Systèmes d'équations linéaires et équations irrationnelles

# Systèmes d'équations linéaires et équations irrationnelles ## Introduction La résolution de systèmes d'équations linéaires est un outil fondamental en mathématiques et dans les sciences de la vie. Elle permet de modéliser des situations où plusieurs contraintes linéaires s'exercent simultanément, comme l'étude de régimes stationnaires en biologie ou l'équilibre de réactions chimiques. Les équations irrationnelles, quant à elles, apparaissent naturellement dans des problèmes de distances, de vitesses ou de mesures où des racines carrées sont impliquées. Ce chapitre développe des méthodes systématiques — substitution, combinaison linéaire, pivot de Gauss — pour résoudre les systèmes linéaires, puis aborde la résolution rigoureuse d'équations et d'inéquations irrationnelles, en portant une attention particulière aux conditions d'existence et aux vérifications des solutions. ## I. Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues ### I.1. Définition et généralités Un système de deux équations linéaires à deux inconnues $x$ et $y$ se présente sous la forme : $$ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} $$ où $a, b, c, a', b', c'$ sont des nombres réels donnés, avec $(a, b) \neq (0, 0)$ et $(a', b') \neq (0, 0)$. > **À retenir** : Un système linéaire à deux inconnues est un ensemble de deux équations du premier degré en $x$ et $y$. Résoudre le système, c'est trouver tous les couples $(x, y)$ qui vérifient simultanément les deux équations. **Interprétation géométrique** : Chaque équation $ax + by = c$ représente une droite du plan. Résoudre le système revient à trouver les points d'intersection de ces deux droites. Trois cas se présentent : - Les droites sont sécantes : le système admet une unique solution. - Les droites sont parallèles et distinctes : le système n'admet aucune solution. - Les droites sont confondues : le système admet une infinité de solutions. ### I.2. Méthode de substitution La méthode de substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre à partir d'une équation, puis à remplacer cette expression dans la seconde équation. **Algorithme** : 1. Choisir une équation et une inconnue à exprimer en fonction de l'autre. 2. Remplacer l'expression obtenue dans l'autre équation. 3. Résoudre l'équation à une inconnue obtenue. 4. Calculer la seconde inconnue en remplaçant la valeur trouvée. **Exemple résolu** : Résoudre le système $$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \quad (1) \\ x - y = 1 \quad (2) \end{cases} $$ **Étape 1** : À partir de l'équation (2), on exprime $x$ en fonction de $y$ : $$ x = y + 1 $$ **Étape 2** : On substitue cette expression dans l'équation (1) : $$ 2(y + 1) + 3y = 7 $$ **Étape 3** : On développe et on résout : $$ 2y + 2 + 3y = 7 \quad \Rightarrow \quad 5y = 5 \quad \Rightarrow \quad y = 1 $$ **Étape 4** : On calcule $x$ : $$ x = 1 + 1 = 2 $$ La solution unique est le couple $(2, 1)$. **Vérification** : Dans (1) : $2 \times 2 + 3 \times 1 = 4 + 3 = 7$ ✓. Dans (2) : $2 - 1 = 1$ ✓. > **À retenir** : La méthode de substitution est particulièrement efficace lorsque l'un des coefficients de $x$ ou de $y$ est égal à $1$ ou $-1$, ce qui simplifie l'expression. ### I.3. Méthode de combinaison linéaire (ou addition) La méthode de combinaison linéaire consiste à multiplier les équations par des coefficients appropriés, puis à les additionner ou les soustraire afin d'éliminer une inconnue. **Algorithme** : 1. Multiplier chaque équation par un nombre réel non nul pour que les coefficients d'une même inconnue soient opposés (ou égaux). 2. Additionner (ou soustraire) les deux équations pour éliminer cette inconnue. 3. Résoudre l'équation à une inconnue obtenue. 4. Calculer la seconde inconnue. **Exemple résolu** : Résoudre le système $$ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \quad (1) \\ 5x - 2y = 4 \quad (2) \end{cases} $$ **Étape 1** : Les coefficients de $y$ sont $2$ et $-2$, déjà opposés. On additionne directement les deux équations : $$ (3x + 2y) + (5x - 2y) = 12 + 4 $$ **Étape 2** : On simplifie : $$ 8x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 2 $$ **Étape 3** : On remplace $x = 2$ dans (1) : $$ 3 \times 2 + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad 6 + 2y = 12 \quad \Rightarrow \quad 2y = 6 \quad \Rightarrow \quad y = 3 $$ La solution est le couple $(2, 3)$. **Exemple avec multiplication préalable** : Résoudre $$ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \quad (1) \\ 3x + 4y = 11 \quad (2) \end{cases} $$ Pour éliminer $x$, on multiplie (1) par $3$ et (2) par $-2$ : $$ \begin{cases} 6x + 9y = 24 \\ -6x - 8y = -22 \end{cases} $$ On additionne : $$ y = 2 $$ On remplace dans (1) : $2x + 6 = 8 \Rightarrow x = 1$. La solution est $(1, 2)$. > **À retenir** : Pour éliminer $x$, on multiplie chaque équation par le coefficient de $x$ de l'autre équation, en changeant le signe de l'une des deux multiplications. On procède de même pour éliminer $y$. ### I.4. Cas particuliers : systèmes impossibles et indéterminés **Système impossible** : Lorsque les deux droites sont parallèles et distinctes, le système n'a pas de solution. **Exemple** : $$ \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases} $$ En divisant la seconde équation par $2$, on obtient $x + y = 4$, ce qui contredit la première équation $x + y = 3$. Le système est impossible. **Système indéterminé** : Lorsque les deux droites sont confondues, le système admet une infinité de solutions. **Exemple** : $$ \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases} $$ La seconde équation est le double de la première. Les deux équations sont équivalentes. Les solutions sont tous les couples $(x, 3 - x)$ avec $x \in \mathbb{R}$. > **À retenir** : Un système de deux équations à deux inconnues admet soit une unique solution (droites sécantes), soit aucune solution (droites parallèles distinctes), soit une infinité de solutions (droites confondues). Le déterminant du système, $\Delta = ab' - a'b$, permet de distinguer ces cas : si $\Delta \neq 0$, solution unique ; si $\Delta = 0$, pas de solution ou infinité de solutions. ## II. Systèmes d'équations linéaires à trois inconnues ### II.1. Définition et méthode de substitution Un système de trois équations linéaires à trois inconnues $x, y, z$ se présente sous la forme : $$ \begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3 \end{cases} $$ > **À retenir** : Résoudre un tel système, c'est trouver tous les triplets $(x, y, z)$ vérifiant simultanément les trois équations. Géométriquement, chaque équation représente un plan de l'espace ; la solution est l'intersection de trois plans. **Méthode de substitution pour trois inconnues** : On exprime une inconnue en fonction des deux autres à partir d'une équation, puis on substitue dans les deux équations restantes, ce qui ramène à un système de deux équations à deux inconnues. **Exemple résolu** : Résoudre $$ \begin{cases} x + y + z = 6 \quad (1) \\ 2x - y + z = 3 \quad (2) \\ x + 2y - z = 3 \quad (3) \end{cases} $$ **Étape 1** : À partir de (1), on exprime $z$ : $$ z = 6 - x - y $$ **Étape 2** : On substitue dans (2) et (3) : Dans (2) : $2x - y + (6 - x - y) = 3 \Rightarrow x - 2y + 6 = 3 \Rightarrow x - 2y = -3$ Dans (3) : $x + 2y - (6 - x - y) = 3 \Rightarrow x + 2y - 6 + x + y = 3 \Rightarrow 2x + 3y = 9$ On obtient le système à deux inconnues : $$ \begin{cases} x - 2y = -3 \\ 2x + 3y = 9 \end{cases} $$ **Étape 3** : On résout ce système. De la première équation, $x = 2y - 3$. On substitue dans la seconde : $$ 2(2y - 3) + 3y = 9 \Rightarrow 4y - 6 + 3y = 9 \Rightarrow 7y = 15 \Rightarrow y = \frac{15}{7} $$ Puis $x = 2 \times \frac{15}{7} - 3 = \frac{30}{7} - \frac{21}{7} = \frac{9}{7}$. **Étape 4** : On calcule $z$ : $$ z = 6 - \frac{9}{7} - \frac{15}{7} = \frac{42}{7} - \frac{24}{7} = \frac{18}{7} $$ La solution est le triplet $\left(\frac{9}{7}, \frac{15}{7}, \frac{18}{7}\right)$. **Vérification** dans (1) : $\frac{9}{7} + \frac{15}{7} + \frac{18}{7} = \frac{42}{7} = 6$ ✓. ### II.2. Méthode de combinaison linéaire pour trois inconnues On élimine successivement une inconnue en combinant les équations deux à deux. **Exemple résolu** : Résoudre $$ \begin{cases} x + y + z = 6 \quad (1) \\ 2x - y + z = 3 \quad (2) \\ x + 2y - z = 3 \quad (3) \end{cases} $$ **Étape 1** : On élimine $z$ entre (1) et (2) en soustrayant (1) de (2) : $$ (2x - y + z) - (x + y + z) = 3 - 6 \Rightarrow x - 2y = -3 \quad (4) $$ **Étape 2** : On élimine $z$ entre (1) et (3) en additionnant (1) et (3) : $$ (x + y + z) + (x + 2y - z) = 6 + 3 \Rightarrow 2x + 3y = 9 \quad (5) $$ **Étape 3** : On résout le système formé par (4) et (5) : $$ \begin{cases} x - 2y = -3 \\ 2x + 3y = 9 \end{cases} $$ On multiplie (4) par $2$ : $2x - 4y = -6$. On soustrait de (5) : $$ (2x + 3y) - (2x - 4y) = 9 - (-6) \Rightarrow 7y = 15 \Rightarrow y = \frac{15}{7} $$ Puis $x = 2 \times \frac{15}{7} - 3 = \frac{9}{7}$. **Étape 4** : On calcule $z$ avec (1) : $$ z = 6 - \frac{9}{7} - \frac{15}{7} = \frac{18}{7} $$ On retrouve la même solution $\left(\frac{9}{7}, \frac{15}{7}, \frac{18}{7}\right)$. > **À retenir** : La méthode de combinaison linéaire pour trois inconnues consiste à éliminer une même inconnue dans deux paires d'équations, ce qui produit un système de deux équations à deux inconnues, que l'on résout ensuite par la même méthode. ### II.3. Méthode du pivot de Gauss La méthode du pivot de Gauss est une méthode systématique et algorithmique de résolution des systèmes linéaires. Elle consiste à transformer le système en un système triangulaire équivalent par des opérations élémentaires sur les lignes. **Opérations élémentaires autorisées** : 1. Échanger deux lignes. 2. Multiplier une ligne par un nombre réel non nul. 3. Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne. **Algorithme du pivot de Gauss** : 1. Choisir un pivot (coefficient non nul) dans la première colonne, idéalement en première position (échange de lignes si nécessaire). 2. Éliminer l'inconnue correspondante dans toutes les lignes situées en dessous du pivot, en utilisant l'opération $L_i \leftarrow L_i - \frac{a_{i1}}{a_{11}} L_1$. 3. Passer à la colonne suivante et répéter le processus sur la sous-matrice restante. 4. Une fois le système triangulaire obtenu, résoudre par remontée (substitution rétrograde). **Exemple résolu** : Résoudre par la méthode du pivot de Gauss $$ \begin{cases} 2x + y - z = 1 \quad (L_1) \\ x - y + 2z = 5 \quad (L_2) \\ 3x + 2y + z = 8 \quad (L_3) \end{cases} $$ **Étape 1** : On choisit le pivot $a_{11} = 2$ (déjà en position). On élimine $x$ dans $L_2$ et $L_3$. Pour $L_2$ : $L_2 \leftarrow 2L_2 - L_1$ : $$ 2(x - y + 2z) - (2x + y - z) = 2 \times 5 - 1 \Rightarrow 2x - 2y + 4z - 2x - y + z = 9 \Rightarrow -3y + 5z = 9 $$ Pour $L_3$ : $L_3 \leftarrow 2L_3 - 3L_1$ : $$ 2(3x + 2y + z) - 3(2x + y - z) = 2 \times 8 - 3 \times 1 \Rightarrow 6x + 4y + 2z - 6x - 3y + 3z = 13 \Rightarrow y + 5z = 13 $$ Le système devient : $$ \begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ -3y + 5z = 9 \\ y + 5z = 13 \end{cases} $$ **Étape 2** : On choisit le pivot $-3$ dans la deuxième colonne. On élimine $y$ dans $L_3$ : $L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$ : $$ 3(y + 5z) + (-3y + 5z) = 3 \times 13 + 9 \Rightarrow 3y + 15z - 3y + 5z = 48 \Rightarrow 20z = 48 \Rightarrow z = \frac{12}{5} $$ Le système triangulaire est : $$ \begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ -3y + 5z = 9 \\ 20z = 48 \end{cases} $$ **Étape 3** : Résolution par remontée. De la troisième équation : $z = \frac{48}{20} = \frac{12}{5}$. De la deuxième : $-3y + 5 \times \frac{12}{5} = 9 \Rightarrow -3y + 12 = 9 \Rightarrow -3y = -3 \Rightarrow y = 1$. De la première : $2x + 1 - \frac{12}{5} = 1 \Rightarrow 2x = \frac{12}{5} \Rightarrow x = \frac{6}{5}$. La solution est $\left(\frac{6}{5}, 1, \frac{12}{5}\right)$. **Vérification** dans $L_2$ : $\frac{6}{5} - 1 + 2 \times \frac{12}{5} = \frac{6}{5} - \frac{5}{5} + \frac{24}{5} = \frac{25}{5} = 5$ ✓. > **À retenir** : La méthode du pivot de Gauss transforme un système quelconque en un système triangulaire équivalent. Elle est systématique, ne nécessite pas d'astuce particulière, et s'applique à tout système linéaire, y compris ceux ayant une infinité de solutions ou aucune solution. ### II.4. Cas particuliers pour les systèmes à trois inconnues **Système impossible** : Si lors de la résolution on aboutit à une équation du type $0 = k$ avec $k \neq 0$, le système n'a pas de solution. **Exemple** : $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + y - z = 0 \end{cases} $$ Les deux premières équations sont contradictoires. Le système est impossible. **Système indéterminé** : Si l'une des équations est combinaison linéaire des autres, le système peut admettre une infinité de solutions. **Exemple** : $$ \begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 6 \\ x - y = 0 \end{cases} $$ La deuxième équation est le double de la première. Le système se réduit à deux équations indépendantes. En posant $x = y$ (troisième équation), on a $2x + z = 3$, donc $z = 3 - 2x$. Les solutions sont tous les triplets $(t, t, 3 - 2t)$ avec $t \in \mathbb{R}$. ## III. Équations et inéquations irrationnelles ### III.1. Équations irrationnelles du type $\sqrt{ax + b} = cx + d$ Une équation irrationnelle est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît sous un radical (racine carrée). > **À retenir** : Pour résoudre l'équation $\sqrt{ax + b} = cx + d$, on doit : > 1. Déterminer le domaine de définition : $ax + b \geq 0$. > 2. Élever les deux membres au carré (cette opération n'est valable que si les deux membres sont de même signe ; on impose donc $cx + d \geq 0$). > 3. Résoudre l'équation polynomiale obtenue. > 4. Vérifier que les solutions trouvées appartiennent bien au domaine de définition et satisfont la condition de signe. **Méthode détaillée** : L'équation $\sqrt{ax + b} = cx + d$ n'a de sens que si $ax + b \geq 0$. De plus, comme $\sqrt{ax + b} \geq 0$, on doit avoir $cx + d \geq 0$. Sous ces deux conditions, on peut élever au carré : $$ ax + b = (cx + d)^2 $$ On résout l'équation du second degré obtenue, puis on vérifie chaque solution candidate. **Exemple résolu 1** : Résoudre $\sqrt{2x + 3} = x$ **Étape 1** : Conditions d'existence : $2x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{3}{2}$. Condition de signe : $x \geq 0$. **Étape 2** : On élève au carré : $$ 2x + 3 = x^2 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 $$ **Étape 3** : On résout : $\Delta = 4 + 12 = 16$, $x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1$, $x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$. **Étape 4** : Vérification : $x_1 = -1$ ne satisfait pas $x \geq 0$, donc à rejeter. $x_2 = 3$ : $\sqrt{2 \times 3 + 3} = \sqrt{9} = 3$ ✓. L'ensemble solution est $S = \{3\}$. **Exemple résolu 2** : Résoudre $\sqrt{5x - 1} = 2x - 1$ **Étape 1** : Conditions : $5x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{5}$ ; $2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$. **Étape 2** : On élève au carré : $$ 5x - 1 = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 $$ $$ 4x^2 - 9x + 2 = 0 $$ **Étape 3** : $\Delta = 81 - 32 = 49$, $x_1 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{1}{4}$, $x_2 = \frac{9 + 7}{8} = 2$. **Étape 4** : $x_1 = \frac{1}{4} = 0{,}25$ ne satisfait pas $x \geq \frac{1}{2}$, donc à rejeter. $x_2 = 2$ : $\sqrt{5 \times 2 - 1} = \sqrt{9} = 3$ et $2 \times 2 - 1 = 3$ ✓. L'ensemble solution est $S = \{2\}$. **Exemple résolu 3** : Résoudre $\sqrt{x + 6} = -x$ **Étape 1** : Conditions : $x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \geq -6$ ; $-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0$. **Étape 2** : On élève au carré : $$ x + 6 = x^2 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 $$ **Étape 3** : $\Delta = 1 + 24 = 25$, $x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2$, $x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3$. **Étape 4** : $x_2 = 3$ ne satisfait pas $x \leq 0$, à rejeter. $x_1 = -2$ : $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2$ et $-(-2) = 2$ ✓. L'ensemble solution est $S = \{-2\}$. > **À retenir** : L'élévation au carré peut introduire des solutions parasites. La vérification de chaque solution candidate dans l'équation originale est obligatoire. On peut aussi éliminer a priori les solutions ne satisfaisant pas les conditions de signe. ### III.2. Équations avec deux radicaux On peut rencontrer des équations de la forme $\sqrt{ax + b} = \sqrt{cx + d}$ ou $\sqrt{ax + b} + \sqrt{cx + d} = e$. **Cas $\sqrt{ax + b} = \sqrt{cx + d}$** : On impose $ax + b \geq 0$ et $cx + d \geq 0$, puis on élève au carré : $$ ax + b = cx + d $$ **Exemple** : Résoudre $\sqrt{3x + 1} = \sqrt{x + 5}$ Conditions : $3x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3}$ et $x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5$. Donc $x \geq -\frac{1}{3}$. On élève au carré : $3x + 1 = x + 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. Vérification : $\sqrt{3 \times 2 + 1} = \sqrt{7}$ et $\sqrt{2 + 5} = \sqrt{7}$ ✓. $S = \{2\}$. **Cas $\sqrt{ax + b} + \sqrt{cx + d} = e$** : On isole un radical, on élève au carré, puis on traite l'équation résultante. **Exemple résolu** : Résoudre $\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 1} = 4$ **Étape 1** : Conditions : $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$ et $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$. Donc $x \geq 1$. **Étape 2** : On isole un radical : $$ \sqrt{x + 3} = 4 - \sqrt{x - 1} $$ On impose $4 - \sqrt{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x - 1} \leq 4 \Rightarrow x - 1 \leq 16 \Rightarrow x \leq 17$. **Étape 3** : On élève au carré : $$ x + 3 = 16 - 8\sqrt{x - 1} + (x - 1) $$ $$ x + 3 = x + 15 - 8\sqrt{x - 1} $$ $$ 8\sqrt{x - 1} = 12 \Rightarrow \sqrt{x - 1} = \frac{3}{2} $$ **Étape 4** : On élève à nouveau au carré : $$ x - 1 = \frac{9}{4} \Rightarrow x = \frac{13}{4} $$ **Vérification** : $\sqrt{\frac{13}{4} + 3} + \sqrt{\frac{13}{4} - 1} = \sqrt{\frac{25}{4}} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = 4$ ✓. $S = \left\{\frac{13}{4}\right\}$. ### III.3. Inéquations irrationnelles du type $\sqrt{ax + b} \leq cx + d$ et $\sqrt{ax + b} < cx + d$ > **À retenir** : Pour résoudre l'inéquation $\sqrt{ax + b} \leq cx + d$ (ou $<$), on distingue deux cas selon le signe de $cx + d$ : > - Si $cx + d < 0$ : l'inéquation n'a pas de solution, car $\sqrt{ax + b} \geq 0 > cx + d$. > - Si $cx + d \geq 0$ : on peut élever au carré, car les deux membres sont positifs. On résout alors $ax + b \leq (cx + d)^2$, en tenant compte du domaine $ax + b \geq 0$. **Méthode complète pour $\sqrt{ax + b} \leq cx + d$** : 1. Domaine : $ax + b \geq 0$. 2. Si $cx + d < 0$ : pas de solution. 3. Si $cx + d \geq 0$ : on élève au carré et on résout $ax + b \leq (cx + d)^2$. 4. L'ensemble solution est l'intersection des conditions. **Exemple résolu 1** : Résoudre $\sqrt{x + 2} \leq x$ **Étape 1** : Domaine : $x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$. **Étape 2** : On étudie le signe de $x$ : - Si $x < 0$ : $\sqrt{x + 2} \geq 0 > x$, donc l'inéquation est fausse. Pas de solution dans ce cas. - Si $x \geq 0$ : on élève au carré. **Étape 3** : Pour $x \geq 0$ : $$ x + 2 \leq x^2 \Rightarrow x^2 - x - 2 \geq 0 $$ On factorise : $(x - 2)(x + 1) \geq 0$. Le trinôme est positif pour $x \leq -1$ ou $x \geq 2$. **Étape 4** : Intersection avec $x \geq 0$ : $x \geq 2$. Intersection avec le domaine $x \geq -2$ : $x \geq 2$. L'ensemble solution est $S = [2, +\infty[$. **Vérification** : Pour $x = 2$ : $\sqrt{4} = 2 \leq 2$ ✓. Pour $x = 3$ : $\sqrt{5} \approx 2{,}24 \leq 3$ ✓. **Exemple résolu 2** : Résoudre $\sqrt{2x + 1} < x + 1$ **Étape 1** : Domaine : $2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{2}$. **Étape 2** : On étudie le signe de $x + 1$ : - Si $x + 1 < 0$, c'est-à-dire $x < -1$ : impossible car $x \geq -\frac{1}{2}$. Donc on est toujours dans le cas $x + 1 \geq 0$. **Étape 3** : On élève au carré (inégalité stricte conservée car les deux membres sont positifs) : $$ 2x + 1 < (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 $$ $$ 2x + 1 < x^2 + 2x + 1 \Rightarrow 0 < x^2 \Rightarrow x \neq 0 $$ **Étape 4** : Intersection avec le domaine $x \geq -\frac{1}{2}$ : $S = \left[-\frac{1}{2}, 0\right[ \cup ]0, +\infty[$. **Vérification** : Pour $x = 0$ : $\sqrt{1} = 1$ et $0 + 1 = 1$, on a $1 < 1$ faux, donc $0$ est bien exclu. Pour $x = 1$ : $\sqrt{3} \approx 1{,}73 < 2$ ✓. **Exemple résolu 3** : Résoudre $\sqrt{3x - 2} \leq -1$ **Étape 1** : Domaine : $3x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$. **Étape 2** : On a $cx + d = -1 < 0$. Comme $\sqrt{3x - 2} \geq 0$ pour tout $x$ du domaine, l'inéquation $\sqrt{3x - 2} \leq -1$ est impossible. L'ensemble solution est $S = \emptyset$. ### III.4. Inéquations du type $\sqrt{ax + b} \geq cx + d$ et $\sqrt{ax + b} > cx + d$ > **À retenir** : Pour $\sqrt{ax + b} \geq cx + d$, on distingue : > - Si $cx + d < 0$ : l'inéquation est toujours vraie sur le domaine $ax + b \geq 0$, car $\sqrt{ax + b} \geq 0 > cx + d$. > - Si $cx + d \geq 0$ : on élève au carré et on résout $ax + b \geq (cx + d)^2$. **Exemple résolu** : Résoudre $\sqrt{x + 1} \geq x - 1$ **Étape 1** : Domaine : $x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$. **Étape 2** : On étudie le signe de $x - 1$ : - Si $x - 1 < 0$, c'est-à-dire $x < 1$ : l'inéquation est toujours vraie (car $\sqrt{x+1} \geq 0 > x - 1$). Donc tous les $x \in [-1, 1[$ sont solutions. - Si $x \geq 1$ : on élève au carré. **Étape 3** : Pour $x \geq 1$ : $$ x + 1 \geq (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 $$ $$ x + 1 \geq x^2 - 2x + 1 \Rightarrow 0 \geq x^2 - 3x \Rightarrow x(x - 3) \leq 0 $$ Le trinôme $x(x - 3)$ est négatif pour $0 \leq x \leq 3$. Intersection avec $x \geq 1$ : $1 \leq x \leq 3$. **Étape 4** : Union des deux cas : $S = [-1, 1[ \cup [1, 3] = [-1, 3]$. **Vérification** : Pour $x = -1$ : $\sqrt{0} = 0 \geq -2$ ✓. Pour $x = 3$ : $\sqrt{4} = 2 \geq 2$ ✓. Pour $x = 4$ : $\sqrt{5} \approx 2{,}24 < 3$, donc $4 \notin S$ ✓. ### III.5. Représentation graphique et interprétation La résolution graphique d'une équation irrationnelle $\sqrt{ax + b} = cx + d$ consiste à tracer la courbe de la fonction $f(x) = \sqrt{ax + b}$ et la droite $g(x) = cx + d$, puis à lire les abscisses des points d'intersection. **Exemple** : Pour l'équation $\sqrt{2x + 3} = x$, traçons $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ et $g(x) = x$ : ```onbuch-plot {"title":"Résolution graphique de sqrt(2x+3) = x","type":"line","series":[{"label":"f(x) = sqrt(2x+3)","points":[[-1.5,0],[-1.4,0.447],[-1.2,0.775],[-1,1],[-0.8,1.183],[-0.6,1.342],[-0.4,1.483],[-0.2,1.612],[0,1.732],[0.2,1.844],[0.4,1.949],[0.6,2.049],[0.8,2.145],[1,2.236],[1.2,2.324],[1.4,2.408],[1.6,2.490],[1.8,2.569],[2,2.646],[2.2,2.720],[2.4,2.793],[2.6,2.864],[2.8,2.933],[3,3]]},{"label":"g(x) = x","points":[[-1.5,-1.5],[-1.2,-1.2],[-0.9,-0.9],[-0.6,-0.6],[-0.3,-0.3],[0,0],[0.3,0.3],[0.6,0.6],[0.9,0.9],[1.2,1.2],[1.5,1.5],[1.8,1.8],[2.1,2.1],[2.4,2.4],[2.7,2.7],[3,3]]}]} ``` Le point d'intersection a pour abscisse $x = 3$, ce qui confirme la solution trouvée algébriquement. > **À retenir** : La résolution graphique permet de visualiser le nombre de solutions et d'encadrer leurs valeurs, mais seule la résolution algébrique avec vérification donne des valeurs exactes. ## Conclusion La résolution des systèmes d'équations linéaires — à deux ou trois inconnues — repose sur trois méthodes complémentaires : la substitution, la combinaison linéaire et le pivot de Gauss. Ces méthodes, fondées sur des opérations élémentaires qui préservent l'ensemble des solutions, permettent de traiter de manière systématique tous les cas : solution unique, absence de solution ou infinité de solutions. Les équations et inéquations irrationnelles exigent quant à elles une vigilance particulière : la détermination du domaine de définition, l'étude du signe du second membre avant toute élévation au carré, et la vérification systématique des solutions candidates. Ces compétences sont essentielles pour la modélisation de problèmes concrets en sciences de la vie, où les grandeurs physiques, biologiques ou chimiques sont souvent liées par des relations linéaires ou faisant intervenir des racines carrées. La maîtrise de ces outils ouvre la voie à l'étude des fonctions plus complexes et à la résolution de problèmes d'optimisation en terminale.