}{p^2} + \frac{E_0}{n^2} = E_0 \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \right)$$ D'où : $$\frac{1}{\lambda} = \frac{E_0}{hc} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{p^2} \right)$$ ### IV.6. Exemple numérique résolu **Énoncé** : Calculer la longueur d'onde de la raie H$\alpha$ de la série de Balmer, correspondant à la transition du niveau $p=3$ vers le niveau $n=2$. **Solution** : 1. Application de la formule de Rydberg-Ritz : $$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 1{,}097 \times 10^7 \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$$ 2. Calcul : $$\frac{1}{\lambda} = 1{,}097 \times 10^7 \times \left( \frac{9-4}{36} \right) = 1{,}097 \times 10^7 \times \frac{5}{36}$$ $$\frac{1}{\lambda} = 1{,}097 \times 10^7 \times 0{,}1389 = 1{,}524 \times 10^6 \text{ m}^{-1}$$ 3. Longueur d'onde : $$\lambda = \frac{1}{1{,}524 \times 10^6} = 6{,}56 \times 10^{-7} \text{ m} = 656 \text{ nm}$$ La raie H$\alpha$ de la série de Balmer a une longueur d'onde de 656 nm, dans le rouge du spectre visible. **Vérification par le calcul direct de l'énergie** : $$\Delta E = E_3 - E_2 = -1{,}51 - (-3{,}40) = 1{,}89 \text{ eV} = 1{,}89 \times 1{,}60 \times 10^{-19} = 3{,}02 \times 10^{-19} \text{ J}$$ $$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6{,}63 \times 10^{-34} \times 3{,}00 \times 10^8}{3{,}02 \times 10^{-19}} = 6{,}59 \times 10^{-7} \text{ m} \approx 659 \text{ nm}$$ Les deux méthodes donnent des résultats cohérents (la légère différence provient des arrondis). ## Conclusion L'étude de l'aspect ondulatoire de la lumière révèle des phénomènes fondamentaux qui ont profondément marqué la physique moderne. La diffraction et les interférences (fentes de Young) confirment la nature ondulatoire de la lumière et permettent de mesurer précisément les longueurs d'onde. L'effet Doppler-Fizeau, appliqué à la lumière, est un outil puissant pour mesurer les vitesses radiales en astrophysique et constitue la base de nombreuses technologies. Enfin, les niveaux d'énergie quantifiés de l'atome d'hydrogène, mis en évidence par les spectres de raies, marquent l'avènement de la mécanique quantique : la lumière interagit avec la matière de manière discrète, par échange de photons d'énergie bien définie. Ces quatre phénomènes, bien que distincts, illustrent la richesse du comportement de la lumière et ouvrent la voie à des applications aussi variées que la spectroscopie, l'astrophysique, les télécommunications et la physique atomique.